第3章 实数单元测试（B卷·能力提升）（解析版）-七年级数学上册同步单元AB卷（浙教版）

第3章 实数单元测试（B卷·能力提升）

一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（2021•越秀区校级三模）的相反数是（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】直接利用相反数的定义得出答案．

【答案】解：的相反数是：﹣．

故选：B．

【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握互为相反数的定义是解题关键．

2．（2021•中山市二模）下列四个数中，最大的数是（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．

【思路点拨】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出答案即可．

【答案】解：∵﹣3＜﹣1＜＜2，

∴最大的数是2，

故选：C．

【点睛】本题考查了算术平方根和实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．

3．（2021春•江源区期末）下列说法中，错误的是（　　）

A．9的算术平方根是3 B．的平方根是±2 

C．8的立方根是±2 D．﹣1的立方根等于﹣1

【思路点拨】直接根据立方根，平方根，算术平方根的概念解答即可．

【答案】解：A.9的算术平方根是3，正确，不符合题意；

B.＝4，其平方根为±2，正确，不符合题意；

C.8的立方根是2，符合题意；

D．﹣1的立方根等于﹣1，正确，不符合题意．

故选：C．

【点睛】此题考查的是立方根、平方根、算术平方根的概念，掌握其概念是解决此题关键．

4．（2021春•夏津县期末）的平方根是（　　）

A．9 B．9和﹣9 C．3 D．3和﹣3

【思路点拨】求出的值，再求出9的平方根即可．

【答案】解：＝9，

9的平方根为±＝±3，

故选：D．

【点睛】本题考查平方根、算术平方根，求出的值是解决问题的关键．

5．（2021春•额尔古纳市期末）下列计算中正确的是（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】依据算术平方根，绝对值以及立方根的定义进行化简计算，即可得到正确选项．

【答案】解：A、＝3，故本选项错误；

B、＝2，故本选项错误；

C、﹣＝﹣3，故本选项错误；

D、|1﹣|＝﹣1，故本选项正确；

故选：D．

【点睛】本题主要考查了算术平方根，绝对值以及立方根的定义，无理数的估算，掌握算术平方根以及立方根的定义是解决问题的关键．

6．（2020秋•江北区期末）实数x，y，z在数轴上的对应点的位置如图所示，若|z+y|＜|x+y|，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（　　）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点

【思路点拨】分四种情况讨论，利用数形结合思想可解决问题．

【答案】解：若点A为原点，可得0＜x＜y＜z，且|x|＜|y|＜|z|，则|z+y|＞|x+y|，与题意不符合，故选项A不符合题意；

若点B为原点，可得x＜0＜y＜z，且|x|＜|y|＜|z|，|z+y|＞|z|，|x+y|＜|y|，则|z+y|＞|x+y|，不符合题意，故选项B不符合题意；

若点C为原点，可得x＜0＜y＜z，且|y|＜|x|＜|z|，|x+y|＜|x|，|z+y|＞|z|，则|z+y|＞|x+y|，不符合题意，故选项C不符合题意；

若点D为原点，可得x＜y＜0＜z，且|z|＜|y|＜|x|，|z+y|＜|y|，|x+y|＞|x|，则|z+y|＜|x+y|，与题意符合，故选项D符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了数轴．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．

7．（2021•禄劝县模拟）有一个边长为9cm的正方形和一个长为24cm，宽为6cm的长方形，作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，则该正方形的边长为（　　）

A．15cm B．10cm C．5cm D．25cm

【思路点拨】求出所作的正方形面积，再根据正方形的面积的计算方法和算术平方根的定义进行计算即可．

【答案】解：所作的正方形的面积为9×9+24×6＝225（cm2），

所以所作的正方形的边长为＝15（cm），

故选：A．

【点睛】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是解决问题的前提，求出所作正方形的面积是解决问题的关键．

8．（2021春•青川县期末）已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于（　　）

A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3

【思路点拨】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【答案】解：∵+（y+1）2＝0，而，（y+1）2≥0，

∴x﹣2＝0，y+1＝0，

解得x＝2，y＝﹣1，

∴x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3．

故选：D．

【点睛】本题考查了算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．

9．（2021春•巴彦淖尔期末）下列说法正确的是（　　）

A．无限小数都是无理数 

B．立方根等于本身的数有0和1 

C．﹣的立方根为﹣4 

D．数轴上的每一个点都对应一个实数

【思路点拨】根据实数的分类可以判断选项A；

根据立方根的定义可以判断选项B；

根据立方根的定义可以判断选项C；

根据实数与数轴上的点是一一对应关系可以判断选项D．

【答案】解：A、无限不循环小数都是无理数，故A不符合题意；

B、立方根等于本身的数有0和±1，故B不符合题意；

C、﹣＝﹣4，﹣4的立方根为，故C不符合题意；

D、数轴上的每一个点都对应一个实数，故D符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了实数、实数与数轴，掌握实数的分类和立方根的定义是解题的关键．

10．（2021春•平原县期末）对于有理数a．b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当b＜a时，min{a，b}＝b．例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则a﹣b的立方根为（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2

【思路点拨】这个定义的结果等于两个数中的较小的数，知道a≤，b≥，估算出的范围，根据a和b为两个连续正整数，即可得到a，b的值，求出a﹣b，再求立方根即可．

【答案】解：根据题意得：a≤，b≥，

∵25＜30＜36，

∴5＜＜6，

∵a和b为两个连续正整数，

∴a＝5，b＝6，

∴a﹣b＝﹣1，

∴﹣1的立方根是﹣1，

故选：A．

【点睛】本题考查了无理数的估算，立方根，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．

二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11．（2021春•绥中县期末）比较大小：　＜　﹣8．

【思路点拨】负实数比较大小，绝对值大的反而小．依此即可求解．

【答案】解：∵||＝，|﹣8|＝8，

＞8，

∴＜﹣8．

故答案为：＜．

【点睛】本题考查了实数大小比较，本题是两个负实数，通过比较绝对值大小得出．

12．（2021春•朝阳县期末）的倒数是 　﹣　，3﹣的绝对值是 　﹣3　．

【思路点拨】先计算﹣64的立方根是﹣4，再计算的倒数；计算在3和4之间，确定3﹣是负数，再根据绝对值的意义可得结论．

【答案】解：∵＝﹣4，

∴的倒数是﹣，

∵3＜＜4，

∴3﹣＜0，

∴3﹣的绝对值是﹣3．

故答案为：﹣，﹣3．

【点睛】本题考查了立方根，倒数和绝对值，及无理数大小的估算，确定3＜＜4是解题的关键．

13．（2021春•忠县期末）在“、、、0.1010010001…（每两个1之间的0依次增加1个0）、”这五个数中，无理数的个数有 　4　个．

【思路点拨】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．

【答案】解：是分数，属于有理数；

无理数有、、0.1010010001…（每两个1之间的0依次增加1个0）、，共4个．

故答案为：4．

【点睛】此题主要考查了无理数的定义，掌握实数的分类是解答本题的关键．

14．（2021春•平定县期末）已知：，那么（a+b）2021的值为 　﹣1　．

【思路点拨】根据算术平方根、绝对值的非负性求出a、b的值，再代入计算即可．

【答案】解：因为，

所以a+2＝0，b﹣1＝0，

即a＝﹣2，b＝1，

所以（a+b）2021＝（﹣1）2021＝﹣1，

故答案为：﹣1．

【点睛】本题考查非负数的性质，掌握算术平方根、绝对值的非负性是解决问题的前提，求出a、b的值是正确解答的关键．

15．（2021春•枣阳市期末）有一个数值转换器，原理如图．当输入的x＝16时，输出的y等于 　　．

【思路点拨】根据数值转换器，输入x＝16，进行计算即可．

【答案】解：第1次计算得，＝4，而4是有理数，

因此第2次计算得，＝2，而2是有理数，

因此第3次计算得，，是无理数，

故答案为：．

【点睛】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键．

16．（2021春•新洲区期末）请同学们观察下如表：

已知≈1.435，≈5.539，运用你发现的规律求≈　143.5　．

【思路点拨】根据被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，即可求得所求式子的值．

【答案】解：已知≈1.435，则≈143.5．

故答案为：143.5．

【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键在于从小数点的移动位数考虑．

三．解答题（共7小题，共66分）

17．（2020秋•镇江期末）（1）计算：；

（2）求下列各式中的x：

①；

②（x+3）3＝﹣27．

【思路点拨】（1）利用去绝对值符号的方法，立方根定义，平方根的定义对式子进行运算即可；

（2）①对等式进行开平方运算，再把x的系数转化为1即可；

②对等式进行开立方运算，再移项即可．

【答案】解：（1）

＝2﹣+（﹣2）﹣3

＝﹣3﹣；

（2）①

＝±3

x＝±6；

②（x+3）3＝﹣27

x+3＝﹣3

x＝﹣6．

【点睛】本题主要考查实数的运算，立方根，算术平方根，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与应用．

18．（2021春•宁乡市期末）王老师给同学们布置了这样一道习题：

一个正数的算术平方根为m+2，它的平方根为±（3m+2），求这个正数．

小达的解法如下：依题意可知：m+2＝3m+2，解得：m＝0，则：m+2＝2，所以这个正数为4．

王老师看后说，小达的解法不完整，请同学们给出这道习题完整的解法．

【思路点拨】m+2是3m+2，﹣（3m+2）两数中的一个，应该分两种情况分别计算．

【答案】解：依题意可知：m+2是3m+2，﹣（3m+2）两数中的一个，

①当m+2＝3m+2时，

解得：m＝0，则：m+2＝2，所以这个正数为4；

②当m+2＝﹣（3m+2），

解得：m＝﹣1，则：m+2＝1，所以这个正数为1．

综上①②可知：这个数是4或1．

【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，算术平方根是平方根中的正数，但是不确定哪个是正数，需要分类讨论，这是解题的关键．

19．（2021春•西城区校级期末）计算题

（1）；

（2）．

【思路点拨】（1）根据立方根，算术平方根，绝对值的性质计算即可；

（2）先化简，再求这个数的立方根，化简即可．

【答案】解：（1）原式＝2+0﹣﹣+3﹣

＝4﹣；

（2）原式＝﹣3﹣0﹣++

＝﹣3﹣++

＝﹣．

【点睛】本题考查了实数的运算，掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键，注意正数的绝对值等于它本身．

20．（2021春•江津区校级月考）已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．

（1）求a，b，c的值；

（2）求3a+10b+c的平方根．

【思路点拨】（1）根据立方根，算术平方根，平方根的概念即可求出答案；

（2）根据（1）中所求a、b、c的值代入代数式3a+10b+c中即可求出答案．

【答案】解：（1）根据题意可知，

3a+21＝27，解得a＝2，

4a﹣b﹣1＝4，解得b＝3，

c＝0，

所以a＝2，b＝3，c＝0；

（2）因为3a+10b+c＝3×2+10×3+0＝36，

36的平方根为±6．

所以3a+10b+c的平方根为±6．

【点睛】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根及代数式的求值，熟练掌握相关概念进行求解是解决本题的关键．

21．（2021春•宁乡市期末）阅读材料：∵2＜＜3，∴的整数部分为2，的小数部分为﹣2．

解决问题：

（1）填空：的小数部分是 　﹣8　；

（2）已知a是﹣4的整数部分，b是﹣4的小数部分，求代数式（a+1）3+（b+4）2的值；

（3）已知：m是2+的整数部分，n是其小数部分，求m﹣n的相反数．

【思路点拨】（1）的小数部分＝﹣整数部分；

（2）先求出a，b的值，再代入求值；

（3）先求出m，n的值，再求m﹣n的相反数．

【答案】解：（1）∵8＜＜9，

∴的整数部分是8，的小数部分是；

故答案为：﹣8；

（2）∵，

∴

∵a是的整数部分，b是的小数部分，

∴，

∴（a+1）3+（b+4）2

＝1+19

＝20；

（3）∵，

∴，

∵m是的整数部分，n是其小数部分，

∴m＝3，n＝2+﹣3＝﹣1，

∴m﹣n的相反数为．

【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．

22．（2021春•江津区期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，＝2，＝3，＝6，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．

（1）请证明：2，8，50这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根；

（2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值．

【思路点拨】（1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可；

（2）分三种情况进行解答即可，即a＜16，16＜a＜36，a＞36，分别列方程求解即可．

【答案】（1）证明：因为＝4，＝10，＝20，

所以2，8，50这三个数是“老根数”；

其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20；

（2）解：当a＜16时，则2＝，

解得a＝9，

当16＜a＜36时，则2＝，解得a＝0，不合题意舍去；

当a＞36时，则2＝，

解得a＝64，

综上所述，a＝9或a＝64．

【点睛】本题考查算术平方根，理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键．

23．（2021春•花都区期末）小丽想用一块面积为36cm2的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积为20cm2的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？为什么？

【思路点拨】先求得正方形的边长，然后设长方形的宽为xcm，则长为2xcm，然后依据矩形的面积为20cm2列方程求得x的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断．

【答案】解：不同意，因为正方形的面积为36cm2，故边长为6cm，

设长方形的宽为xcm，则长为2xcm，

长方形面积＝x⋅2x＝2x2＝20，解得x＝，

长为，

即长方形的长大于正方形的边长，所以不能裁出符合要求的长方形纸片．

【点睛】本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．