北师大版 (2019)必修 第一册第四章 对数运算和对数函数3 对数函数3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质综合训练题

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册第四章 对数运算和对数函数3 对数函数3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质综合训练题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知函数f(x)＝lg2(1＋2－x)，则函数f(x)的值域是( )
A．[0,2)B．(0，＋∞)
C．(0,2)D．[0，＋∞)
B [f(x)＝lg2(1＋2－x)，∵1＋2－x>1，∴lg2(1＋2－x)>0，∴函数f(x)的值域是(0，＋∞)，故选B.]
2．已知实数a＝lg45，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，c＝lg30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．cD [由题知，a＝lg45>1，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0＝1，c＝lg30.4<0，故c3．函数f(x)＝| eq lg\s\d5(\f(2,3)) x|的单调递增区间是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))B．(0,1]
C．(0，＋∞)D．[1，＋∞)
D [f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
]
4．已知 eq lg\s\d5(\f(1,2)) m< eq lg\s\d5(\f(1,2)) n<0，则( )
A．nC．1D [因为0n>1，故选D.]
5．若函数f(x)＝lga|x＋1|在(－1,0)上有f(x)>0，则f(x)( )
A．在(－∞，0)上是增函数
B．在(－∞，0)上是减函数
C．在(－∞，－1)上是增函数
D．在(－∞，－1)上是减函数
C [当－1∵lga|x＋1|>0，∴0∴函数f(x)＝lga|x＋1|在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递减．]
二、填空题
6．设f(x)＝lg x，若f(1－a)－f(a)>0，则实数a的取值范围为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) [由题意，f(x)＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1－a)－f(a)>0，所以1－a>a>0，所以a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).]
7．已知函数y＝lga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
(1,2) [令u＝2－ax，则y＝lgau，因为a>0，所以u＝2－ax递减，由题意知y＝lgau在[0,1]内递增，所以a>1.又u＝2－ax在x∈[0,1]上恒大于0，所以2－a>0，即a<2，综上，18．已知a>0且a≠1，若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x，x≤2，,lgax，x>2))的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围是________．
(1,2] [若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x，x≤2，,lgax，x>2))的值域为[1，＋∞)，且a>0，a≠1，当x≤2时，y＝3－x≥1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>2，,lgax≥1，))可得1三、解答题
9．已知函数f(x)＝ln(3＋x)＋ln(3－x)．
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性．
[解] (1)要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋x>0，,3－x>0，))解得－3＜x＜3，故函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)．
(2)由(1)可知，函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)，关于原点对称．
对任意x∈(－3,3)，则－x∈(－3,3)．
∵f(－x)＝ln(3－x)＋ln(3＋x)＝f(x)，
∴由函数奇偶性可知，函数y＝f(x)为偶函数．
10．已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的反函数g(x)的解析式；
(2)解不等式g(x)≤lga(2－3x)．
[解] (1)令y＝ax(a>0，且a≠1)，则x＝lgay(a>0，且a≠1)，所以函数f(x)的反函数为g(x)＝lgax(a>0，且a≠1)．
(2)当a>1时，lgax≤lga(2－3x)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤2－3x，,x>0，))解得0当00，))解得eq \f(1,2)≤x综上，当a>1时，原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))；
当011．(多选)函数f(x)＝lga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么( )
A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C．f(x)在定义域内是偶函数
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
AD [由|x－1|>0得，函数y＝lga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x>1，,－x＋1，x<1，))
则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，
且g(x)的图象关于x＝1对称，所以f(x)的图象关于x＝1对称，D正确；
由上述分析知f(x)＝lga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误；
又f(－x)＝lga|－x－1|＝lga|x＋1|≠f(x)，所以C错误，故选AD.]
12．已知曲线C：y＝eq \r(4－x2)(0≤x≤2)与函数f(x)＝lgax及函数g(x)＝ax(其中a>1)的图象分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)的值为( )
A．16B．8
C．4D．2
C [如图所示，A(x1，y1)、B(x2，y2)两点关于y＝x对称，
又A(x1，y1)关于y＝x的对称点为(y1，x1)，则x2＝y1，故xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝4.故选C.]
13．定义：区间[x1，x2](x1＜x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝|lg0.5x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则区间[a，b]的长度的最大值为________．
eq \f(15,4) [由0≤|lg0.5x|≤2，解得eq \f(1,4)≤x≤4，所以[a，b]长度的最大值为4－eq \f(1,4)＝eq \f(15,4).]
14．函数f(x)＝lneq \f(1＋ax,1＋2x)(a≠2)为奇函数，则实数a等于________．
－2 [依题意有f(－x)＋f(x)＝lneq \f(1－ax,1－2x)＋lneq \f(1＋ax,1＋2x)＝0，即eq \f(1－ax,1－2x)·eq \f(1＋ax,1＋2x)＝1，故1－a2x2＝1－4x2，解得a2＝4，但a≠2，故a＝－2.]
15．某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x)为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：
①同学甲发现：函数f(x)的定义域为(－1,1)；
②同学乙发现：函数f(x)是偶函数；
③同学丙发现：对于任意的x∈(－1,1)都有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,x2＋1)))＝2f(x)；
④同学丁发现：对于任意的a，b∈(－1,1)，都有f(a)＋f(b)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,1＋ab)))；
⑤同学戊发现：对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0.
试分别判断哪些同学的研究成果正确？
[解] 在①中，因为f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x)，所以eq \f(1－x,1＋x)>0，解得函数的定义域为(－1,1)，所以①是正确的；在②中，f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x)＝－lg eq \f(1＋x,1－x)＝－f(－x)，所以函数f(x)为奇函数，所以②是错误的；在③中，对于任意x∈(－1,1)，有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,x2＋1)))＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\f(2x,x2＋1),1＋\f(2x,x2＋1))))＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2－2x＋1,x2＋2x＋1)))＝lg eq \f(x－12,x＋12)，又2f(x)＝2lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝lg eq \f(x－12,x＋12)，所以③是正确的；在④中，对于任意的a，b∈(－1,1)，有f(a)＋f(b)＝lg eq \f(1－a,1＋a)＋lg eq \f(1－b,1＋b)＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－a,1＋a)·\f(1－b,1＋b)))＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－a－b＋ab,1＋a＋b＋ab)))，又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,1＋ab)))＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\f(a＋b,1＋ab),1＋\f(a＋b,1＋ab))))＝lg eq \f(1－a－b＋ab,1＋a＋b＋ab)，所以④是正确的；在⑤中，对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，即说明f(x)是增函数，但f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x)＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(2,1＋x)))是减函数，所以⑤是错误的．综上可知，学生甲、丙、丁的研究成果正确．