初中人教版27.2.3 相似三角形应用举例学案及答案

专题27.29 相似三角形几何模型-X型图（知识讲解）

      图一                  图二                    图三

类型一、平行X字型（也称为8字型）

1．如图，在中，点，分别在边、上，与相交于点，且，，．求证：．

【分析】利用比例线段来证明相似三角形即可．

解：，，

，

，，

，

，

．

【点拨】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．

举一反三

【变式1】如图，∠1=∠2=∠3,试找出图中两对相似三角形，并说明为什么?

【答案】△AFD∽△EFB，△ABC∽△ADE；理由见分析.

【分析】根据两个三角形的两组角对应相等，那么这两个三角形互为相似三角形证明即可．

解：△AFD∽△EFB，△ABC∽△ADE．

理由如下：∵∠2＝∠3，∠AFD＝∠EFB

∴△AFD∽△EFB，

∴∠B＝∠D．

∵∠1＝∠2，

∴  ，

∴∠BAC＝∠DAE，

∴△ABC∽△ADE．

【点拨】本题考查相似三角形的判定定理，熟记判定定理，本题用到了两组角对应相等的两个三角形互为相似三角形．

【变式2】如图，直线a∥b，点M、N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D、E，设∠NPE＝α．

（1）证明△MPD∽△NPE．

（2）当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置．

（3）当△NPE是等腰三角形时，求α的值．

【答案】（1）见分析；（2）点P是MN的中点；（3）40° 或70° 或55°

【分析】

(1)利用相似三角形的判定定理证明即可；

(2)根据全等三角形对应边相等得到MP＝NP，即点P是MN的中点；

(3)需要分类讨论：PN＝PE、PE＝NE、PN＝NE，再根据三角形内角和计算即可．

(1)证明：∵a∥b，

∴△MPD∽△NPE．

(2)∵a∥b，

∴∠MDP＝∠NEP，

∴当△MPD与△NPE全等时， MP＝NP，即点P是MN的中点；

(3)∵a∥b，

∴∠1＝∠PNE＝70°，

①若PN＝PE时，

∴∠PNE＝∠PEN＝70°．

∴a＝180°﹣∠PNE﹣∠PEN＝180°﹣70°﹣70°＝40°．

∴∠a＝40°；

②若EP＝EN时，则a＝∠PNE＝70°；

③若NP＝NE 时，则∠PEN＝α，此时2α＝180°﹣∠PNE＝110°，

∴α＝∠PEN═55°；

综上所述，α的值是40° 或70° 或55°．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟知相关性质，会根据等腰三角形底边不同进行分类讨论．

类型二、非平行X字型（也称为反8字型）

2．在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．

问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若         （填序号）

求证：．

【答案】①，证明见分析或②，证明见分析．

【分析】

若选择条件①，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

若选择条件②，可利用两角相等的两个三角形相似．

解：选择条件①的证明为：

∵，

∴，

又∵，

∴；

选择条件②的证明为：

∵，

∴．

【点拨】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键．

举一反三

【变式1】如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，．

(1)求证：．

(2)当，时，求线段的长．

【答案】(1)见分析 (2)

【分析】

（1）如图（见分析），先根据线段垂直平分线的性质可得，，，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；

（2）如图（见分析），延长至，使，连接，，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据平行线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．

(1)证明：∵垂直平分，

∴，，，

在和中，

  ，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

在和中，

，

∴．

(2)解：如图，延长至，使，连接，．

则垂直平分，

，

是边上的中线，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．

【变式2】如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO＝∠C．求证：△AOB∽△DOC．

 【分析】利用对顶角相等得到∠AOB=∠COD，再结合已知条件及相似三角形的判定定理即可求解．

证明：∵AC，BD相交于的点O，

∴∠AOB＝∠DOC，

又∵∠ABO＝∠C，

∴△AOB∽△DOC．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定定理：若一对三角形的两组对应角相等，则这两个三角形相似，由此即可求解．

类型三、A、X字型综合

3．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON＝1．

(1)  求证：△DMN∽△BCN；

(2)  求BD的长；

(3)  若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．

【答案】(1)见分析  (2) 6   (3) 5

【分析】

（1）根据平行四边形的性质可得ADBC，从而证明8字模型相似三角形△DMN∽△BCN；

（2）由△DMN∽△BCN，可得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；

（3）根据△MND∽△CNB且相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四边形ABNM=S△ABD-S△MND求解．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ADBC，

∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，

∴△DMN∽△BCN；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，OB=OD＝BD，

∵△DMN∽△BCN，

∴，

∵M为AD中点，

∴AD=2DM，

∴BC=2DM，

∴BN=2DN，

设OB=OD=x，

∴BD=2x，

∴BN=OB+ON=x+1，DN=OD-ON=x-1，

∴x+1=2（x-1），解得：x=3，

∴BD=2x=6，

∴BD的长为6；

（3）解：∵△MND∽△CNB，

∴DM：BC=MN：CN=DN：BN=1：2，

∵△DCN的面积为2，

∴S△MND=S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4，∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6，

∴S四边形ABNM=S△ABD-S△MND=6-1=5，

∴四边形ABNM的面积为5．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，等高三角形面积的比等于其对应底的比是解题的关键．

举一反三

【变式1】如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．   

(1)求证：△AEF∽△DCE；

(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)见分析 (2)相似，证明见分析 (3)存在，

【分析】

(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得结论；

(2)根据题意可证得Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，△CGF是等腰三角形，据此即可证得△AEF与△ECF相似；

(3)假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：①当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种情况不成立；②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝，BF＝，再由△AEF∽△DCE，即可求得k值．

（1）证明：∵EF⊥EC，

∴∠FEC＝90°，

∴∠AEF＋∠DEC＝90°，

∵∠AEF＋∠AFE＝90°，

∴∠DEC＝∠AFE，

又∵∠A＝∠EDC＝90°，

∴△AEF∽△DCE；

（2）解：△AEF∽△ECF．理由：

∵E为AD的中点，

∴AE＝DE，

∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，

∴△AEF≌△DEG(ASA)，

∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．

又∵EF⊥CE，

∴CE垂直平分FG，

∴△CGF是等腰三角形．

∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．

 又∵∠A＝∠FEC＝90°，

∴△AEF∽△ECF；

（3）解：存在使得△AEF与△BFC相似．理由：假设△AEF与△BFC相似，

存在两种情况：①当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立；②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，

∵△AEF∽△BCF，

∴，

∴AF＝，BF＝，

∵△AEF∽△DCE，

∴，即，

 解得，．

∴存在使得△AEF与△BFC相似．

【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．

【变式2】如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点．

(1)求证：△BGC∽△DGF；

(2)求证：；

(3)若点G是DC中点，求的值．

【答案】(1) 见分析  (2) 见分析  (3)

【分析】

（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC∽△DCF．

（2）由第一问的结论可得到相似比，既有，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．

（3）通过ASA判定出△BGC≌△DEC，进而根据第一问结论可得△BGC∽△DGF，然后通过相似比设未知数，赋值，即可求出的值．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴

∵

∴

∴，

又∵，

∴△BGC∽△DCF．

（2）证明：由（1）知△BGC∽△DGF，

∴，

∴

∵四边形ABCD是正方形，

∴

∴．

（3）解：由（1）知△BCC∽△DGF，

∴，

在△BGC与△DEC中，

∴△BGC≌△DEC（ASA）

∴

∵G是CD中点

∴

∴

∵△BGC∽△DGF

∴

在Rt△BGC中，

设，

则，

∴

∴

【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．

【变式3】已知：如图，两个和中，，，，且点、、在一条直线上．联结、，与交于点．

(1)  求证：；

(2)  如果，求证：．

 【分析】

（1）利用等腰三角形的性质，证，从而证得，，再利用平行线分线段成比例即可得出结论．

（2）证明，得，继而利用，即可得出结论．

(1)证明：，，

，，

，

，

，，

，，

．

(2)证明：，

，

，

，

，

，

，

，

又，

，

．

【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握三角形相似的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．