人教B版高中数学必修第一册第1章章末综合提升课件+学案
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类型1 集合的交集、并集、补集运算
集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单,直接根据集合运算的定义可得,有些题目与解不等式或方程相结合,需要先正确求解不等式或方程,再进行集合运算,还有的集合问题比较抽象,解题时需借助维恩图进行数形分析或利用数轴等,采用数形结合思想方法,可使问题直观化、形象化,进而能使问题简捷、准确地获解.
【例1】 已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={x∈N|1<x≤4},B={x∈R|x2-3x+2=0}.
(1)用列举法表示集合A与B;
(2)求A∩B及∁U(A∪B).
[解] (1)由题知,A={2,3,4},B={x∈R|(x-1)(x-2)=0}={1,2}.
(2)由题知,A∩B={2},A∪B={1,2,3,4},
所以∁U(A∪B)={0,5,6}.
1.设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={1,2,3},则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{4} B.{2,4}
C.{4,5} D.{1,3,4}
A [题图中阴影部分所表示的是集合A中的元素除去与集合B相同的元素构成的集合,故题图中阴影部分所表示的集合是{4},故选A.]
类型2 集合关系与运算中的求参数问题
已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、维恩图帮助分析.同时还要注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时,要分类讨论,讨论时要不重不漏.
【例2】 已知集合A={x|x<-1或x≥1},B={x|2a<x≤a+1,a<1},B⊆A,则实数a的取值范围为________.
a<-2或≤a<1 [因为a<1,所以2a<a+1,所以B≠∅.
画数轴如图所示,
由B⊆A知,a+1<-1,或2a≥1.
即a<-2,或a≥.
由已知a<1,所以a<-2,或≤a<1,
即所求a的取值范围是a<-2或≤a<1.]
2.已知集合A={x|-3≤x<2},B={x|2k-1≤x≤2k+1},且B⊆A,求实数k的取值范围.
[解] 由题意知B≠∅,
由于B⊆A,在数轴上表示A,B,如图,
可得解得
所以k的取值范围是.
类型3 充分条件与必要条件
充要条件是数学的重要概念之一,在数学中有着非常广泛的应用,在高考中有着较高的考查频率,其特点是以高中数学的其它知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断.
【例3】 已知集合A={x∈R|2x+m<0},B={x∈R|x<-1或x>3}.
(1)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充分条件?
(2)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的必要条件?
[解] (1)欲使x∈A是x∈B成立的充分条件,则只要⊆{x|x<-1或x>3},则只要-≤-1,即m≥2,故存在实数m≥2时,使x∈A是x∈B成立的充分条件.
(2)欲使x∈A是x∈B成立的必要条件,则只要{x|x<-1或x>3}⊆,则这是不可能的,
故不存在实数m,使x∈A是x∈B成立的必要条件.
3.若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件,则实数a的值为________.
-或 [p:x2+x-6=0,即x=2或x=-3.
q:ax+1=0,当a=0时,方程无解;当a≠0时,x=-.
由题意知p q,q⇒p,故a=0舍去;当a≠0时,应有-=2或-=-3,解得a=-或a=.
综上可知,a=-或a=.]
类型4 全称量词命题与存在量词命题
“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系
(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;含有一个量词的命题的否定,是在否定其结论的同时,改变量词的属性,即将全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.
(2)与一般命题的否定相同,含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.
【例4】 (1)下列语句不是全称量词命题的是( )
A.任何一个实数乘以零都等于零
B.自然数都是正整数
C.高一(一)班绝大多数同学是团员
D.每一个实数都有大小
(2)命题p:“∀x∈R,x2>0”,则( )
A.p是假命题;¬p:∃x∈R,x2<0
B.p是假命题;¬p:∃x∈R,x2≤0
C.p是真命题;¬p:∀x∈R,x2<0
D.p是真命题;¬p:∀x∈R,x2≤0
(1) C (2) B [(1)A中命题可改写为:任意一个实数乘以零都等于零,故A是全称量词命题;B中命题可改写为:任意的自然数都是正整数,故B是全称量词命题;C中命题可改写为:高一(一)班存在部分同学是团员,C不是全称量词命题;D中命题可改写为:任意的一个实数都有大小,故D是全称量词命题.故选C.
(2)由于02>0不成立,故“∀x∈R,x2>0”为假命题,根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知,“∀x∈R,x2>0”的否定是“∃x∈R,x2≤0”,故选B.]
4.下列命题不是存在量词命题的是( )
A.有些实数没有平方根
B.能被5整除的数也能被2整除
C.在实数范围内,有些一元二次方程无解
D.有一个m使2-m与|m|-3异号
B [选项A、C、D中都含有存在量词,故皆为存在量词命题,选项B中不含存在量词,不是存在量词命题.]
5.命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________.
存在一个能被7整除的数不是奇数 [原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”,是全称量词命题,故该命题的否定是:“存在一个能被7整除的数不是奇数”.]
1.(2020·全国卷Ⅱ)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则∁U(A∪B)=( )
A.{-2,3} B.{-2,2,3}
C.{-2,-1,0,3} D.{-2,-1,0,2,3}
A [由题意,得A∪B={-1,0,1,2},所以∁U(A∪B)={-2,3},故选A.]
2.(2020·全国卷Ⅱ)已知集合A={x||x|<3,x∈Z},B={x||x|>1,x∈Z},则A∩B=( )
A.∅ B.{-3,-2,2,3}
C.{-2,0,2} D.{-2,2}
D [法一:因为A={x||x|<3,x∈Z}={x|-3<x<3,x∈Z}={-2,-1,0,1,2},B={x||x|>1,x∈Z}={x|x>1或x<-1,x∈Z},所以A∩B={-2,2},故选D.
法二:A∩B={x|1<|x|<3,x∈Z}={x|-3<x<-1或1<x<3,x∈Z}={-2,2}.]
3.(2020·全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=( )
A.-4 B.-2
C.2 D.4
B [易知A={x|-2≤x≤2},B=,因为A∩B={x|-2≤x≤1},所以-=1,解得a=-2.故选B.]
4.(2020·新高考全国卷Ⅰ)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=( )
A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3}
C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}
C [A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B={x|1≤x<4},故选C.]
5.(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.6
C [由题意得,A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},所以A∩B中元素的个数为4,故选C.]
6.(2020·天津高考)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A [解一元二次不等式a2>a可得:a>1或a<0,据此可知:“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件.]