人教版九年级下册27.2.1 相似三角形的判定学案设计

专题27.15 相似三角形的判定（知识讲解）

【学习目标】

1、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；

2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.

【要点梳理】

要点一：相似三角形有有关概念

如图：在和中，如果

我们就说与相似，记作

∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.

特别说明：
(1)、书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，

即∽，则说明点A的对应点是A′，

点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；

（2）、对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果

两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.

要点二：相似三角形的判定

1、判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.

2、判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　

3、判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

特别说明：
　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

4．判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
特别说明：
　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
 

【典型例题】

类型一、两角对应相等，两三角形相似

1．如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC；

【分析】根据平行四边形的性质可得∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，由∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，进而可证△ADF∽△DEC．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，AD//BC，

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C，

在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，

∴△ADF∽△DEC．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质及平行四边形的性质.解题的关键是根据平行四边形的性质结合角的计算找出∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠C．

【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．

解：∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC．

又∵CE⊥AB，

∴∠ADB=∠CEB=90°，

又∵∠B=∠B，

∴△ABD∽△CBE．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．

【变式2】如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．

求证：△ADC∽△DEB．

【分析】根据等边三角形性质得出∠B＝∠C＝60°，根据三角形外角性质得出∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，根据∠ADE＝60°，可得∠ADB＝∠2＋60°，可证∠1＝∠2即可．

证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，

∵∠ADE＝60°，

∴∠ADB＝∠2＋60°，

∴∠1＝∠2，

∴△ADC∽△DEB．

【点拨】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定，掌握等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定是解题关键．

类型二、两边对应成比例，两三角形相似

2．如图，在中，点，分别在边、上，与相交于点，且，，．

求证：．

【分析】利用比例线段来证明相似三角形即可．

解：，，

，

，，

，

，

．

【点拨】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．

【变式1】如图，在正方形中，点是的中点，点在上，且，连接、．求证：．

【分析】根据正方形的性质可得，，然后根据中点的定义可得，再结合已知条件可得，最后利用有两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证出结论．

证明：∵四边形是正方形，

∴，

∵点是的中点，

∴，即

∵，

∴，即

∴，

∴，

∴

【点拨】此题考查的是正方形的性质和相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．

【变式2】如图，是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且．

求证：．

【分析】先由等边三角形的性质推出∠ABD=∠ECA，再由，得到，即可推出△ABD∽△ECA．

解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∴180°-∠ABC=180°-∠ACB，

∴∠ABD=∠ECA，

又∵，

∴，

∴△ABD∽△ECA．

【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．

类型三、三边对应成比例，两三角形相似

3.如图中的两个三角形是否相似？为什么？

【答案】相似，因为三组边对应成比例的两个三角形相似．

【分析】先标字母，再按大小顺序对应求出两边的比值，根据相似三角形的判定定理进行判断即可．

解：（1）相似，理由如下：

标字母如图，

∵，，，

∴，

∴．

【点拨】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三组边对应成比例的两个三角形相似．

【变式1】如图，在和中，、分别是、上一点，，当时，

求证：．

【分析】根据比例的性质可得，，即可求证．

证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点拨】此题考查了相似三角形的判定方法，涉及了比例的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．

【变式2】如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．

【答案】△ABC△DEF，理由见详解

【分析】先根据勾股定理求出三角形各边长，从而得到两个三角形的对应边成比例，进而即可得到结论．

解：△ABC△DEF，理由如下：

∵AB=，AC=，BC=5，DE=1，DF=，EF=，

∴，

∴△ABC△DEF．

【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和勾股定理，掌握对应边成比例的两个三角形相似，是解题的关键．

类型四、添加条件证明两三角形相似

4．如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；

（1）证明：△ABC∽△ADE．

（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为：　   　．

【分析】

(1)由∠1=∠2,证出∠BAC=∠DAE.再由∠C=∠E,即可得出结论;

(2)由AAS证明△ABC≌△ADE即可.

解：(1)∵∠1=∠2，

∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，

∴∠BAC=∠DAE．               

∵∠C=∠E，

∴△ABC∽△ADE．  

(2)补充的条件为：AB=AD（答案不唯一）；理由如下：

由(1)得：∠BAC=∠DAE，

在△ABC和△ADE中，

 ，

∴△ABC≌△ADE；

故答案为AB=AD（答案不唯一）．

【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及相似三角形的判定.

【变式1】在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．

问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若         （填序号）

求证：．

【答案】①，证明见分析或②，证明见分析．

【分析】若选择条件①，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

若选择条件②，可利用两角相等的两个三角形相似．

解：选择条件①的证明为：

∵，

∴，

又∵，

∴；

选择条件②的证明为：

∵，

∴．

【点拨】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键．

【变式2】如图，在△ABC和△ACD 中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使，并加以证明．

【答案】添加条件：AB//CD，证明见分析（答案不唯一）

【分析】要证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角相等，即，此时，可添加一组角相等即可．

解：添加条件：．

证明：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理及正确找到对应角是解题的关键，此题是开放题，答案不唯一．

类型五、证明两三角形相似综合

5．如图，在矩形ABCD中，，，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，BE交AD于点F．求证：．

【分析】利用矩形的性质求解再证明 从而可得答案.

证明： 矩形ABCD，

由折叠可得：

【点拨】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，求解是解本题的关键.

【变式1】如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．

（1）填空：∠ABC＝     °，BC＝　　　；

（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并证明你的结论．

【答案】（1），；（2），证明见分析

【分析】

（1）先在Rt△BCG中根据等腰直角三角形的性质求出∠GBC的度数，再根据∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度数；在Rt△BGC中利用勾股定理即可求出BC的长．

（2）利用格点三角形的知识求出AB，BC及DE，EF的长度，继而可作出判断．

解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，

∴∠GBC=45°，

∵∠ABG=90°，

∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°；

∵在Rt△BGC中，BG=2，CG=2，

∴；

故答案为：，；

（2）解：相似．理由如下：

∵，，

∴，

∴

又∵

∴．

【点拨】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．

【变式2】如图1，在中，，，直线MN经过C点垂直于AB，垂足为D．

（1）求证：；

（2）若直线MN从图1的位置绕M点逆时针旋转，如图2，设旋转的角度为，作，垂足为P，，垂足为Q．

①当的度数为______时，点A，P，B，Q构成的四边形为平行四边形；

②当的度数为______时，点A，P，B，Q构成的四边形为矩形．

【答案】（1）见分析；（2）①30°或90°；②90°．

【分析】

（1）根据相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似，即可证明；

（2）①分两种情况讨论，当为对角线时，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，从而得出是中点，即为斜边的中线，从而得为等边三角形，即可求旋转角，当为边时，则，即可得出旋转角；

②矩形是特殊的平行四边形，每个角都为，从而得出旋转角．

（1）证明：，

，

，

，

，

，

，

；

（2）①当为对角线时，如图所示：

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

，

是等边三角形，

，

，

当为边时，则，如图所示：

，，

四边形矩形，，

或；

②由①得：．

【点拨】本题来考查相似三角形的判定、旋转与四边形的综合应用，掌握相似的判定条件以及平行四边形与矩形的判定与性质是解题的关键．