高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质当堂达标检测题

第四章　§3　3.2

A　组·素养自测

一、选择题

1．函数f(x)＝log(x＋2)的图象必不过(　A　)

A．第一象限　 B．第二象限

C．第三象限　 D．第四象限

[解析]　因为f(x)＝log(x＋2)的图象是由函数y＝logx向左平移2个单位得到的，所以其图象如图所示．

2．函数y＝log2(x＋1)的图象大致是(　C　)

[解析]　由底数大于1可排除A，B，y＝log2(x＋1)可看作是y＝log2x的图象向左平移1个单位得到的．

3．设函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　D　)

A．2　 B．1

C．－2　 D．－1

[解析]　因为f(－1)＝2－1＝，所以f(f(－1))＝f＝log2＝－1．

4．已知函数f(x)＝log2x，且f(m)＞0，则m的取值范围是(　C　)

A．(0，＋∞)　 B．(0，1)

C．(1，＋∞)　 D．R

[解析]　由对数函数y＝log2x的性质可知，当x＞1时y＞0，所以由f(m)＞0得m＞1．

二、填空题

5．已知函数f(x)＝直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是__0＜a≤1__．

[解析]　函数f(x)的图象如图所示，要使直线y＝a与f(x)的图象有两个不同的交点，则0＜a≤1．

6．已知函数f(x)＝log2(2x－a)，若f(2)＝0，则a＝__3__．

[解析]　因为f(2)＝log2(4－a)＝0，所以4－a＝20，故a＝3．

三、解答题

7．已知f(x)＝|log3x|．

(1)画出这个函数的图象；

(2)当0＜a＜2时，f(a)＞f(2)，利用函数图象求出a的取值范围．

[解析]　(1)如图．

(2)令f(a)＝f(2)，即|log3a|＝|log32|，解得a＝或a＝2．从图象可知，当0＜a＜时，满足f(a)＞f(2)，所以a的取值范围是．

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知函数f(x)＝log2x，其中|f(x)|≥1，则实数x的取值范围是(　B　)

A．　 B．∪[2，＋∞)

C．[2，＋∞)　 D．∪[2，＋∞)

[解析]　因为|f(x)|≥1，所以log2x≥1或log2x≤－1．由于f(x)＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，故x≥2或x≤．所以x的取值范围是∪[2，＋∞)．

2．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　D　)

A．[－1，2]　 B．[0，2]

C．[1，＋∞)　 D．[0，＋∞)

[解析]　由已知得或

解得或者

所以f(x)≤2的x的取值范围是[0，1]∪(1，＋∞)＝[0，＋∞)．

3．设函数f(x)＝log2|x|，－2＜a＜b＜－1，c＞2，则下列各式成立的是(　C　)

A．f(a)＞f(b)＞f(c)　 B．f(c)＞f(b)＞f(a)

C．f(c)＞f(a)＞f(b)　 D．f(b)＞f(a)＞f(c)

[解析]　因为－2＜a＜b＜－1，c＞2，所以1＜|b|＜|a|＜|c|，所以log2|b|＜log2|a|＜log2|c|，所以f(b)＜f(a)＜f(c)，故选C．

4．(多选题)已知log2(5x－2)＝log2(x2＋4)，则x的值可以为(　AB　)

A．2　 B．3

C．－2　 D．－3

[解析]　由题意可知5x－2＝x2＋4，即x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3．经检验x＝2或x＝3均符合题意．

二、填空题

5．设f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则f＝____，当x＜0时，f(x)＝__－log2(－x)__．

[解析]　设x＜0，则－x＞0，又x＞0时，f(x)＝log2x，所以f(－x)＝log2(－x)，

由于f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝log2(－x)

故f(x)＝－log2(－x)(x＜0)

所以f＝－log2＝－log22－＝．

6．函数f(x)＝log2x在区间[a，2a](a＞0)上的最大值与最小值之差为__1__．

[解析]　因为f(x)＝log2x在区间[a，2a]上是增函数，所以f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log2(2a)－log2a＝1．

三、解答题

7．(1)函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象如何变化得到的？

(2)在给出的坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象；

(3)设函数y＝与函数y＝|log2(x－1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1，x2，设M＝x1x2－2(x1＋x2)＋4，请判断M的符号．

[解析]　(1)函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象向右平移1个单位得到的．

(2)在坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象，如图所示．

(3)设函数y＝与函数y＝|log2(x－1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＜2，x2＞2．

所以M＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝(x1－2)(x2－2)＜0．