高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.2 两角和与差的正弦、正切第2课时学案

第2课时　两角和与差的正切

[课程目标] 1.理解两角和与差的正切公式的推导．

2．掌握公式的正、逆向及变形运用．

3．能够灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明．

[填一填]

1．两角和与差的正切公式

tan(α＋β)＝，(Tα＋β)

tan(α－β)＝.(Tα－β)

2．公式的推导

tan(α＋β)＝＝，

把后面一个分式的分子、分母分别除以cosαcosβ(cosαcosβ≠0)得：tan(α＋β)＝.

以－β代替上式中β可得tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]＝＝.

[答一答]

1．运用两角和与差的正切公式时应注意哪些问题，公式有哪些应用？

提示：(1)公式Tα＋β成立的条件是：α≠kπ＋，β≠kπ＋，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．

(2)公式Tα－β成立的条件是：α≠kπ＋，β≠kπ＋，α－β≠kπ＋(k∈Z)，且在从左向右写出等式时，角α，β的位置不要写反．

应用：由Tα＋β，Tα－β可知：(1)已知α，β的正切值可以求α＋β的正切值，实际上在公式中共有3个量：tan(α±β)，tanα，tanβ.因此知二求一．(2)利用公式可以进行求值、化简、证明三角恒等式．(3)特别地，当α＝45°时，tan(45°±θ)＝.

2．两角和与差的正切公式有哪些常见变形？

提示：对于公式tan(α＋β)＝而言，两边都是角的正切，因此，可以有以下一些变形：

(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；

(2)tanαtanβ＝1－；

(3)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)；

(4)当β＝时，tan(α＋β)＝tan＝.

对于公式tan(α－β)＝，也有类似的结论．

类型一　　两角和与差的正切公式的直接应用

命题视角1：公式的正用

[例1]　已知sinα＝－，α是第四象限角，求tan，tan的值．

[分析]　已知sinα的值，求tan用两角差的正切公式，而求tan则只能用诱导公式来做．

[解]　因为sinα＝－，α是第四象限角，得

cosα＝＝＝，

tanα＝＝＝－.

于是有tan＝＝＝－7.

tan＝＝

＝＝＝.

在运用正切的和差角公式来解题时一定要注意公式成立的条件.

[变式训练1]　(1)求tan105°的值；

(2)已知cosθ＝－，θ∈，求tan的值．

解：(1)tan105°＝tan(180°－75°)＝－tan75°

＝－tan(45°＋30°)＝－＝－

＝－＝－2－.

(2)∵cosθ＝－，θ∈，

∴sinθ＝－＝－，

∴tanθ＝＝.

∴tan＝＝＝－.

命题视角2：公式的逆用及变形应用

[例2]　求下列各式的值：

(1)；

(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)……(1＋tan44°)；

(3)tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°.

[分析]　尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值．

[解]　(1)原式＝＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.

(2)因为(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°×tan44°＝2，

同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，

所以原式＝222.

(3)∵tan60°＝tan(25°＋35°)＝＝，

∴tan25°＋tan35°＝(1－tan25°tan35°)，

∴tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°＝.

1.“1”的代换：在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的.,2.若α＋β＝＋kπ，k∈Z，则有1＋tanα1＋tanβ＝2.,3.若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tanα±β的变形公式.

[变式训练2]　求值：(1)；

(2)tan＋tan＋tan·tan.

解：(1)原式＝＝

＝－tan(15°＋45°)＝－tan60°＝－.

(2)原式＝tan·＋tan·tan

＝tan·＋tan·tan

＝－tantan＋tan·tan＝.

类型二　　给值求值问题

[例3]　已知sinα＝，α∈(0,2π)，tan(α－β)＝，求tanβ及tan(2α－β)．

[分析]　先求出tanα，然后将所求式中的角分拆，并运用两角和与差的正切公式可求解．

[解]　因为sinα＝>0，所以α∈(0，π)．

(1)当α∈时，

cosα＝＝＝，

所以tanα＝＝＝，

所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝

＝＝.

tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝

＝＝2；

(2)当α∈时，

cosα＝－＝－＝－，

所以tanα＝＝＝－，

所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝

＝＝－2，

tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝

＝＝－.

综上可得，当α∈时，tanβ＝，tan(2α－β)＝2；

当α∈时，tanβ＝－2，tan(2α－β)＝－.

[变式训练3]　已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan2α，tan2β，tan.

解：tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]

＝＝＝－，

tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]

＝

＝＝，

tan＝＝＝.

类型三　　给值求角问题

[例4]　已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．

[分析]　本题主要考查已知三角函数值求角，可先利用已知条件求出tan(2α－β)的值，然后由2α－β的范围作出判断，求出2α－β的值．

[解]　∵tanβ＝－，tan(α－β)＝，

∴tanα＝tan[(α－β)＋β]＝

＝＝.

tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝

＝＝1.

∵tanα＝>0，tanβ＝－<0，

∴α∈，β∈，α－β∈(－π，0)．

又tan(α－β)＝>0，∴α－β∈.

2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．

而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－π.

 [变式训练4]　已知－<α<，－<β<，且tanα，tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的两根，求α＋β的值．

解：由根与系数的关系，得tanα＋tanβ＝－6<0，

tanαtanβ＝7>0，∴tanα<0，tanβ<0.

又∵－<α<，－<β<，

∴－<α<0，－<β<0，

∴－π<α＋β<0.

∵tan(α＋β)＝＝＝1.

∴α＋β＝－π.

类型四　　在解三角形中的应用

[例5]　已知在△ABC中，满足tanA＋tanB＋＝tanAtanB，且sinAcosA＝，判断△ABC形状．

[分析]　先利用tan(A＋B)变形转化tanA＋tanB＋＝tanAtanB得出结论，再与另一个条件sinAcosA＝结合，最后求解．

[解]　若tanAtanB＝1，

∵tanA＋tanB＋＝tanAtanB，

则tanA＋tanB＝0，∴tanA＝－tanB，

tan2B＝－1，不可能，故tanAtanB≠1.

由tanA＋tanB＋＝tanAtanB得

＝－，即tan(A＋B)＝－.

∴tanC＝－tan(A＋B)＝，从而C＝60°.

由sinA·cosA＝得sin2Acos2A＝化为

16cos4A－16cos2A＋3＝0，

∴cos2A＝或cos2A＝，

cosA＝±或cosA＝±.

又A∈(0，π)，∴A＝30°或150°或60°或120°.

当A＝150°或120°时不符合题意，舍去．

当A＝30°时，C＝60°，

∴B＝90°，与tanB有意义矛盾，舍去．

∴A＝60°，B＝60°，C＝60°，即 △ABC为正三角形．

判断三角形形状类题型的思路是得出边与角的特殊关系，同时注意挖掘三角形隐含条件，如A＋B＋C＝π，大边对大角，两边之和大于第三边等.

[变式训练5]　已知△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．

解：若tanBtanC＝1，

∵tanB＋tanC＋tanBtanC＝，则tanB＋tanC＝0，

∴tanB＝－tanC，∴tan2C＝－1，这不可能．

故tanBtanC≠1.

由tanB＋tanC＋tanBtanC＝得，＝，

∴tan(B＋C)＝.

同理tanAtanB≠1，

∵tanA＋tanB＝tanA·tanB－1，

∴＝－，∴tan(A＋B)＝－.

又∵A，B，C为△ABC的内角，

∴B＋C＝60°，A＋B＝150°.

∴A＝120°，B＝C＝30°.

∴△ABC为顶角是钝角的等腰三角形．

1．若tanα＝3，tanβ＝，则等于(　C　)

A．－3   B．－

C．3   D．

解析：＝＝＝3.

2．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　A　)

A．－3　　　　B．－1       C．1　　　　D．3

解析：由条件得tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝＝＝－3，所以选A．

3．若tan28°·tan32°＝m，则tan28°＋tan32°＝(　B　)

A．m   B．(1－m)

C．(m－1)   D．(m＋1)

解析：tan(28°＋32°)＝tan60°＝＝＝，∴tan28°＋tan32°＝(1－m)．

4．若tan＝3，则tanα的值等于.

解析：tanα＝tan

＝＝＝.