高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.2 两角和与差的正弦、正切课文配套课件ppt

课后素养落实(十九)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知tan (α＋β)＝，tan ＝，那么tan 等于(　　)

A．　 B．　　　

C．　 D．

C　[tan ＝tan ＝＝.]

2．设向量a＝(cos  α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan 等于(　　)

A．－ B．  

C．－3 D．3

B　[a·b＝2cos  α－sin α＝0，得tan α＝2.

tan ＝＝＝.]

3．若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于(　　)

A．m　　　 B．(1－m)

C．(m－1)　　 D．(m＋1)

B　[由公式变形tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)

可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°)

＝(1－m).]

4．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　)

A．钝角三角形　　 B．锐角三角形

C．直角三角形　　 D．无法确定

A　[因为tan A，tan B 是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则tan A＋tan B＝，tan  A tan B＝，

所以tan (A＋B)＝＝，

所以0<A＋B<，得<C<π，

所以△ABC是钝角三角形．]

5．(多选题)下列结果为的是(　　)

A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35°

B．(1＋tan 20°)(1＋tan 40°)

C.

D．

AC　[对选项A，因为tan25°＋tan 35°＝tan (25°＋35°)(1－tan 25°·tan 35°)＝－tan 25°tan 35°，所以原式＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝.对选项B，(1＋tan 20°)(1＋tan 40°)＝1＋tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝1＋(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°·tan 40°＝1＋－(－1)tan 20°tan 40°≠.对选项C，原式＝＝tan 60°＝.对选项D，原式＝＝.]

二、填空题

6.＝________．

　[原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝.]

7．若tan ＝－，则tan ＝________，tan α＝________．

　－4　[tan ＝＝＝－，解得tan α＝－4，

tan ＝＝＝.]

8．已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan (α＋β)＝________．

1　[因为tan β＝＝，

所以tan β＋tan αtan β＝1－tan α.

所以tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.

所以tan α＋tan β＝1－tan αtan β.

所以＝1，所以tan (α＋β)＝1.]

三、解答题

9．已知tan ＝2，tan β＝，

(1)求tan α的值；

(2)求的值．

[解]　(1)因为tan ＝2，所以＝2，

所以＝2，解得tan α＝.

(2)原式＝

＝＝

＝tan (β－α)＝＝＝.

10．已知α，β∈，且tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，求α＋β.

[解]　因为tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，

所以tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4，

所以tan (α＋β)＝＝＝.

因为两根之和小于0，两根之积大于0，故两根同时为负数．

又α，β∈，

所以α，β∈，

所以α＋β∈(－π，0)，故α＋β＝－.

11．(多选题)已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值可以为(　　)

A．　　 B．1  

C． D．

BD　[因为α＋β＝，所以tan (α＋β)＝＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，

即lg (10a)＋lg ＝1－lg (10a)lg ，

即1＝1－lg (10a)lg ，

所以lg (10a)lg ＝0.

lg (10a)＝0或lg ＝0，得a＝或a＝1.]

12．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tanA·tan C，则B等于(　　)

A．30°　　 B．45°　　  

C．120°　　 D．60°

D　[由公式变形得：tan A＋tan B＝tan (A＋B)(1－tan A tan B)

＝tan (180°－C)(1－tan A tan B)＝－tan C(1－tan A tan B)

＝－tan C＋tan A tan B tan C.

所以tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan A tan B tan C＋tan C＝tan A tan B tan C＝3.

因为tan2B＝tanA tan C，

所以tan3B＝3.

所以tanB＝，B＝60°.]

13．已知tan ＝2，则的值为________．

　[因为tan＝2，

所以＝2，

解得tan α＝.

所以＝

＝＝＝.]

14．已知tan (α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则tan α＝________，2α－β＝________．

　－　[tan α＝tan [(α－β)＋β]

＝＝＝.

tan (2α－β)＝tan [(α－β)＋α]

＝＝1.

因为tan β＝－<0，所以<β<π.

又因为tan α＝>0，所以0<α<.

所以－π<α－β<0.

而tan (α－β)＝>0，

所以－π<α－β<－.

所以2α－β∈(－π，0).

所以2α－β＝－.]

15．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝和②tan tan β＝2－同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由.

[解]　由①得＋β＝，则tan ＝tan ，

即＝.

把条件②代入上式，得

tan ＋tan β＝×(1－2＋)＝3－.　③

由②③知，tan ，tan β是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个实数根．

解这个方程，得或

因为α是锐角，所以0<<，所以tan ≠1.

故tan ＝2－，tan β＝1.

因为0<β<，由tan β＝1，得β＝，

代入①，得α＝.

所以存在锐角α，β使两个条件同时成立．