高中3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质巩固练习

【优选】3.2 对数函数y=log2x的图象和性质-1随堂练习

一．填空题

1．已知函数的图象过定点，且点在幂函数的图象上，则=______

2．下列说法：

①函数的最大值为1；

②函数是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式可以写成；

③若函数的值域为，则的取值范围是；

④已知定义在上的偶函数在区间上是减函数，若，则的取值范围是．

其中正确的是______（填写所有正确说法的序号）．

3．函数 (a>0且a≠1)恒过定点____________

4．函数的值域是_________.

5．化简：__________．

6．设现把满足积为整数的叫做“贺数”，则在区间内所有“贺数”的个数是________；

7．已知函数，若，则______.

8．函数的单调递增区间是_____________．

9．函数的最小值是_____________，此时_________．

10．函数的图象恒过定点，则点的坐标是___________.

11．函数的减区间为____________．

12．若点在函数的图象上，点在的反函数图象上，则________．

13．函数的值域是     .

14．已知函数，若，则的取值范围是____________.

15．函数的定义域为                 ．

参考答案与试题解析

1．【答案】3

【解析】由对数函数性质求出定点的坐标，设出幂函数解析式，由点坐标求出幂函数解析式后可求函数值．

详解：令，则，此时，∴，

设，则，，即．

∴．

故答案为：3.

【点睛】

本题考查对数函数的性质，考查幂函数的解析式．掌握对数函数性质和幂函数的定义是解题关键．

2．【答案】①②④

【解析】对于①，根据指数函数的性质判断；对于②，根据奇函数对称区间上解析式的求法，求出的解析式即可判断；对于③，分和讨论即可；对于④，根据偶函数性质转化，然后解绝对值不等式即可.

详解：解：对于①， 函数的值域是，所以①正确．

对于②，设，又，

所以，则在上的解析式可以写；故②正确.

对于③，∵函数的值域为，

∴当时符合题意；当时，且，可得，所以③不错误．

对于④，因为是定义在上的偶函数，且在区间上是减函数，

所以在区间上是增函数，

不等式可化为，，即或，

所以或，

所以或，所以或，所以④正确．

故答案为：①②④.

【点睛】

考查指数型函数．对数型函数．奇偶函数的性质以及奇函数对称区间上解析式的求法，基础题.

3．【答案】

【解析】根据求定点坐标.

详解：因为当时，，

所以恒过定点

故答案为：

【点睛】

本题考查对数型函数过定点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.

4．【答案】

【解析】设

当 时，有最大值是9；当 时，有最小值是-9， ，由函数 在定义域上是减函数，

∴原函数的值域是 故答案为

【点睛】本题考查了指数型的复合函数的值域求法，一般是根据定义域先求出指数的范围，再根据指数函数的单调性求出原函数的值域，考查了整体思想．解题时注意“同增异减”.

5．【答案】1

【解析】.

答案为：1.

6．【答案】4

【解析】首先求的值，根据对数的运算，在定义域内求“贺数”的个数.

详解：

则在区间内当时，是“贺数”，所以“贺数”的个数是4个.

故答案为：4

【点睛】

本题考查新定义，重点考查对数的基本计算，属于基础题型.

7．【答案】1

【解析】将代入函数的解析式，解方程即可求出的值.

【详解】

由题意可得，解得.

8．【答案】

【解析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数同增异减求其单调减区间即可.

【详解】

函数的定义域为：，解得：或.

令，为增函数.

当，为增函数，为增函数，

当，为减函数，为减函数.

所以增区间为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查复合函数的单调性，同增异减为解题的关键，属于中档题.

9．【答案】    6 

【解析】根据对数的基本运算，将化简成关于的二次复合函数，再结合二次函数的最值求解即可.

详解：.

故当，即时，取最小值.

故答案为：；6

【点睛】

本题主要考查了根据对数的运算求解对数型函数的最值问题，同时也考查了关于的二次复合函数的最值问题，属于中档题.

10．【答案】

【解析】由对数函数的性质可得出.

详解：，

当时，，

图象恒过定点.

故答案为：.

【点睛】

本题考查对数函数的定点，属于基础题.

11．【答案】(－∞，0)

【解析】首先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，根据偶函数的对称性得到函数的单调递减区间；

详解：解：函数的定义域为，且，即函数为偶函数，

当时是增函数，由偶函数的图象性质可得时函数为减函数，

所以函数的减区间为

故答案为：

【点睛】

本题考查对数型复合函数的单调性，属于基础题.

12．【答案】16

【解析】根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域，结合对数的运算，即可得出答案．

详解：解：函数的图象经过点，

可得：，

解得：，

，

由于点在的反函数图象上，即在的图象上，

则有：.

故答案为：16.

【点睛】

本题考查根据反函数与原函数的关系求参数值，还涉及对数的运算，原函数的定义域是反函数的值域是解题的关键．

13．【答案】(－∞，－3]

【解析】令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，y＝为减函数，

所以有≤＝－3.

14．【答案】

【解析】画出的图象，对进行讨论：，，，，，结合单调性解不等式，即可得到所求范围.

详解：函数的图象如图所示：

由于，

当，即时，函数单调递减，显然合乎题意；

当，即时，函数递增，显然不合乎题意；

当，即，可得，

解得，

当，即有，

由题意可得，解得，

当，即时，函数单调递减，显然合乎题意；

综上可得的范围是，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了关于分段函数的不等式，考查了分类讨论思想以及学生的计算能力，有一定难度.

15．【答案】

【解析】被开方数大于等于零，对数真数大于零，所以.

考点：定义域.

【思路点晴】定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择．填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于；④含，则；⑤含，则.