新教材人教B版步步高学习笔记【同步学案】第一章 章末复习课

一、集合的概念及其基本关系

1．处理集合间的关系时需要注意：(1)涉及某些数集是不等式的解集时，利用数轴可较好地处理一些实数集之间的关系；(2)注意应用B⊆A的条件时，一定要考虑B＝∅和B≠∅两种情况．

2．以形助数，直观形象，充分利用数形结合思想，同时注意转化思想、等价变形思想的灵活运用，提升逻辑推理素养．

例1　(1)(多选)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m不可能为(　　)

A．0  B．2  C．3  D．1

答案　ABD

解析　由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．当m＝1时，不满足2∈A，且与m2－3m＋2≠0相矛盾．

(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a<x≤a＋1，a<1}，B⊆A，则实数a的取值范围为________．

答案　(－∞，－2)∪

解析　因为a<1，所以2a<a＋1，所以B≠∅.

画数轴如图所示，

由B⊆A知，a＋1<－1或2a≥1，

即a<－2或a≥.

由已知a<1，所以a<－2或≤a<1，

即所求a的取值范围是a<－2或≤a<1.

反思感悟　(1)因为集合元素的互异性，求出字母的值之后一定要回代检验是否满足互异性．

(2)处理集合间关系问题的关键点

已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．合理利用数轴、维恩图帮助分析．同时还要注意“空集”这一“陷阱”．

跟踪训练1　(1)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为________．

答案　3或1

解析　当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1,5,13}，符合题意；

当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1.若m＝1，则M＝{1,3,5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1.

(2)若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B⊆A，则实数a＝________.

答案　0或1

解析　当B＝∅时，a＝0，满足B⊆A；

当B≠∅时，a≠0，B＝，又B⊆A，∴2≤≤3，

即≤a≤1，又a∈Z，

∴a＝1.

综上知a的值为0或1.

二、集合的综合运算

1．集合的运算有交、并、补三种，它是集合中的核心内容．在进行集合的运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而出错，此时，数轴分析(或维恩图)是个好帮手，能将复杂问题直观化．在具体应用时要注意检验端点值是否符合题意，以免增解或漏解．

2．掌握集合的基本关系与基本运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养．

例2　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．

(1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；

(2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？

解　(1)∵A＝{x|0≤x≤2}，

∴∁RA＝{x|x<0或x>2}．

∵(∁RA)∪B＝R，画数轴如图所示，

∴即－1≤a≤0.

∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．

(2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，

－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，

∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．

即这样的a不存在．

反思感悟　借助数轴表示集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反．

跟踪训练2　已知集合A＝{x|－3<x≤6}，B＝{x|b－3<x<b＋7}，M＝{x|－4≤x<5}，全集U＝R.

(1)求A∩M；

(2)若B∪(∁UM)＝R，求实数b的取值范围．

解　(1)因为A＝{x|－3<x≤6}，

M＝{x|－4≤x<5}，

所以A∩M＝{x|－3<x<5}．

(2)因为M＝{x|－4≤x<5}，

所以∁UM＝{x|x<－4或x≥5}，

又B＝{x|b－3<x<b＋7}，B∪(∁UM)＝R，

所以解得－2≤b<－1.

所以实数b的取值范围是[－2，－1)．

三、全称量词命题与存在量词命题的应用

1．已知含量词的命题真假求参数的取值范围，解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．

2．通过掌握全称量词命题与存在量词命题的应用，着重提升逻辑推理和数学运算素养．

例3　已知命题p：∀x∈{x|－2<x<4}，恒有1－a<x<3a＋1成立，若p为真命题，求实数a的取值范围．

解　设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|1－a<x<3a＋1}，

由题意知，A⊆B，则有解得a≥3.

故实数a的取值范围为{a|a≥3}．

反思感悟　牵涉到参数的全称量词命题一般是恒成立问题，必须对限定集合中每一个元素x验证成立，解题过程中可以借助于集合、数轴进行解决．牵涉到参数的存在量词命题一般是存在性问题，只要在限定集合中，能找到一个元素x0，使p(x0)成立即可．

跟踪训练3　已知命题q：∃x∈R，使x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0成立，若q为真命题，求实数a的取值范围．

解　q为真命题，即关于x的一元二次方程x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0有实数根，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，

即4a－7≥0，解得a≥，

∴实数a的取值范围为.

四、充分条件、必要条件的判定及应用

1．充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断．

2．解决此类问题要注意转化思想的运用，往往是先把条件化繁为简，要注意推理的严谨性，提升逻辑推理和数学运算素养．

例4　设p：实数x满足a<x<3a，其中a>0，q：实数x满足2<x≤3.若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解　綈p是綈q的充分不必要条件，

即綈p⇒綈q且綈q⇏綈p，

设A＝{x|x≤a或x≥3a，a>0}，B＝{x|x≤2或x>3}，则AB.

所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.

所以实数a的取值范围是{a|1<a≤2}．

反思感悟　主要是根据充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解．

跟踪训练4　(1)已知p：m－1<x<m＋1，q：2<x<6，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　)

A．3<m<5   B．3≤m≤5

C．m<3或m>5   D．m≤3或m≥5

答案　B

解析　∵q是p的必要不充分条件，

∴p⇒q且q⇏p.

∴且等号不能同时取得，

∴3≤m≤5.

∴实数m的取值范围是3≤m≤5.

(2)若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．

答案　－或

解析　p：x2＋x－6＝0，

即x＝2或x＝－3.

q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；

由题意知p⇏q，q⇒p，故a＝0舍去；

当a≠0时，x＝－.

应有－＝2或－＝－3，

解得a＝－或a＝.

综上可知，a＝－或a＝.