浙教版初中数学七年级上册第三单元《实数》单元测试卷（困难）（含详细答案解析）

浙教版初中数学七年级上册第三单元《实数》单元测试卷

考试范围：第三单元；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列式子没有意义的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    一个自然数的算术平方根为，则与它相邻的下一个自然数的平方根是 (    )

A.  B.  C.  D.

3.    爸爸为颖颖买了一个密码箱，并告诉其密码密码为自然数是、、、、、六个数中的三个数的算术平方根，则这个密码箱的密码可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    已知实数在数轴上的位置如图，则化简的结果为(    )
    

A.  B.  C.  D.

5.    在下列各数中是无理数的有(    )
   ，，，，，，相邻两个之间有个

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6.    如图所示，数轴上表示，的点为，，且，两点到点的距离相等，则点所表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    有下列说法：是的平方根；是的算术平方根；的立方根是；的平方根是；没有算术平方根．其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.    下列说法中，正确的有(    )

只有正数才有平方根；一定有立方根；没意义；；

只有正数才有立方根．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9.    下列说法正确的有
   带根号的数都是无理数；
   立方根等于本身的数是和；
   一定没有平方根；
   实数与数轴上的点是一一对应的；
   两个无理数的差还是无理数．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 计算 的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 数轴上，两点表示的数分别为和，点关于点的对称点为，则点所表示的数为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若一个正数的平方根分别是和，则这个正数是          
14. 设的整数部分是，小数部分是，则的值为______．
15. 如果的算术平方根是，的立方根是，那么___．
16. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”小林将图的一副七巧板拼成图的“衣服”阴影部分，并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为，则这件“衣服”的周长为___取
     

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    若含根号的式子可以写成式子的平方其中，，，都是整数，是正整数，即，则称为完美根式，为的完美平方根．例如：因为，所以是的完美平方根．
    已知是的完美平方根，求的值；
    若是的完美平方根，用含，的式子分别表示，；
    已知是完美根式，直接写出它的一个完美平方根．
18. 本小题分
    在平面直角坐标系中有四个点、、、且是的平方根，是的立方根．
    求，的值；
    设点是线段上任意一点，点是的平分线与的平分线的交点，若，求的度数；
    已知点在直线上，且线段以每秒个单位长度的速度在直线上沿射线方向运动，同时线段以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动．在运动过程中，点、、、分别是点、、、的对应点，连接，当平行于轴时，求点、的坐标．
     
19. 本小题分

已知、、在数轴上如图，化简．

20. 本小题分
    材料：因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．比如：，等，而常用的“”或者“”的表示方法都不够百分百准确．
    材料：的整数部分是，小数部分是，小数部分可以看成是得来的．
    材料：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如，是因为．
    根据上述材料，回答下列问题：
    的整数部分是______，小数部分是______．
    也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值．
    若，其中是整数，且，请求出的相反数．
21. 本小题分
    已知的平方根是，的立方根是，求的立方根．
22. 本小题分

已知：，且计算：．

23. 本小题分
    对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
    仿照以上方法计算：______；______．
    若，写出满足题意的的整数值______．
    如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次  ，这时候结果为．
    对连续求根整数，______次之后结果为．
    只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是______．
24. 本小题分
    给出定义如下：若一对实数满足，则称它们为一对“相关数”，如：，故是一对“相关数”．
    数对，，中是“相关数”的是          
    若数对是“相关数”，求的值
    是否存在有理数，，使数对和，都是“相关数”，若存在，求出一对，的值若不存在，说明理由．
25. 本小题分

先阅读第题的解法，再解答第题：

已知是有理数，并且满足等式，求的值．

解：       ，解得

已知是有理数，并且满足等式，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了对算术平方根定义的应用，能理解正数有两个平方根，负数没有平方根是解此题的关键．
根据正数有一个算术平方根，负数没有算术平方根逐个判断即可．
【解答】
解：正数有一个算术平方根，负数没有算术平方根，
选项B是没有意义的，
故选B．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了求一个数的算术平方根，平方根，比较简单根据算术平方根的定义得这个自然数为，则与这个自然数相邻的后续自然数，由此即可得到其平方根．
【解答】
解：一个自然数的算术平方根是，
这个自然数为，
与这个自然数相邻的后续自然数，
其平方根为．
故选A．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了算术平方根，首先根据算术平方根的定义，求出各数的算术平方根，然后找出是自然数的数即可．
【解答】
解：的算术平方根是；的算术平方根是；的算术平方根是；的算术平方根是；的算术平方根是；的算术平方根是．
这个密码箱的密码可能是．
故选A．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了数轴和算术平方根的概念及绝对值的性质，解题关键是运用绝对值的性质去掉绝对值后再化简．先由点在数轴上的位置确定和的符号，去掉绝对值，再进行化简．要注意：负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身；．
【解答】
解：，
，，
．
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：，是无理数，
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了实数与数轴的对应关系．解题时，采用了“数形结合”的数学的思想，根据题意分别求得点在数轴上所表示的数，然后由来求点所表示的数．
【解答】

解：设点所表示的数是．
点、所表示的数分别是、，
；
又，两点到点的距离相等，
，
．
故选A．  

7.【答案】 

【解析】解：，故是的平方根，正确；
，是的算术平方根，正确；
的立方根是，错误；
的平方根是，正确；
的算术平方根是，错误；
故选：．
根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
本题考查平方根与立方根，解题的关键是正确理解平方根与立方根，本题属于基础题型．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平方根和立方根的性质利用平方根与立方根的性质，对各个选项一一判断即可．

【解答】

解：非负数都有平方根，所以是错误的；

任何数的立方根都只有一个，所以是正确的；

时，没意义，所以所以是错误的；

，所以是正确的．

所以正确的有个．

故选B．

9.【答案】 

【解析】解：是有理数，故不符合题意；
立方根等于本身的数是和、，故不符合题意；
当时，有平方根，故不符合题意；
实数与数轴上的点是一一对应的，故符合题意；
两个无理数的差可能是无理数、可能是有理数，故不符合题意；
故选：．
根据无理数的意义，实数与数轴的关系，立方根的意义，可得答案．
本题考查了无理数的意义，实数与数轴的关系，立方根的意义是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】
解：原式，
故选B．  

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故选D．
逆用积的乘方法则，然后计算乘方，计算乘法，最后进行加减计算．
本题考查了实数的混合运算，正确确定运算顺序是关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，同时也利用对称点的性质及利用数形结合思想解决问题．由于，两点表示的数分别为和，先根据对称点可以求出的长度，根据在原点的左侧，进而可求出的坐标．
【解答】
解：对称的两点到对称中心的距离相等，
，
，
点在原点左侧，
表示的数为：．
故选C．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】

根据平方根的定义及性质，可知与互为相反数，而一对相反数的和是，据此列出关于的方程，解方程求出的值，进而得出结果．

【解答】
解：一正数的两个平方根分别是与，
，
解得．
，
这个正数为．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：因为，
的整数部分是，小数部分是，
所以，
故答案为：．
先估算数的大小，然后可求得、的值，最后代入计算即可．
本题考查了估算无理数的大小，求得、的值是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是立方根、平方根的定义，依据立方根和平方根的定义求得、的值是解题的关键．
依据算术平方根和立方根的定义求得、的值，然后代入求解即可．
【解答】
解：，的算术平方根是，
．
的立方根是，
．
．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了图形的剪拼和实数的运算．
本题根据七巧板的特点求出图形的直角边的边长，然后根据三角形面积求出图正方形的边长，从而得出答案．

【解答】

解：由于小正方形边长为，
则图形的两条直角边为，
设图大正方形边长为，
则根据和的面积得：
，
解得：，
图形较长的边长为，
则：“衣服”的周长为：．
故答案为：．
 

17.【答案】解：是的完美平方根，
，
即，
；
是的完美平方根，
，
，
，；
，
或是的完美平方根． 

【解析】本题考查了平方根：如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根．也考查了完全平方公式．
利用完美平方根的定义得到，然后把等式左边展开得到的值；
利用完美平方根的定义得到，然后利用有理数与无理数的定义可用、表示和；
先利用完全平方公式得到，然后根据完美平方根的定义求解．
本题考查了平方根：如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根．也考查了完全平方公式．
 

18.【答案】解：是的平方根，是的立方根，
，；
，
，
点是的平分线与的平分线的交点，
，，
，
，
；
设线段运动时间为，
，
当时，四边形是平行四边形，
轴，
当点在点的右边时，，，
由题意得，，
解得，，
点的坐标为、的坐标为，
当点在点的左边时，，，
由题意得，，
解得，，
点的坐标为、的坐标为，
则点、的坐标为、或、 

【解析】根据平方根的定义、立方根的定义分别求出、；
根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；
根据平行四边形的判定和性质得到当时，四边形是平行四边形，轴，分点在点的右边、点在点的左边两种情况列式计算即可．
本题考查的是平方根、立方根的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握相关的判定定理和性质定理、定义是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示：，，，，
故

． 

【解析】直接利用数轴得出，，，，进而化简得出答案．
此题主要考查了算术平方根得非负性和数轴，正确得出各部分符号是解题关键．
 

20.【答案】，
，
，
是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，
，，
；
，
，
，其中是整数，且，
的整数部分为，小数部分为，
即，，
的相反数为，
答：的相反数为． 

【解析】解：，即，
的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，；
，
，
是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，
，，
；
，
，
，其中是整数，且，
的整数部分为，小数部分为，
即，，
的相反数为，
答：的相反数为．
估算的大小即可；
估算无理数的大小，进而确定的大小，确定、的值，再代入计算即可；
估算无理数的大小，进而确定的大小，确定、的值，再代入计算即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是得出正确答案的关键．
 

21.【答案】解：的平方根是，的立方根是，
，，
解得，，
，
的立方根是． 

【解析】先根据平方根，立方根的定义列出关于、的二元一次方程组，再代入进行计算求出的值，然后根据立方根的定义求解．
本题考查了平方根，立方根的定义，列式求出、的值是解题的关键．
 

22.【答案】解：设，
则，，，．
．


 

【解析】本题考查实数运算是知识．
设，得出，，，，再代入计算，即可．
 

23.【答案】，；
，，；
；
 

【解析】

【分析】
本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．
先估算和的大小，再由并新定义可得结果；
根据定义可知，可得满足题意的的整数值；
根据定义对进行连续求根整数，可得次之后结果为；
最大的正整数是，根据操作过程分别求出和进行几次操作，即可得出答案．
【解答】
解：，，，
，
，，
故答案为：，；

，，且，
，，，
故答案为：，，；

第一次：，
第二次：，
第三次：，
故答案为：；

最大的正整数是，
理由是：，，，
对只需进行次操作后变为，
，，，，
对需进行次操作后变为，
只需进行次操作后变为的所有正整数中，最大的是，
故答案为：．  

24.【答案】解：
，
数对不是“相关数”，
，
数对不是“相关数”，
 ，
数对是“相关数”．

由“相关数”的定义得，解得．

不存在．

若是“相关数”，则，

若是“相关数”，则，

若和都是“相关数”，则，而时，，因此不存在．

【解析】略
 

25.【答案】解：因为，
所以，
所以，
解得或，
所以或． 

【解析】利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程组，然后解方程即可．
此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算，其中关键是理解解方程组的思路就是消元．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题．