高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.2 两角和与差的正弦、正切第1课时导学案

8．2.2　两角和与差的正弦、正切

第1课时　两角和与差的正弦

[课程目标] 1.理解两角和与差的正弦公式的推导过程及公式的结构特征．

2．掌握两角和与差的正弦公式并能运用公式进行化简和求值．

[填一填]

1．两角和与差的正弦公式

sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，(Sα＋β)

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(Sα－β)

2．公式的推导

(1)两角和的正弦公式的推导

运用Cα－β和诱导公式，有

sin(α＋β)＝cos

＝cos

＝coscosβ＋sinsinβ

＝sinαcosβ＋cosαsinβ.

(2)两角差的正弦公式的推导

在公式Sα＋β中用－β代替β可以得到 sin(α－β)

＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，

即sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，

将其简记为Sα－β，即差角的正弦公式．

3．化一公式

y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cosθ＝，sinθ＝ .

[答一答]

1．应用两角和与差的正弦公式应注意哪些问题？

提示：(1)公式中的α，β均为任意角．

(2)当α(或β)中有一个是的整数倍角时，直接利用诱导公式更简捷一些．

(3)对公式的应用，要能熟练地“正用”“逆用”“变形用”，如sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin[(α＋β)－β]＝sinα.

(4)公式的结构特征：两个角的正、余弦交叉相乘再相加(减)，即“正余余正符号同”．要注意与两角和与差的余弦公式“余余正正符号异”对比记忆．

(5)正弦函数的计算不符合分配律，即sin(α－β)≠sinα－sinβ.

2．使用公式asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)时应注意什么问题？

提示：(1)asinx，bcosx中的x是同一个角．

(2)一般在提取系数时，我们提取，特殊情况下，也可以提取－.

(3)θ由cosθ＝，sinθ＝决定．通常将θ化归到区间内．

(4)若令sinφ＝，cosφ＝，则有asinx＋bcosx＝(sinφsinx＋cosφcosx)＝cos(x－φ)．

因此，化一公式也可看作是两角和与差的正弦、余弦公式的逆向应用．

类型一　　　两角和与差的正弦公式的简单应用

[例1]　求值：(1)sin44°cos74°－sin74°cos44°；

(2)sin119°sin181°－sin91°sin29°.

[分析]　尝试运用非特殊角向特殊角转化或创造条件逆用公式，然后求值．

[解]　(1)原式＝sin44°cos74°－cos44°sin74°

＝sin(44°－74°)＝sin(－30°)＝－.

(2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin29°

＝cos29°(－sin1°)－cos1°sin29°

＝－(sin29°cos1°＋cos29°sin1°)

＝－sin(29°＋1°)＝－sin30°＝－.

该类问题融两角和与差的三角函数及诱导公式于其中，求解时先借助诱导公式分析角之间的关系，在此基础上逆用两角和与差的正弦、余弦公式化简求值.

[变式训练1]　求值：

(1)sin195°；

(2)cos285°cos15°－sin255°sin15°.

解：(1)原式＝sin(60°＋135°)＝sin60°cos135°＋cos60°sin135°＝×(－)＋×＝.

(2)原式＝cos(270°＋15°)cos15°－sin(270°－15°)sin15°

＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°

＝sin(15°＋15°)＝sin30°＝.

类型二　给值求值问题

[例2]　已知sinα＝，α∈(，π)，cosβ＝－，β是第三象限角，求sin(α＋β)，sin(α－β)的值．

[分析]　求解过程中注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的正弦公式中，求出和角或差角的正弦．

[解]　∵sinα＝，α∈，

∴cosα＝－＝－＝－.

∵cosβ＝－，β是第三象限角，

∴sinβ＝－＝－＝－.

∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

＝×＋×＝，

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ

＝×－×＝－.

本题主要是和角差角公式的直接应用，在解题时务必要注意角的范围.

[变式训练2]　已知α∈，β∈，且sin(α＋β)＝，cosβ＝－，求sinα.

解：由0<α<，<β<π，

得<α＋β<，

故由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝－.

由cosβ＝－，得sinβ＝.

所以sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝×－×＝.

类型三　　　给值求角问题

[例3]　已知α，β均为锐角，且cosα＝，sinβ＝，求α－β.

[分析]　根据平方关系求出sinα，cosβ，从而可求出sin(α－β)．

[解]　由已知α，β均为锐角，且cosα＝ ，sinβ＝，得sinα＝＝，cosβ＝＝，

∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ

＝×－×＝－.

又∵sinα<sinβ，∴0<α<β<，

∴－<α－β<0，∴α－β＝－.

已知α，β的三角函数值求α，β的和或差的值，通常是先求其三角函数值，再求角.需要注意的是，要对角的范围进行判断，再确定其值.

[变式训练3]　已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sinβ＝－，试求角α的大小．

解：因为α∈，β∈，

所以α－β∈(0，π)．

由cos(α－β)＝，知sin(α－β)＝.

由sinβ＝－，知cosβ＝.

所以sinα＝sin[(α－β)＋β]

＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ

＝×＋×＝.

又α∈，所以α＝.

类型四　　利用公式解三角形

[例4]　在△ABC中，sinA＋cosA＝，求sinA的值．

[解]　解法1：∵sinA＋cosA＝cos(A－45°)＝，

∴cos(A－45°)＝.

又∵0°<A<180°，∴A－45°＝60°，∴A＝105°.

∴sinA＝sin105°＝sin(45°＋60°)

＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝.

解法2：∵sinA＋cosA＝sin(A＋45°)＝，

∴sin(A＋45°)＝.

又∵0°<A<180°，∴A＋45°＝150°，∴A＝105°.

∴sinA＝sin105°＝sin(45°＋60°)

＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝.

解决三角形中的有关问题的解题技巧

(1)三角形的内角和等于180°.

(2)创设条件使之能运用两角和与差的三角函数公式．

(3)记住以下常用结论：

在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，sin＝cos，cos＝sin，tan(A＋B)＝－tanC．

[变式训练4]　△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是(　C　)

A．等腰直角三角形  B．直角三角形

C．等腰三角形   D．等边三角形

解析：在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴2cosBsinA＝sinAcosB＋cosAsinB，

即sinAcosB－cosAsinB＝0.亦即sin(A－B)＝0，

∴A－B＝0，A＝B，从而△ABC是等腰三角形．

类型五　asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)的应用

命题视角1：利用公式化简函数

[例5]　求函数y＝sin＋cos的最大值和最小正周期．

[分析]　将函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后求其最大值和最小正周期．

[解]　y＝sin＋cos(＋2θ)

＝＋

＝(cos2θ－sin2θ)＝－sin，

当2θ－＝2kπ－，即θ＝kπ－(k∈Z)时，

ymax＝，T＝＝π，

∴函数的最大值是，最小正周期是π.

[变式训练5]　求函数f(x)＝3cos5x＋4sin5x的最大值、最小值、最小正周期．

解：f(x)＝sin(5x＋θ)＝5sin(5x＋θ)，其中θ＝arctan.

所以函数f(x)＝3cos5x＋4sin5x的最大值是5，最小值是－5，最小正周期为.

命题视角2：利用公式限定定义域

[例6]　已知函数y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2.

(1)若x∈R，求函数的最大值和最小值；

(2)若x∈，求函数的最大值和最小值．

[分析]　将sinx＋cosx平方得1＋2sinxcosx，于是sinx＋cosx和2sinxcosx可用一个未知数代替，这样就可以把原函数转化为关于此未知数的二次函数．

[解]　(1)设t＝sinx＋cosx＝sin∈[－，]，

则t2＝1＋2sinxcosx，

∴2sinxcosx＝t2－1.

∴y＝t2＋t＋1＝2＋∈.

∴ymax＝3＋，ymin＝.

(2)若x∈，则t∈[1，]．

∴y∈[3,3＋]，即ymax＝3＋，ymin＝3.

在解与三角函数有关的最值问题中经常用到三角函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1.在这类问题中，要注意最值点是否在定义域内.

[变式训练6]　求函数f(x)＝的最大值和最小值．

解：设sinx＋cosx＝t，则t＝sin.

∵－1≤sin≤1，又1＋sinx＋cosx≠0，

∴t∈[－，－1)∪(－1，]．

则sinxcosx＝， f(x)＝＝.

当t＝－时， f(x)取最小值－.

当t＝时， f(x)取最大值.

因此，f(x)的最小值是－，最大值是.

1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于(　A　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

解析：原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.

2．函数y＝sinx－cosx的最小正周期是(　C　)

A．  B．π  C．2π  D．4π

解析：y＝sinx－cosx＝＝sin.∴原函数的最小正周期为2π.

3．已知θ是锐角，则sinθ＋cosθ的值可能是(　A　)

A．  B．  C．  D．1

解析：∵θ为锐角，∴θ＋∈.

∴sin(θ＋)∈.

又∵sinθ＋cosθ＝sin，

∴sinθ＋cosθ∈(1，]．

因此sinθ＋cosθ的值不可能等于，，1.

4.＝2－.

解析：原式＝＝

＝＝＝＝2－.