2021学年8.2.2 两角和与差的正弦、正切课堂检测

1．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sinBcosC，那么这个三角形一定是(　　)

A．锐角三角形　　　　　　B．钝角三角形

C．直角三角形  D．等腰三角形

解析：由sin(B＋C)＝2sinBcosC得sin(B－C)＝0

∵B、C是△ABC的两个内角，∴B－C＝0即B＝C.

答案：D

2．函数y＝sinx＋cosx的值域是(　　)

A.  B．[1,2]

C.  D．[0,2]

解析：y＝2sin，其中≤x＋≤π，

∴y∈[1,2]．

答案：B

3．已知sin＝，则cosα＋sinα的值为(　　)

A．－  B.

C．2  D．－1

解析：cosα＋sinα＝2×

＝2cos＝2sin＝.

答案：B

4．已知sinα－cosβ＝，cosα－sinβ＝，则sin(α＋β)＝________.

解析：将sinα－cosβ＝两边平方得

sin2α－2sinαcosβ＋cos2β＝①

将cosα－sinβ＝两边平方得

cos2α－2cosαsinβ＋sin2β＝②

①＋②得：(sin2α＋cos2α)－2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋(cos2β＋sin2β)＝＋，

∴1－2sin(α＋β)＋1＝，∴sin(α＋β)＝.

答案：

5．已知cos＝－，sin＝，且＜α＜π，0＜β＜，求cos.

解析：因为＜α＜π，所以＜＜，

因为0＜β＜，所以－＜－β＜0，所以－＜－＜0，

所以＜α－＜π，－＜－β＜.

又cos＝－＜0，sin＝＞0，

所以＜α－＜π，0＜－β＜.

则sin＝＝＝，

cos＝＝＝.

故cos＝cos

＝coscos＋sinsin

＝×＋×＝.

1．sin65°cos35°－cos65°sin35°＝(　　)

A.　　　　　　　　B.

C．－  D．－

解析：原式＝sin(65°－35°)＝sin30°＝.

答案：A

2．在△ABC中，A＝，cosB＝，则sinC＝(　　)

A．－  B.

C．－  D.

解析：∵cosB＝，∴sinB＝，

∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB

＝×＋×＝.

答案：D

3．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，若·＝－1，则sin＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，∴·

＝(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)

＝cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα＝1－3(sinα＋cosα)＝－1，

∴3(sinα＋cosα)＝2，∴3sin＝2，

∴sin＝.

答案：B

4．在△ABC中，若sinAcosB＝1－cosAsinB，则△ABC一定是(　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．等腰三角形

解析：∵sinAcosB＝1－cosAsinB，

∴sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1.

∵A，B为三角形的内角，

∴A＋B＝90°，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形．

答案：B

5．若0＜α＜β＜，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，则(　　)

A．a＞b  B．a＜b

C．ab＜1  D．ab＞2

解析：a＝sin，b＝sin.

∵f(x)＝sin在上是增函数，

又0＜α＜β＜，∴f(α)＜f(β)，即a＜b.

答案：B

6．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：∵m·n＝1＋cos(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，

∴sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)．

又A＋B＝π－C，整理得sin＝，

∵0＜C＜π，∴＜C＋＜，

∴C＋＝，∴C＝.

答案：C

7．化简：sin(α＋β)＋sin(α－β)＋2sinαsin＝________.

解析：原式＝2sinαcosβ－2sinαcosβ＝0.

答案：0

8．函数f(x)＝sinx＋sin的最大值是________．

解析：f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，

∴f(x)的最大值为2.

答案：2

9．sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－cos(120°－x)＝__________.

解析：原式＝sinxcos60°＋cosx·sin60°＋2sinxcos60°－2cosxsin60°－(cos120°cosx＋sin120°sinx)

＝sinx－cosx＋cosx－sinx＝0.

答案：0

10.＋sin10°tan70°－2cos40°＝________.

解析：＋sin10°tan70°－2cos40°

＝＋－2cos40°

＝－2cos40°

＝－2cos40°

＝－2cos40°

＝＝2.

答案：2

11．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．

解析：∵＜α＜π，∴＜＋α＜π，

∴sin＝＝.

∵0＜β＜，∴π＜π＋β＜π，

∴cos＝－＝－，

∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)

＝－sin

＝－

＝－＝.

12．设A，B为锐角三角形ABC的两个内角，向量a＝(2cosA,2sinA)，b＝(3cosB,3sinB)，若a，b的夹角为60°，求A－B的值．

解析：∵|a|＝2，|b|＝3，a·b＝2cosA·3cosB＋2sinA·3sinB＝6(cosAcosB＋sinAsinB)＝6cos(A－B)，

而a与b的夹角为60°，则cos60°＝＝

＝＝cos(A－B)，即cos(A－B)＝.

又∵0＜A＜，0＜B＜，∴－＜A－B＜，

∴A－B＝±.