高中第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质课堂检测

第二章　一元二次函数、方程和不等式

2.1　等式性质与不等式性质

基础过关练

题组一　用不等式(组)表示不等关系

1.下列说法正确的是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.某人的月收入x元不高于2 000元可表示为“x<2 000”

B.小明身高x cm,小华身高y cm,则小明比小华矮可表示为“x>y”

C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”

D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”

2.(2020福建莆田二中期末)某同学参加期末模拟考试,考后对自己的语文和数学成绩进行了估计:语文成绩x高于85分,数学成绩y不低于80分,用不等式组可以表示为(　　)

A. B. C. D.

3.(2020山东威海期中)一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车现在每天行驶的路程比原来多19 km,那么现在在8天内它的行程将超过2 200 km,用不等式表示为　　　　　　　. 

题组二　实数的大小比较

4.(2020河北正定一中期中)已知a1,a2∈{x|0<x<1},记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是(　　)

A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定

5.(2020安徽六安中学月考)若x≠-2且y≠1,则M=x2+y2+4x-2y的值与-5的大小关系是(　　)

A.M>-5 B.M<-5 C.M≥-5 D.M≤-5

6.若x∈R,则与的大小关系为　　　　　　. 

7.设P=,Q=-,R=-,则将P,Q,R按从大到小的顺序排列为　　　　. 

8.某家庭准备利用假期到某地旅游,有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案.甲旅行社的方案是:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折优惠.乙旅行社的方案是:家庭旅游算集体票,可按七五折优惠.如果这两家旅行社一张全票的票价相同,那么该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算?

题组三　不等式的性质及应用

9.(2020北京人大附中高二期中)已知a<0<b,则下列不等式恒成立的是(　　)

A.a+b<0 B.<1 C.>1 D.>

10.(2020天津南开高一期末)“<”是“b<a<0”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

11.(2020广东东莞高一期末)已知实数a,b,c满足0<a<b,0<c<1,则下列选项一定成立的是(　　)

A.a+c>b+c B.ac>bc

C.ac<b D.bc<a

12.若<<0,则下列结论不正确的是(　　)

A.a2<b2 B.ab<b2

C.a+b<0 D.|a|+|b|>|a+b|

13.若a<0,-1<b<0,则下列各式中正确的是(　　)

A.a>ab>ab2 B.ab>a>ab2

C.ab2>ab>a D.ab>ab2>a

题组四　求代数式的取值范围

14.(2020北京师大附中高二期中)设实数x,y满足3<x<4,1<y<2,则M=2x-y的取值范围是(　　)

A.4<M<6 B.4<M<7

C.5<M<6 D.5<M<7

15.已知12<a<60,15<b<36,则的取值范围为　　　　. 

16.已知2<a<4,3<b<5,那么M=2a+b的取值范围是　　　　. 

17.已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,求(a-b)c2的取值范围.

能力提升练

题组一　实数的大小比较

1.(2020吉林长春榆树一中五校高二期末,)实数x,y,z满足x+y+z=0,xyz>0,若T=++,则(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.T>0 B.T<0

C.T=0 D.T≥0

2.()若p=-,q=-,其中a≥0,则p,q的大小关系是(　　)

A.p<q B.p=q

C.p>q D.不确定

3.(2020吉林省实验中学高二期中,)已知a,b,x均为正数,且a>b,则　　　 .(填“>”“<”或“=”)

4.(2020辽宁大连二十四中高三模拟,)已知a+b>0,则+与+的大小关系是　　　　　　　. 

5.(2019山东济宁一中高二阶段检测,)已知a,b都是正数,并且a≠b,求证:a5+b5>a2b3+a3b2.

题组二　不等式的性质及应用

6.(2020北京朝阳高一期末,)下列命题为真命题的是(　　)

A.若a>b>0,则ac2>bc2

B.若a>b,则a2>b2

C.若a<b<0,则a2<ab<b2

D.若a<b<0,则>

7.(多选)(2020山东济南高一期末,)若a>b>0,d<c<0,则下列不等式成立的是(　　)

A.ac>bc B.a-d>b-c

C.< D.a3>b3

8.(多选)(2020福建三明一中高一期中,)已知实数a,b,c满足c<b<a且ac<0,则下列不等式一定成立的是(　　)

A.ab>ac B.c(b-a)>0

C.ac(a-c)<0 D.cb2<ab2

9.(多选)()设a,b为正实数,则下列命题正确的是(　　)

A.若a2-b2=1,则a-b<1

B.若-=1,则a-b<1

C.若|-|=1,则|a-b|<1

D.若|a|≤1,|b|≤1,则|a-b|≤|1-ab|

10.(2020陕西咸阳中学高一检测,)已知不等式:①a2b<b3;②>0>;③a3<ab2.若a>0>b且a2>b2,则其中正确的不等式的个数是　　　　. 

题组三　求代数式的取值范围

11.()已知2<a+b<5,0<a-b<1,某同学得出了如下结论:①1<a<3;②1<b<2;③<b<;④-4<a-2b<-2;⑤-3<a-2b<-1;⑥1<2a-b<4.则以上结论中正确的是(　　)

A.①③④ B.①②④

C.①②⑤ D.①③⑥

12.(2020浙江绍兴一中高一月考,)已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则M=9x-y的取值范围是(　　)

A.-7≤M≤26 B.-1≤M≤20

C.4≤M≤15 D.1≤M≤15

13.()若实数m,n满足求3m+4n的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.C　对于A,x应满足x≤2 000,故A错误;对于B,x,y应满足x<y,故B错误;C正确;对于D,y与a的关系应满足y≤a,故D错误.

2.A　∵语文成绩x高于85分,∴x>85.

∵数学成绩y不低于80分,∴y≥80,

∴故选A.

3.答案　8(x+19)>2 200

解析　∵汽车原来每天行驶x km,现在每天行驶的路程比原来多19 km,

∴现在汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则现在在8天内它的行程为8(x+19)km,又8天内它的行程将超过2 200 km,则满足8(x+19)>2 200.故答案为8(x+19)>2 200.

4.B　由题意得0<a1<1,0<a2<1,∴M-N=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1)>0,故M>N.故选B.

5.A　M-(-5)=x2+y2+4x-2y+5=(x+2)2+(y-1)2.

∵x≠-2,y≠1,∴(x+2)2>0,(y-1)2>0,因此(x+2)2+(y-1)2>0.故M>-5.

6.答案　≤

解析　∵-==≤0,∴≤.

7.答案　P>R>Q

解析　∵P-R=-(-)=2->0,∴P>R.

R-Q=--(-)=(+)-(+),

∵(+)2=9+2,(+)2=9+2,

∴+>+,∴R>Q,

∴P>R>Q,故答案为P>R>Q.

8.解析　设该家庭除户主外,还有x(x∈N*)人参加旅游,甲、乙两家旅行社收费总金额分别为y1元、y2元,一张全票的票价为a元,则只需按两家旅行社的优惠方案分别计算出y1,y2的值,再比较y1,y2的大小即可.

∵y1=a+0.55ax,y2=0.75(x+1)a,而y1-y2=a+0.55ax-0.75(x+1)a=0.2a(1.25-x),

∴当x>1.25时,y1<y2;当x<1.25时,y1>y2.

又x为正整数,所以当x=1时,y1>y2,即两口之家应选择乙旅行社;当x>1(x∈N*)时,y1<y2,即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.

9.B　因为a<0<b,所以<0,所以<1.故选B.

10.B　取a=2,b=1,<成立,但b<a<0不成立,则“<”⇒/ “b<a<0”.若b<a<0,则-b>-a>0,由不等式的性质得->-,∴<,即“b<a<0”⇒“<”.因此,“<”是“b<a<0”的必要不充分条件.故选B.

11.C　因为0<a<b,0<c,所以ac<bc,又因为0<c<1,所以bc<b,所以ac<b.故选C.

12.D　∵<<0,∴b<a<0,

∴b2>a2,ab<b2,a+b<0,∴A,B,C中的结论均正确.

∵b<a<0,∴|a|+|b|=-a-b=-(a+b)=|a+b|,故D中的结论错误,故选D.

13.D　∵-1<b<0,∴1>b2>0>b>-1,即b<b2<1.又∵a<0,∴ab>ab2>a.

14.B　由已知得6<2x<8,-2<-y<-1,

故4<2x-y<7.故选B.

15.答案　

解析　由0<15<b<36得0<<<,而0<12<a<60,

根据不等式的性质可得12×<a·<×60,即<<4,所以的取值范围为.

16.答案　{M|7<M<13}

解析　∵2<a<4,3<b<5,∴4<2a<8,故7<2a+b<13,即7<M<13.

17.解析　∵-3<b<a<-1,

∴-3<b<-1,-3<a<-1,b<a,

∴1<-b<3,a-b>0,

∴-3+1<a-b<-1+3,即-2<a-b<2,

∴0<a-b<2.

∵-2<c<-1,∴1<c2<4,∴0×1<(a-b)c2<2×4,∴0<(a-b)c2<8.

能力提升练

1.B　因为x+y+z=0且xyz>0,不妨设x>0,则y<0,z<0,则T=++===.因为x>0,z<0,所以xz<0.又-y2<0,所以-y2+xz<0.又xyz>0,所以T<0.故选B.

2.A　由题意知p-q=+-(+).

∵(+)2-(+)2

=2-2,

且(a+3)(a+6)-(a+4)(a+5)=-2<0,a≥0,∴2-2<0,即(+)2-(+)2<0,

∴p-q=+-(+)<0,故p<q.

3.答案　<

解析　-==.

因为a>0,a>b,x>0,所以x+a>0,b-a<0,

所以<0,所以<.

4.答案　+≥+

解析　+-=+=(a-b)·=.

∵a+b>0,(a-b)2≥0,a2b2>0,

∴≥0,∴+≥+.

5.证明　(a5+b5)-(a2b3+a3b2)

=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)

=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a3-b3)(a2-b2)

=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2).

∵a,b都是正数,∴a+b>0,a2+ab+b2>0,

又∵a≠b,∴(a-b)2>0,

∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0,

即a5+b5>a2b3+a3b2.

6.D　对于A,当c=0时,ac2=bc2,所以A不是真命题;对于B,当a=0,b=-2时,a>b,但a2<b2,所以B不是真命题;对于C,当a=-4,b=-1时,a<b<0,a2>ab>b2,所以C不是真命题;对于D,若a<b<0,则>,所以D是真命题.故选D.

7.BD　因为c<0,a>b,所以ac<bc,故A错误;由d<c<0得-d>-c>0,又a>b,所以a-d>b-c,故B正确;由于d<c<0,所以>,故C错误;因为a>b>0,所以a3>b3,故D正确.

8.ABC　因为c<b<a且ac<0,故c<0,a>0,所以ab>ac,故A一定成立;

又b-a<0,所以c(b-a)>0,故B一定成立;

又a-c>0,ac<0,所以ac(a-c)<0,故C一定成立;

当b=0时,cb2=ab2,当b≠0时,有cb2<ab2,故D不一定成立.

9.AD　对于A,若a,b为正实数,则a2-b2=1⇒a-b=⇒a-b>0⇒a>b>0,故a+b>a-b>0,假设a-b≥1,则≥1⇒a+b≤1,这与a+b>a-b>0相矛盾,故a-b<1成立,所以A正确;对于B,取a=5,b=,则-=1,但a-b=5->1,所以B不正确;对于C,取a=4,b=1,则|-|=1,但|a-b|=3>1,所以C不正确;对于D,因为|a|≤1,|b|≤1,所以(a-b)2-(1-ab)2=a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2)≤0,即|a-b|≤|1-ab|,所以D正确.故选AD.

10.答案　2

解析　因为a>0>b且a2>b2,所以a>|b|>0.①化简a2b<b3得a2>b2,显然正确;②>0>显然正确;③化简a3<ab2得a2<b2,显然不正确.故正确的不等式是①②,共2个.故答案为2.

11.D　a=(a+b)+(a-b).

∵2<a+b<5,∴1<(a+b)<.

∵0<a-b<1,∴0<(a-b)<,则1<a<3,①正确;b=(a+b)-(a-b),而1<(a+b)<, 0<(a-b)<,即-<-(a-b)<0,则<b<,②错误,③正确;a-2b=-(a+b)+(a-b),而-<-(a+b)<-1,0<(a-b)<,则-<a-2b<,④⑤错误;2a-b=(a+b)+(a-b),而1<(a+b)<,0<(a-b)<,则1<2a-b<4,⑥正确.故正确的结论是①③⑥,故选D.

12.B　令m=x-y,n=4x-y,则

则9x-y=n-m.

∵-4≤m≤-1,∴≤-m≤.

∵-1≤n≤5,∴-≤n≤.

因此-1≤n-m≤20,即-1≤9x-y≤20,故选B.

13.解析　令3m+4n=x(2m+3n)+y(m-n)=(2x+y)m+(3x-y)n,

则解得

因此3m+4n=(2m+3n)+(m-n).

由-1≤2m+3n≤2得-≤(2m+3n)≤.

由-3<m-n≤1得-<(m-n)≤,

所以--<3m+4n≤+,

即-2<3m+4n≤3.