【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)必修第一册 2.1《等式性质与不等式性质》培优分阶练（含解析）

2.1 等式性质与不等式性质课后培优练培优第一阶——基础过关练一、单选题1.若a>b,c>d，则下列命题中正确的是 ( )A．a-c>b-d B．ad>bc C．ac>bd D．c+a>d+b答案 D解析 由题已知，a>b,c>d，根据不等式的性质，B,C选项数的正负不明，错误；由同向不等式的可加性可知，已知a>b,c>d时有a+c>b+d，D正确.2.已知a,b为非零实数，且a0&aab，所以D不成立 ，故选C.3.若ba2 C．|a|+|b|>|a+b| D．3a>3b答案 C解析 ∵ba2，3b<3a．设a=-2，b=-1时，|a|+|b|=|a+b|与C矛盾．因此只有C错误．故选：C．4.若1a<1b<0，则下列结论不正确的是( )A．a2|a+b|答案 D解析 方法一：因为1a<1b<0，所以&a<0&b<0&a>b ，则a2B D．A>B答案 B解析 因为A-B=a2+3ab-4ab-b2=a-b22+34b2≥0，所以A≥B.二、多选题 6.设abc B．1c>1a>1b C．ab1a>1b，所以1c>0，即1c>1a>1b，故B正确；若ac2，故C错误；若a1b，-a>-b，1a-a>1b-b，故D正确．故选：BD． 三、填空题7.若1Q解析 P>Q⇐2>6-2⇐22>6⇐(22)2>(6)2⇐8>6 9.已知x<1，则x3-1、2x2-2x的关系是 .答案 x3-1<2x2-2x解析 作差得x3-1-2x2-2x=x3-2x2+2x-1即x3-x2-x2-2x+1=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)x2-x+1，∵x<1，∴x-1<0，又∵x2-x+1=x-122+34>0恒成立，∴(x-1)x2-x+1<0，∴x3-1<2x2-2x． 四、解答题10.已知a>b>0，c<0，求证ca>cb.解析 ∵a>b>0，∴ab>0，1ab>0，于是a⋅1ab>b⋅1ab，即1b>1a，又c<0，∴ca>cb.11.已知实数a,b,c,d满足下列三个条件：①d>c；②a+b=c+d；③a+dc，∴ay时，则x3>x2y>xy2>y3，即A>B>C>D；在此种条件下取A,B能够稳操胜券．②当xy2x>yx2>x3，即D>C>B>A；在此种条件下取D,C能够稳操胜券．③又x3+y3-xy2+x2y=x3-x2y+y3-xy2=(x-y)2(x+y)>0．-在不知道x,y的大小的情况下，取A,D能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．故可能有1种，就是取A,D． 培优第二阶——拓展培优练一、单选题 1.设ab>0，下面四个不等式中，正确的是( )①|a+b|>|a|；②|a+b|<|b|；③|a+b|<|a-b|；④|a+b|>|a|-|b|A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④答案 C解析 由题ab>0，则说明两个数同号，易判断①|a+b|>|a|，正确； ②|a+b|<|b|错误；③|a+b|<|a-b|；错误；④|a+b|>|a|-|b|正确 . 故选C.2.已知正数a,b,c,d满足a+d=b+c，|a-d|<|b-c|，则有(　　)A．ad=bc B．adbc D．ad与bc大小不定答案 C解析 方法1：可以用特殊值法．比如令正数a=2，b=1，c=4，d=3，满足|a-d|<|b-c|，得ad>bc．方法2：因为a,b,c,d均为正数，又由a+d=b+c得a2+2ad+d2=b2+2bc+c2所以a2+d2-b2+c2=2bc-2ad．①又因为|a-d|<|b-c|，可得a2-2ad+d2bc，故选：C．3.若m0，∴m,n一个大于p，一个小于p．∵ma－1，∴a-11，∴②错误；③若若|a-b|=1，则可取a=9，b=4，而|a-b|=5>1，∴③错误；④由a3-b3=1，若a>b，则a3-b3=1，即a3-1=b3，即(a-1)a2+1+a=b3，∵a2+1+a>b2，∴a-1a2，∴b-11，a=C+1-C，b=C-C-1，则正确的结论是(　　)A．ab C．a=b D．a与b的大小不确定答案 A解析 C+1-C=(C+1-C)(C+1+C)C+1+C=1C+1+C，C-C-1=(C-C-1)(C+C-1)C+C-1=1C+C-1，∵C>1，∴C+1>C－1>0，C+1>C-1，C+1+C>C+C-1>0，∴1C+1+C<1C+C-1，即aa-1，∴a-11，∴B错误；若|a-b|=1，则可取a=9,b=4，而|a-b|=5>1，∴C错误；由a3-b3=1，若a>b>0，则a3-b3=1，即(a-1)a2+a+1=b3，∵a2+1+a>b2，∴a-1a2，∴b-1ab，则b>a； ②已知a,b都为实数，若|a+b|<|a|+|b|，则ab<0； ③若a,b,c为△ABC的三条边，则a2+b2+c2>2(ab+bc+ca)；④若a>b>c，则1a-b+1b-c+1c-a>0．其中正确命题的个数为 个. 答案 3解析 ①若a,b,m都是正数，且a+mb+m>ab，则b>a，故有a-b<0，此命题正确； ②已知a,b都为实数，若|a+b|<|a|+|b|，则ab<0，由绝对值不等式的意义知，此两数符号相反，故命题正确； ③若a,b,c为△ABC的三条边，则a2+b2+c2>2(ab+bc+ca)；三角形中两边之差小于第三边，所以a-b22(ab+bc+ca)，故此命题不对；④若a>b>c，则1a-b+1b-c+1c-a>0，此命题正确，因为a>b>c,故a-b>0,b-c>0,c-a<0，且b-c+c-a=b-a<0故有1b-c+1c-a>0，即1a-b+1b-c+1c-a>0，成立综上①②④是正确命题.9.若P=a+3+a+5，Q=a+1+a+7(a≥0)，则P，Q的大小关系是 . 答案 P>Q解析 ∵a≥0，P2=2a+8+2a2+8a+15，Q2=2a+8+2a2+8a+7，∴a2+8a+15>a2+8a+7，∴2a2+8a+15>2a2+8a+7，∴P2>Q2，且P>0，Q>0，∴P>Q．四、解答题 10.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，谁先到教室？ 答案 已先回到教室解析 设路程为s，步行速度v1，跑步速度v2，则甲用时t1=12Sv1+12Sv2，乙用时t2=2sv1+v2，t1-t2=s2v1+s2v2-2sv1+v2=sv1+v22v1v2-2v1+v2=v1+v22-4v1v22v1v2v1+v2⋅s=v1-v22⋅s2v1v2v1+v2>0，所以甲用时多，已先回到教室.11.已知a>0，b>0，且m,n∈N*，1≤m≤n，比较an+bn与an-mbm+ambn-m的大小．答案 an+bn≥an-mbm+ambn-m解析 an+bn-an-mbm+ambn-m =an-mam-bm+bn-mbm-am=am-bman-m-bn-m 因为a>0，b>0，m,n∈N*，1≤m≤n，当a=b>0时，an+bn-an-mbm+ambn-m=0；当a>b>0时，am>bm，an-m≥bn-m)，所以an+bn-an-mbm+ambn-m≥0；当b>a>0时，amaa+b+c+d+ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d=1S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+dd+a+b0，那么下列不等式中正确的是( )A．a2|b| D．1a<1b答案 D解析 对于A：由于a<0,b>0，当a=-3,b=1时，不等式不成立，故A错误；对于B：当a=-3,b=1时，故选项B错误；对于C：当，时，选项C错误；对于D：由于a<0,b>0，故1a<1b，故D正确．故选：D．2.(2022•安徽模拟)已知a>b>c>d>0，且a+d=b+c，则以下不正确的是( )A．a+c>b+d B．ac>bd C．adcd答案 D解析 ∵a>b>c>d>0，∴a+c>b+d，ac>bd；即选项A、B正确；∵a-d>b-c>0，∴(a-d)2>(b-c)2，即(a+d)2-4ad>(b+c)2-4bc，即adx1+x3 C．x22x1x3答案 A解析 设x1+y1=x2+y2=x3+y3=2m，&x1=m-a&y1=m+a，&x2=m-b&y2=m+b，&x3=m-c&y3=m+c，根据题意，应该有&a≠b≠c&a,b,c>0，且m2-a2+m2-c2=2m2-b2>0，则有&a2+c2=2b2&m2>b2，则x1+x3-2x2=(m-a)+(m-c)-2(m-b)=2b-(a+c)，因为(2b)2-(a+c)2=2a2+c2-(a+c)2>0，所以x1+x3-2x2=2b-(a+c)>0，所以A项正确，B错误．x1x3-x22=(m-a)(m-c)-(m-b)2=(2b-a-c)m+ac-b2=(2b-a-c)m-(a-c)22，而上面已证(2b-a-c)>0，因为不知道m的正负，所以该式子的正负无法恒定．故选：A．