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2021学年3. 相似三角形的性质课时训练
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这是一份2021学年3. 相似三角形的性质课时训练，共12页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc20202" 【题型1 利用相似三角形的性质求角度】 PAGEREF _Tc20202 \h 2
\l "_Tc5618" 【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】 PAGEREF _Tc5618 \h 2
\l "_Tc15331" 【题型3 利用相似三角形的性质求面积】 PAGEREF _Tc15331 \h 3
\l "_Tc10273" 【题型4 利用相似三角形的性质求周长】 PAGEREF _Tc10273 \h 4
\l "_Tc7074" 【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】 PAGEREF _Tc7074 \h 4
\l "_Tc24866" 【题型6 利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】 PAGEREF _Tc24866 \h 6
\l "_Tc5775" 【题型7 尺规作图作相似三角形】 PAGEREF _Tc5775 \h 7
\l "_Tc29358" 【题型8 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 PAGEREF _Tc29358 \h 8
\l "_Tc32398" 【题型9 新定义中的相似三角形】 PAGEREF _Tc32398 \h 9
【知识点1 相似三角形的性质】
【题型1 利用相似三角形的性质求角度】
【例1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，则∠F的度数为（ ）
A．30°B．60°C．70°D．80°
【变式1-1】（2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABC∽△DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，则∠BCD的度数是（ ）
A．32°B．48°C．64°D．86°
【变式1-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（ ）
A．135°B．90°C．60°D．45°
【变式1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）如图，点A、B、C、D四点共线，ΔPBC是等边三角形，当ΔPAB∼ΔDPC时，∠APD的度数为（ ）
A．120°B．100°C．110°D．125°
【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】
【例2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在CD上取一点F，使△CBF∽△ABE，则DF的长是（ ）
A．8.2B．6.4C．5D．1.8
【变式2-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-2】（2022·全国·九年级专题练习）已知△ABC∽△DEF，△ ABC的三边长分别为2，14，3，△ DEF的其中的两边长分别为1和7，则第三边长为______．
【变式2-3】（2022·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图所示，图中x=___．
【题型3 利用相似三角形的性质求面积】
【例3】（2022·陕西渭南·九年级阶段练习）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为25:36，则△ABC与△DEF的对应边的比是（ ）
A．5:6B．6:5C．25:36D．36:25
【变式3-1】（2022·河南新乡·九年级期末）△ABC与△A'B'C'的位似比是1:2，已知△ABC的面积是3，则△A'B'C'的面积是（ ）
A．3B．6C．9D．12
【变式3-2】（2022·河北石家庄·九年级期末）把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，则它的面积扩大为原来的__________倍．
【变式3-3】（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连结AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积等于______．
【题型4 利用相似三角形的性质求周长】
【例4】（2022·湖南株洲·九年级期末）有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长是（ ）
A．425B．845C．21D．28
【变式4-1】（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）如图是一个边长为1的正方形组成的网络，△ABC与△A1B1C1都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且△ABC∽△A1B1C1，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．2：3D．4：9
【变式4-2】（2022·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知△ABC∽△DEF，其中AB=12，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是______．
【变式4-3】（2022·辽宁鞍山·二模）已知△ABC∽△A'B'C'，且AB=2A'B'．若△ABC的周长是18cm，那么△A'B'C'的周长是________cm．
【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】
【例5】（2022·北京市第一五六中学九年级期中）如图，已知AE平分∠BAC，ABAD=AEAC．
(1)求证：∠E=∠C；
(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的长．
【变式5-1】（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）如图，在△ABC中，点D、点E分别在AC、AB上，点P是BD上的一点，联结EP并延长交AC于点F，且∠A=∠EPB=∠ECB．
(1)求证：BE⋅BA=BP⋅BD；
(2)若∠ACB=90°，求证：CP⊥BD．
【变式5-2】（2022·山东·东平县江河国际实验学校二模）如图，点D，E分别在△ABC的边BC，AC上，连接AD，DE．
（1）若∠C=∠BAD，AB=5，求BD·BC的值；
（2）若点E是AC的中点，AD=2AE， 求证：∠1=∠C．
【变式5-3】（2022·湖北恩施·二模）如图，在△ABC中，D、E、F分别是边AC，AB，BC上的点，DE∥BC，DF∥AB．
(1)求证：∠B=∠EDF．
(2)若CF＝13BC，求S△DFCS△AED的值．
【题型6 利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】
【例6】（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，∠FEA=∠B，∠DAF=∠EAC．
(1)若AF=BF=4，求AE；
(2)求证：DFDE=CECB．
【变式6-1】（2022·江苏·九年级专题练习）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：OCPD=OPAP；
（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．
【变式6-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在ΔABC中，AB=AC，D是边BC的延长线上一点，E是边AC上一点，且∠EBC=∠D．
求证：CEAB=BCBD；
【变式6-3】（2022·湖南益阳·九年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．
(1)求证：EGAD=CGCD；
(2)FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；
【题型7 尺规作图作相似三角形】
【例7】（2022·山东烟台·八年级期末）尺规作图：如图，已知△ABC，且AB>AC．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
(1)在AB边上求作点D，使DB=DC；
(2)在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．
【变式7-1】（2022·山东济宁·二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,BD平分∠ABC．
(1)求作△CDE使点E在BC上，且△CDE∽△CBD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若BA=3,∠ABC=60°，求CE长．
【变式7-2】（2022·陕西宝鸡·一模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一定点．请用尺规作图法在BC上求作一点P，使得△ABC∽△PCD．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式7-3】（2022·江苏省锡山高级中学实验学校模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B．
(1)请用无刻度的直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
① 过点D作AB的平行线交BC于点F；
② P为AB边上的一点，且△DAP∽△PBC，请找出所有满足条件的点；
(2)在（1）的条件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，则AP＝ ．
【题型8 在网格中画与已知三角形相似的三角形】
【例8】（2022·安徽合肥·二模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段AB、CD相交于点O．
(1)请在网格图中画出两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“∽”符号写出这对相似三角形：
(2)线段AO的长为______．
【变式8-1】（2022·河南南阳·九年级期末）（1）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上．在方格纸内画△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，相似比为2:1，且顶点都在格点上．
（2）△A'B'C'的面积是______．
【变式8-2】（2022·浙江温州·九年级专题练习）请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）
(1)在图1中画出线段AB的中垂线
(2)如图2，在线段AB上找出点C，使AC:CB=1:2．
【变式8-3】（2022·浙江温州·九年级期中）如图，在8×8的方格中，△ABC的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．
(1)请在图1中画一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比为2：1
(2)请在图2中画一个三角形，使它与△ABC相似，且面积比为2：1
【题型9 新定义中的相似三角形】
【例9】（2022·陕西渭南·九年级期末）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．
(1)如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=70°，AB=AD，AD∥BC，当∠ADC=145°时．求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”；
(2)如图2，四边形ABCD中，CA平分∠BCD，BC=3，CD=2，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，求AC的长．
【变式9-1】（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．
（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
①求a，b之间的等量关系；
②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．
【变式9-2】（2022·江苏常州·九年级期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．
(1)在△ABC中，∠A=30．
①如图1，若∠B=100°，请过顶点C画出△ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；
②如图2，若∠B =90°，BC=1，则△ABC的“形似线段”的长是 ．
如图3，在DEF中，DE=4，EF=6，DF=8，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长．
【变式9-3】（2022·安徽合肥·二模）定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形．根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题．请通过这种方法解答下列问题：
(1)如图1，△ABC中，AD是角平分线，且AB2=BD⋅BC，求证：△ABC是倍角三角形；
(2)如图2，已知△ABC是倍角三角形，且∠A=2∠C，AB=8，BC=10，求AC的长；
(3)如图3，已知△ABC中，∠A=3∠C，AB=8，BC=10，求AC的长．①相似三角形的对应角相等．
如图，，则有
．
②相似三角形的对应边成比例．
如图，，则有
（为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．
如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有
④相似三角形周长的比等于相似比．
如图，∽，则有
．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图，∽，则有
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc20202" 【题型1 利用相似三角形的性质求角度】 PAGEREF _Tc20202 \h 2
\l "_Tc5618" 【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】 PAGEREF _Tc5618 \h 2
\l "_Tc15331" 【题型3 利用相似三角形的性质求面积】 PAGEREF _Tc15331 \h 3
\l "_Tc10273" 【题型4 利用相似三角形的性质求周长】 PAGEREF _Tc10273 \h 4
\l "_Tc7074" 【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】 PAGEREF _Tc7074 \h 4
\l "_Tc24866" 【题型6 利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】 PAGEREF _Tc24866 \h 6
\l "_Tc5775" 【题型7 尺规作图作相似三角形】 PAGEREF _Tc5775 \h 7
\l "_Tc29358" 【题型8 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 PAGEREF _Tc29358 \h 8
\l "_Tc32398" 【题型9 新定义中的相似三角形】 PAGEREF _Tc32398 \h 9
【知识点1 相似三角形的性质】
【题型1 利用相似三角形的性质求角度】
【例1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，则∠F的度数为（ ）
A．30°B．60°C．70°D．80°
【变式1-1】（2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABC∽△DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，则∠BCD的度数是（ ）
A．32°B．48°C．64°D．86°
【变式1-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（ ）
A．135°B．90°C．60°D．45°
【变式1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）如图，点A、B、C、D四点共线，ΔPBC是等边三角形，当ΔPAB∼ΔDPC时，∠APD的度数为（ ）
A．120°B．100°C．110°D．125°
【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】
【例2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在CD上取一点F，使△CBF∽△ABE，则DF的长是（ ）
A．8.2B．6.4C．5D．1.8
【变式2-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-2】（2022·全国·九年级专题练习）已知△ABC∽△DEF，△ ABC的三边长分别为2，14，3，△ DEF的其中的两边长分别为1和7，则第三边长为______．
【变式2-3】（2022·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图所示，图中x=___．
【题型3 利用相似三角形的性质求面积】
【例3】（2022·陕西渭南·九年级阶段练习）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为25:36，则△ABC与△DEF的对应边的比是（ ）
A．5:6B．6:5C．25:36D．36:25
【变式3-1】（2022·河南新乡·九年级期末）△ABC与△A'B'C'的位似比是1:2，已知△ABC的面积是3，则△A'B'C'的面积是（ ）
A．3B．6C．9D．12
【变式3-2】（2022·河北石家庄·九年级期末）把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，则它的面积扩大为原来的__________倍．
【变式3-3】（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连结AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积等于______．
【题型4 利用相似三角形的性质求周长】
【例4】（2022·湖南株洲·九年级期末）有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长是（ ）
A．425B．845C．21D．28
【变式4-1】（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）如图是一个边长为1的正方形组成的网络，△ABC与△A1B1C1都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且△ABC∽△A1B1C1，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．2：3D．4：9
【变式4-2】（2022·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知△ABC∽△DEF，其中AB=12，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是______．
【变式4-3】（2022·辽宁鞍山·二模）已知△ABC∽△A'B'C'，且AB=2A'B'．若△ABC的周长是18cm，那么△A'B'C'的周长是________cm．
【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】
【例5】（2022·北京市第一五六中学九年级期中）如图，已知AE平分∠BAC，ABAD=AEAC．
(1)求证：∠E=∠C；
(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的长．
【变式5-1】（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）如图，在△ABC中，点D、点E分别在AC、AB上，点P是BD上的一点，联结EP并延长交AC于点F，且∠A=∠EPB=∠ECB．
(1)求证：BE⋅BA=BP⋅BD；
(2)若∠ACB=90°，求证：CP⊥BD．
【变式5-2】（2022·山东·东平县江河国际实验学校二模）如图，点D，E分别在△ABC的边BC，AC上，连接AD，DE．
（1）若∠C=∠BAD，AB=5，求BD·BC的值；
（2）若点E是AC的中点，AD=2AE， 求证：∠1=∠C．
【变式5-3】（2022·湖北恩施·二模）如图，在△ABC中，D、E、F分别是边AC，AB，BC上的点，DE∥BC，DF∥AB．
(1)求证：∠B=∠EDF．
(2)若CF＝13BC，求S△DFCS△AED的值．
【题型6 利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】
【例6】（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，∠FEA=∠B，∠DAF=∠EAC．
(1)若AF=BF=4，求AE；
(2)求证：DFDE=CECB．
【变式6-1】（2022·江苏·九年级专题练习）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：OCPD=OPAP；
（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．
【变式6-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在ΔABC中，AB=AC，D是边BC的延长线上一点，E是边AC上一点，且∠EBC=∠D．
求证：CEAB=BCBD；
【变式6-3】（2022·湖南益阳·九年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．
(1)求证：EGAD=CGCD；
(2)FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；
【题型7 尺规作图作相似三角形】
【例7】（2022·山东烟台·八年级期末）尺规作图：如图，已知△ABC，且AB>AC．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
(1)在AB边上求作点D，使DB=DC；
(2)在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．
【变式7-1】（2022·山东济宁·二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,BD平分∠ABC．
(1)求作△CDE使点E在BC上，且△CDE∽△CBD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若BA=3,∠ABC=60°，求CE长．
【变式7-2】（2022·陕西宝鸡·一模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一定点．请用尺规作图法在BC上求作一点P，使得△ABC∽△PCD．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式7-3】（2022·江苏省锡山高级中学实验学校模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B．
(1)请用无刻度的直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
① 过点D作AB的平行线交BC于点F；
② P为AB边上的一点，且△DAP∽△PBC，请找出所有满足条件的点；
(2)在（1）的条件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，则AP＝ ．
【题型8 在网格中画与已知三角形相似的三角形】
【例8】（2022·安徽合肥·二模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段AB、CD相交于点O．
(1)请在网格图中画出两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“∽”符号写出这对相似三角形：
(2)线段AO的长为______．
【变式8-1】（2022·河南南阳·九年级期末）（1）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上．在方格纸内画△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，相似比为2:1，且顶点都在格点上．
（2）△A'B'C'的面积是______．
【变式8-2】（2022·浙江温州·九年级专题练习）请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）
(1)在图1中画出线段AB的中垂线
(2)如图2，在线段AB上找出点C，使AC:CB=1:2．
【变式8-3】（2022·浙江温州·九年级期中）如图，在8×8的方格中，△ABC的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．
(1)请在图1中画一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比为2：1
(2)请在图2中画一个三角形，使它与△ABC相似，且面积比为2：1
【题型9 新定义中的相似三角形】
【例9】（2022·陕西渭南·九年级期末）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．
(1)如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=70°，AB=AD，AD∥BC，当∠ADC=145°时．求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”；
(2)如图2，四边形ABCD中，CA平分∠BCD，BC=3，CD=2，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，求AC的长．
【变式9-1】（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．
（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
①求a，b之间的等量关系；
②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．
【变式9-2】（2022·江苏常州·九年级期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．
(1)在△ABC中，∠A=30．
①如图1，若∠B=100°，请过顶点C画出△ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；
②如图2，若∠B =90°，BC=1，则△ABC的“形似线段”的长是 ．
如图3，在DEF中，DE=4，EF=6，DF=8，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长．
【变式9-3】（2022·安徽合肥·二模）定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形．根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题．请通过这种方法解答下列问题：
(1)如图1，△ABC中，AD是角平分线，且AB2=BD⋅BC，求证：△ABC是倍角三角形；
(2)如图2，已知△ABC是倍角三角形，且∠A=2∠C，AB=8，BC=10，求AC的长；
(3)如图3，已知△ABC中，∠A=3∠C，AB=8，BC=10，求AC的长．①相似三角形的对应角相等．
如图，，则有
．
②相似三角形的对应边成比例．
如图，，则有
（为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．
如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有
④相似三角形周长的比等于相似比．
如图，∽，则有
．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图，∽，则有
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