数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课后测评

专题09 二次函数根的分布问题、含参数一元二次不等式

【考点预测】

1、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系

（1）方程有两个不等正根

（2）方程有两个不等负根

（3）方程有一正根和一负根，设两根为

2、一元二次方程的根的分布问题

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．

设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示．

3、解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种：

（1）按二次项系数的符号分类，即；

（2）按判别式的符号分类，即；

（3）按方程的根、的大小分类，即．

【典型例题】

例1．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于的不等式.

(1)若的解集为，求实数的值；

(2)求关于的不等式的解集.

【解析】（1）因为的解集为，所以方程的两个根为，由根与系数关系得:，解得；

（2），

当a=0，不等式为，不等式的解集为；

当时，不等式化为，不等式的解集为

当时，方程的两个根分别为：.

当时，两根相等，故不等式的解集为；

当时，，不等式的解集为或；

当时，，不等式的解集为或，.

综上：

当时，不等式的解集为

当a=0，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或.

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

例2．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．

(1)当a＝2时，解关于x的不等式；

(2)当a＞0时，解关于x的不等式．

【解析】（1）当a＝2时，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化为：（2x+1）（x﹣1）＜0，

∴不等式的解集为；

（2）不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化为：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，

当a＞0时，，

的根为：，

①当时，，∴不等式解集为，

②当时，，不等式解集为∅，

③当时，1，∴不等式解集为{x|x＜1}，

综上，当时，不等式解集为，

当a时，不等式解集为，

当时，不等式解集为{x|x＜1}．．

例3．（2022·河南·高一阶段练习）（1）若不等式的解集是，求的值；

（2）若，且关于的方程有两个不同的负根，求的取值范围.

【解析】（1）由题意可得和是方程的两个实根，

则解得.

（2）因为，所以，

由题可知，则或，

由题意，方程有两个负根，即解得.

综上，实数的取值范围是.

例4．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x的方程．

(1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？

(2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？

(3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？

【解析】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，

故方程的一个根大于1，另一个根小于1，

则，解得，所以a的取值范围是．

（2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，

作满足题意的二次函数的大致图象，

由图知，，

解得．所以a的取值范围是．

（3）方程的两个根都大于0，

则，解得，所以a的取值范围是．

例5．（2022·全国·高一单元测试）求实数的范围，使关于的方程

(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；

(2)有两个实根，且满足；

(3)至少有一个正根.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】设，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.

（1）设．

依题意有，即，得．

（2）设．

依题意有，解得．

（3）设．

方程至少有一个正根，则有三种可能：

①有两个正根，此时可得，即

②有一个正根，一个负根，此时可得，得．

③有一个正根，另一根为，此时可得

综上所述，得．

【过关测试】

一、单选题

1．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】当时，即为，不符合题意；

故，即为，

令，

由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，

则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，

故时，，即，解得，故，

故选：D

2．（2022·全国·高一课时练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】方程对应的二次函数设为：

因为方程恰有一根属于，则需要满足：

①，，解得：；

②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，

把点代入，解得：，

此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去

把点代入，解得：，

此时方程为，两根为，，而，故符合题意；

③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于，

，解得，

当时，方程的根为，不合题意；

若，方程的根为，符合题意

综上：实数m的取值范围为

故选：D

3．（2022·江苏·高一专题练习）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（    ）

A． B． C．或1 D．或4

【答案】A

【解析】关于x的方程有两个实数根，

，

解得：，

关于x的方程有两个实数根，，

，，

，即，

解得：或舍去

故选：A.

4．（2022·江苏·高一）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（    ）

A．-2 B． C． D．1

【答案】B

【解析】由题意可得，

解得或，

设两个为，，由两根为正根可得

，解得，

综上知，.

故两个根的倒数和为

，

，，，

故，

，

故两个根的倒数和的最小值是.

故选：B

5．（2022·全国·高一专题练习）已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设方程的两根为，依题意有：，

因都大于1，则，且，显然成立，

由得，则有，解得，

由解得：，于是得，

所以的取值范围是.

故选：A

6．（2022·全国·高一期中）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】不等式，即，

当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；

当时，不等式解集为，此时不符合题意；

当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；

故实数m的取值范围为．

故选：C

7．（2022·上海·高一专题练习）关于的不等式的解集为或，则关于的不等式，以下结论正确的是（    ）

A．当时，解集为 B．当时，解集为

C．当时，解集为或 D．以上都不正确

【答案】C

【解析】由题意，为方程的两个根

代入方程

解得：，

于是关于的不等式，即为

令，对应的二次函数开口向上

当时，解集为或

当时，解集为

当时，解集为或

故选：C

8．（2022·全国·高一课时练习）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【解析】由题意得，原不等式可转化为.当时，解得，此时解集中的整数为2，3，则；当时，解得，此时解集中的整数为0，-1，则.当时，不符合题意.故实数的取值范围是或，故选D．

二、多选题

9．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（    ）

A． B． C． D．5

【答案】ABD

【解析】解不等式，得或

解方程，得

（1）当，即时，不等式的解为：

此时不等式组的解集为，依题意，则，即；

（2）当，即时，不等式的解为：，要使不等式组的解集中只有一个整数，

则需满足：，即；

所以k的取值范围为.

故选：ABD.

10．（2022·江苏·高一专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．关于x的不等式的解集可以是

B．关于x的不等式的解集可以是

C．函数在上可以有两个零点

D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”

【答案】BCD

【解析】若不等式的解集是，则且，得，

而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误；

取，，此时不等式的解集为，故B正确；

取，，则由，得或3，故C正确；

若关于x的方程有一个正根和一个负根，则得，

若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，

且，即关于x的方程有一个正根和一个负根．

因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确．

故选：BCD．

11．（2022·湖南·长沙市实验中学高一期中）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（    ）

A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}

B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}

C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}

D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}

【答案】BCD

【解析】方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是，解得，A错误；

方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是，解得，B正确；

方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是，解得，C正确；

方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的充要条件是，解得，

，故必要条件是m∈{m|m>1}，故D正确.

故选：BCD.

12．（2022·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）已知，关于x的一元二次不等式x2-8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（    ）

A．13 B．14 C．15 D．17

【答案】ABC

【解析】设二次函数f(x)=x2-8x+a，开口向上，其对称轴为x=4，因为一元二次不等式x2-8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数∴3个整数解必然是3，4，5，∴根据对称性，满足f（2）>0且f（3）≤0，故，且，即12<a≤15，a=13，14，15.

故选：ABC.

三、填空题

13．（2022·全国·高一单元测试）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】由题意，方程的两根都大于，

令，

可得，即，解得．

故答案为：.

14．（2022·全国·高一专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．

【答案】

【解析】令，图象恒过点，

方程0在区间内有两个不同的根，

，解得.

故答案为：

15．（2022·全国·高一专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．

【答案】.

【解析】方程  

方程两根为，

若要满足题意，则，解得，

故答案为：.

16．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）记关于x的不等式的解集为A，集合，若，则实数a的取值范围为___________.

【答案】

【解析】原不等式可变形为，

当，即时，，满足题意；

当，即时，，所以，解得，所以；

当，即时，，所以，解得.

综上可得，即；

故答案为：

四、解答题

17．（2022·四川成都·高一期末）设函数，.

(1)解关于x的不等式；

(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围.

【解析】(1)当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为.

(2)因为，所以由可得，，

因为，当且仅当，即时等号成立，

所以.

18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，

(1)当时，求不等式的解集.

(2)求不等式的解集.

【解析】（1）当时，，

解得为，所以解集为

（2）由可得，

①当，即时，不等式解集为；

②当，即时，不等式可化为，此时解集为；

③当，即时，不等式解集为

综上所述，当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为.

19．（2022·江苏省天一中学高一期末）已知二次函数，当时，；当，.

(1)求，的值；

(2)解关于的不等式：.

【解析】(1)由题意可知：的两根为，

故，即得 ,即；

(2)由（1）可知：，

即，

解方程得两根为，

当，即时，解集为；

当，即时，解集为；

当，即时，解集为；

故时，解集为；时，解集为；

时，解集为 .

20．（2022·湖南·高一课时练习）当为何值时，关于的方程分别满足：

(1)无实数根？

(2)有两正实根？

【解析】(1)∵关于的方程无实数根，

∴，

∴，

解得，即.

(2)∵关于的方程有两正实根，

∴，

解得，即.

21．（2022·全国·高一单元测试）关于x的方程分别满足下列条件：

(1)当时，两根分别为、，求的值；

(2)m为何值时，有一正根一负根；

(3)m为何值时，有两个不相等的正根．

【解析】（1）当时，方程变为，

由韦达定理得，，

所以.

（2）由题意，，即，

解得.

（3）由题意，即，

解得.

22．（2022·全国·高一专题练习）已知关于的方程有两个不等的实根，．

（1）两根一个根大于1，一个根小于1，求参数的取值范围；

（2），，求参数的取值范围．

【解析】令，

（1）两根一个根大于1，一个根小于1，等价于，

则，解得；

（2）若，，

则，即，即，解得.