高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第四章 对数运算和对数函数3 对数函数3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质课时训练

对数函数的图象和性质

[A级　基础巩固]

1．函数y＝与y＝logbx互为反函数，则a与b的关系是(　　)

A．ab＝1　　　　　　　 B．a＋b＝1

C．a＝b  D．a－b＝1

解析：选A　由函数y＝与y＝logbx互为反函数得＝b，化简得ab＝1，故选A.

2．(多选)函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象过(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选BCD　因为0<a<1，所以函数y＝logax的图象单调递减，在y轴右侧，过定点(1，0)．函数f(x)＝loga(x＋2)的图象是把y＝logax的图象向左平移2个单位，所以图象过第二、三、四象限．

3．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝(　　)

A.  B．2

C．2  D．4

解析：选D　因为a＞1，所以y＝logax在[a，2a]上是增函数．所以loga(2a)－logaa＝，

即loga2＝，所以a＝2，解得a＝4.

4．设a，b，c均为正数，且ea＝－ln a，e－b＝－ln b，e－c＝ln c，则(　　)

A．a<b<c  B．c<b<a

C．c<a<b  D．b<a<c

解析：选A　如图是函数y＝ex，y＝e－x，y＝ln x，y＝－ln x的图象，a是y＝ex与y＝－ln x的图象交点的横坐标，b是y＝e－x与y＝－ln x的图象交点的横坐标，c是y＝e－x与y＝ln x的图象交点的横坐标，由图可得a<b<c.故选A.

5．若当x∈R时，函数f(x)＝a|x|(a>0，且a≠1)满足0<f(x)≤1，则函数y＝loga的图象大致是(　　)

解析：选A　由题意得0<a<1，所以y＝loga＝－loga|x|＝且0<a<1，故选A.

6．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是________(填序号)．

①m＞0，0＜n＜1;  ②m＜0，0＜n＜1；

③m＞0，n＞1;  ④m＜0，n＞1.

解析：由图象知函数为增函数，故n＞1.又当x＝1时，f(1)＝m＞0，故m＞0.

答案：③

7．不等式log(5＋x)＜log(1－x)的解集为__________．

解析：因为函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，

所以解得－2＜x＜1.

答案：(－2，1)

8．若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b，c的值分别为________．

解析：∵函数的图象恒过定点(3，2)，

∴将(3，2)代入y＝loga(x＋b)＋c，得2＝loga(3＋b)＋c.

又当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，

∴c＝2，3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2.

答案：－2，2

9．若－1<loga <1(a>0，且a≠1)，求实数a的取值范围．

解：∵－1<loga <1，

∴loga <loga <logaa.

当a>1时，0<<<a，则a>；

当0<a<1时，>>a>0，则0<a<.

故实数a的取值范围是∪.

10．已知f(x)＝|log3x|.

(1)画出这个函数的图象；

(2)当0<a<2时f(a)>f(2)，利用函数图象求出a的取值范围．

解：(1)图象如图所示：

(2)令f(a)＝f(2)，即|log3a|＝|log32|，

解得a＝或a＝2.

从图象可知，当0<a<时，满足f(a)>f(2)，

所以a的取值范围是.

[B级　综合运用]

11．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，则a＋b等于(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

解析：选B　f(x)＝loga(x＋b)的反函数的图象过点(2，8)，因此函数f(x)的图象过点(8，2)．

又f(x)的图象过点(2，1)，则

所以解得或

又a>0，所以

所以a＋b＝4.

12．设x1，x2，x3均为实数，x1Ｋ＝log2(x1＋1)，x2Ｋ＝log3x2，x3Ｋ＝log2x3，则(　　)

A．x1<x3<x2  B．x3<x2<x1

C．x3<x1<x2  D．x2<x1<x3

解析：选A　作出函数y＝，y＝log2(x＋1)，y＝log3x，y＝log2x的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点A、B、C的横坐标从左向右依次为x1，x3，x2，所以x1<x3<x2.故选A.

13．已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①a>b>1；②b>a>1；③a<b<1；④b<a<1；⑤a＝b.其中可能成立的关系式是________．(填序号)

解析：实数a，b满足等式log2a＝log3b，即y＝log2x在x＝a处的函数值和y＝log3x在x＝b处的函数值相等，当a＝b＝1时，log2a＝log3b＝0，此时⑤成立；令log2a＝log3b＝1，可得a＝2，b＝3，由此知②成立，①不成立；令log2a＝log3b＝－1，可得a＝，b＝，由此知④成立，③不成立．综上可知，可能成立的关系式为②④⑤.

答案：②④⑤

14．设函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋a)的定义域为M.

(1)若1∉M，2∈M，求实数a的取值范围；

(2)若M＝R，求实数a的取值范围．

解：(1)由题意M＝{x|ax2＋2x＋a>0}．

由1∉M，2∈M可得

化简得解得

所以a的取值范围为∅.

(2)由M＝R可得ax2＋2x＋a>0恒成立．

当a＝0时，不等式可化为2x>0，解得x>0，显然不合题意；

当a≠0时，由二次函数的图象可知Δ＝22－4×a×a<0，且a>0，即化简得解得a>1.

所以a的取值范围为(1，＋∞)．

[C级　拓展探究]

15．(1)函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象如何变化得到的？

(2)如图，在直角坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象(不要求写作法)；

(3)设函数y＝与函数y＝|log2(x－1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1，x2，设M＝(x1－2)(x2－2)，请判断M的符号．

解：(1)函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象向右平移1个单位长度得到的．

(2)在直角坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象，如图所示．

(3)不妨设x1<x2，作出y＝的图象，如图，由图知1<x1<2，2<x2<3.∴M＝(x1－2)(x2－2)<0，故M的符号为负．