高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.2 两角和与差的正弦、正切练习

课时跟踪检测（十九）  两角和与差的正切

A级——学考水平达标练

1．与相等的是(　　)

A．tan 66°　　　　　　　 B．tan 24°

C．tan 42° D．tan 21°

解析：选B　原式＝＝tan(45°－21°)＝tan 24°.

2．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则角C等于(　　)

A.   B.

C.  D．

解析：选A　由已知，得tan A＋tan B＝(tan Atan B－1)，

即＝－，∴tan(A＋B)＝－，

∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，

∴C＝.

3．已知tan α＝，则的值是(　　)

A．2   B.

C．－1 D．－3

解析：选B　法一：因为tan α＝，所以tan

＝＝＝3，

所以＝＝.故选B.

法二：＝

＝tan＝tan α＝.故选B.

4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为(　　)

A．－  B.

C. D．－

解析：选A　tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－.

5．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)

A．－3  B．－1

C．1 D．3

解析：选A　因为tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，故tan(α＋β)＝＝＝－3，故选A.

6．已知tan(α＋β)＝7，tan α＝，且β∈(0，π)，则β的值为________．

解析：由tan(α＋β)＝＝7，即＝7，解得tan β＝1，又∵β∈(0，π)，∴β＝.

答案：

7．(2018·通州模拟)已知P(2，m)为角α终边上一点，且tan＝，则sin α＝________.

解析：∵P(2，m)为角α终边上一点，∴tan α＝，

再根据tan＝＝＝，∴m＝－1，

故x＝2，y＝－1，r＝|OP|＝＝，

则sin α＝＝＝－.

答案：－

8．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为___________________________．

解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒＝－1，

即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝kπ－，k∈Z.

当k＝1时，α＋β取得最小正值.

答案：

9．化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]．

解：∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]

＝＝tan 30°＝，

∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x)＝[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]．

∴原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋×[1－tan(18°－x)tan(12°＋x)]＝1.

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴的正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.

(1)求tan(α＋β)的值；

(2)求α＋2β的值．

解：由条件得cos α＝，cos β＝.

∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，

sin β＝＝，因此tan α＝7，tan β＝.

(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.

(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]

＝＝＝－1，

又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.

B级——高考水平高分练

1．已知α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝(　　)

A．2  B．－2

C．1 D．－1

解析：选A　∵－1＝tan(α＋β)＝，∴tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β.∴(1－tan α)(1－tan β)＝1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2.

2．在锐角△ABC中，tan A·tan B的值(　　)

A．不小于1  B．小于1

C．等于1 D．大于1

解析：选D　在锐角△ABC中，A＋B＋C＝π，则C＝π－(A＋B)，tan A>0，tan B>0.由tan C＝－tan(A＋B)＝－>0，得tan A·tan B>1.

3.如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．

解：由AB＋BP＝PD，得a＋BP＝，

解得BP＝a.

设∠APB＝α，∠DPC＝β，

则tan α＝＝，tan β＝＝，

∴tan(α＋β)＝＝－18，

又∠APD＋α＋β＝π，∴tan∠APD＝18.

4．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝和②tan ·tan β＝2－ 同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．

解：由①得＋β＝，∴tan＝＝.

将②代入上式得tan ＋tan β＝3－.

因此，tan 与tan β是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根．解得x1＝1，x2＝2－.

若tan ＝1，由于0＜＜，∴这样的α不存在．

故只能是tan ＝2－，tan β＝1.

由于α，β均为锐角，∴α＝，β＝.

故存在锐角α＝，β＝使①②同时成立．