2020-2021学年3.1 对数函数的概念练习题

对数函数的概念 对数函数y＝log2x的图象和性质

某种细胞进行分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……

[问题]　(1)1个这样的细胞分裂x次后得到细胞个数y如何表示？

(2)如果知道一个细胞经过x次分裂后得到了1 024个细胞，该如何求解x的值呢？

知识点一　对数函数的概念

1．对数函数的概念

函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中a叫作对数函数的底数，x是自变量．

2．对数函数的基本性质

(1)定义域是(0，＋∞)；

(2)图象过定点(1，0)．

3．特殊的对数函数

　(多选)下列函数中为对数函数的是(　　)

A．y＝log(－x)

B．y＝2log4(x－1)

C．y＝ln x

D．y＝logx(a是常数)

解析：选CD　对于A，真数是－x，故A不是对数函数；对于B，y＝2log4(x－1)＝log2(x－1)，真数是x－1，不是x，故B不是对数函数；对于C，ln x的系数为1，真数是x，故C是对数函数；对于D，底数a2＋a＋2＝＋>1，故D是对数函数．

知识点二　反函数

指数函数y＝ax是对数函数y＝logax的反函数．对数函数y＝logax也是指数函数y＝ax的反函数，即它们互为反函数．

反函数性质的再理解

(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称；

(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．　　　　

1．已知函数y＝f(x)是函数y＝10x的反函数，则f＝________．

解析：由已知得f(x)＝lg x，故f＝lg ＝lg 10－2＝－2.

答案：－2

2．对数函数y＝－log2x的反函数是________．

解析：y＝－log2x＝logx＝logx，故其反函数为y＝.

答案：y＝

知识点三　对数函数y＝log2x的图象与性质

1．y＝log2(1－x)的大致图象是(　　)

解析：选C　y＝log2(－x)与y＝log2x的图象关于y轴对称，又因为y＝log2(1－x)＝log2[－(x－1)]，故将y＝log2(－x)的图象向右平移一个单位长度，即得y＝log2(1－x)的图象，故选C.

2．函数y＝的定义域为(　　)

A．(－∞，2)　　　　　　　 B．(2，＋∞)

C．(2，3)∪(3，＋∞)  D．(2，4)∪(4，＋∞)

解析：选C　要使函数有意义，则

即解得2<x<3或x>3.

[例1]　(链接教科书第107页例1)(1)(多选)下列函数中，是对数函数的有(　　)

A．y＝logax(a∈R)　　　 B．y＝log8x

C．y＝ln x  D．y＝logx(x＋2)

(2)若对数函数f(x)＝logax的图象过点(2，1)，则f(8)＝________．

[解析]　(1)形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有B、C，其他的均不符合．故选B、C.

(2)依题意知1＝loga2，所以a＝2，

所以f(x)＝log2x，故f(8)＝log28＝3.

[答案]　(1)BC　(2)3

判断一个函数是对数函数的依据

[跟踪训练]

1．已知f(x)＝log5x，则f(5)＝(　　)

A．0  B．1

C．5  D．25

解析：选B　f(5)＝log55＝1.

2．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．

解析：a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.

又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.

答案：1

[例2]　(链接教科书第108页例2、例3)求下列函数的反函数：

(1)y＝5x;  (2)y＝；

(3)y＝logx;  (4)y＝log7x.

[解]　(1)指数函数y＝5x，它的底数是5，它的反函数是对数函数y＝log5x.

(2)指数函数y＝，它的底数是，它的反函数是对数函数y＝logx.

(3)对数函数y＝logx，它的底数是，它的反函数是指数函数y＝.

(4)对数函数y＝log7x，它的底数是7，它的反函数是指数函数y＝7x.

反函数的求法

(1)由y＝ax(或y＝logax)解得x＝logay(或x＝ay)；

(2)将x＝logay(或x＝ay)中的x与y互换位置，得y＝logax(或y＝ax)；

(3)由y＝ax(或y＝logax)的值域，写出y＝logax(或y＝ax)的定义域．　　　　

[跟踪训练]

1．函数y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是(　　)

A．(0，＋∞)  B．R

C．(－∞，0)  D．(0，1)

解析：选A　反函数的值域为原函数的定义域(0，＋∞)．

2．求函数y＝3x－4(x≥2)的反函数．

解：∵y＝3x－4，∴3x＝y＋4，∴x＝log3(y＋4)．

又∵x≥2，∴3x－4≥5，

∴函数y＝3x－4(x≥2)的反函数为y＝log3(x＋4)(x≥5).

[例3]　(链接教科书第109页例4，第110页例5)(1)函数y＝log2|x＋1|的大致图象是(　　)

(2)log2(a2＋a＋1)与log2的大小关系为(　　)

A．log2(a2＋a＋1)≥log2

B．log2(a2＋a＋1)>log2

C．log2(a2＋a＋1)≤log2

D．log2(a2＋a＋1)<log2

(3)(多选)已知f(x)＝|log2x|，若f(a)>f(2)，则a的值可以是(　　)

A.  B．

C.  D．3

[解析]　(1)y＝log2|x|是偶函数，其y轴右侧部分的图象即为y＝log2x的图象，再将y＝log2|x|的图象向左平移一个单位长度，即为y＝log2|x＋1|的图象，故选B.

(2)∵y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，而a2＋a＋1＝＋≥，∴log2(a2＋a＋1)≥log2.

(3)作出函数f(x)的图象，如图所示，由于f(2)＝f，故结合图象可知0<a<或a>2.

[答案]　(1)B　(2)A　(3)ABD

解决与y＝log2x图象与性质有关问题的关键

一是抓住图象变换准确画出相关函数图象；

二是充分利用其性质去求解．　　　　

[跟踪训练]

1．已知函数y＝log2(1－x)的值域为(－∞，0)，则其定义域是(　　)

A．(－∞，1)  B．

C．(0，1)  D．(1，＋∞)

解析：选C　∵函数y＝log2(1－x)的值域为(－∞，0)，∴0<1－x<1，即－1<x－1<0，解得0<x<1，∴函数的定义域为(0，1)，故选C.

2．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为________．

解析：因为函数f(x)＝所以若不等式f(x)≤1，则或解得0≤x≤2，所以原不等式的解集为{x|0≤x≤2}．

答案：{x|0≤x≤2}

1．下列函数是对数函数的是(　　)

A．y＝loga(2x)  B．y＝log22x

C．y＝log2x＋1  D．y＝lg x

解析：选D　选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a>0，且a≠1)”的形式，只有D选项符合．

2．函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(　　)

A．(1，2)  B．(2，1)

C．(－2，1)  D．(－1，1)

解析：选D　令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1，1)．

3．函数f(x)＝log2|2x－4|的图象为(　　)

解析：选A　函数f(x)＝log2|2x－4|的图象可以看作是将函数y＝log2|2x|的图象向右平移2个单位长度得到的，故选A.

4．为了得到y＝log2 的图象只需将y＝log2x的图象____________________．

解析：y＝log2 ＝log2x－1.

答案：向下平移一个单位长度

5．已知函数y＝ax＋b的图象过点(1，4)，其反函数的图象过点(2，0)，则a＝________，b＝________．

解析：由函数y＝ax＋b的图象过点(1，4)，得a＋b＝4；由反函数的图象过点(2，0)知，原函数的图象过点(0，2)，得a0＋b＝2，因此a＝3，b＝1.

答案：3　1