高中人教B版 (2019)2.6.2 双曲线的几何性质背景图ppt课件

这是一份高中人教B版 (2019)2.6.2 双曲线的几何性质背景图ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了双曲线的简单几何性质，提示1范围，渐近线，离心率，知识梳理，F1F2＝2c，坐标原点，注意点，反思感悟，双曲线的离心率等内容，欢迎下载使用。

1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).
2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.
　　在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质.
问题　类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线 ＝1(a>0，b>0)的几何性质.
所以x≥a或x≤－a；y∈R.2.对称性
x轴、y轴是双曲线的对称轴，坐标原点是对称中心，又称为双曲线的中心.
3.顶点(1)双曲线与对称轴的交点，称为双曲线的顶点.顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个.(2)如图，称线段A1A2为双曲线的实轴，它的长为2a，a称为半实轴长；称线段B1B2为双曲线的虚轴，它的长为2b，b称为双曲线的半虚轴长.(3)实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线.方程为x2－y2＝m(m≠0).
(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图.
(2)e的范围：e>1.
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大.(2)等轴双曲线的离心率为 ，渐近线方程为y＝±x.(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置.(4)焦点到渐近线的距离为b.(5)画双曲线时，先画两条渐近线.(6)中心O，既是实轴的中点又是虚轴的中点，也是F1F2的中点.
求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
延伸探究若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤
双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于
双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y＝±x，所以x±y＝0，
由简单几何性质求标准方程
求满足下列条件的双曲线的方程：
依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，
设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2,1)，则λ＝3，
(3)过点(2,1)的等轴双曲线.
由双曲线的性质求双曲线的标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.(2)巧设双曲线方程的技巧
②渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).③等轴双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0).
求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为 ；
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
∴a2＝3b2.①又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.
已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线 ＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
求双曲线离心率的方法(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝ 得解.(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为
不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a.因为△PF1F2是等腰直角三角形，所以只能是∠PF2F1＝90°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c，所以(2a＋2c)2＝2·(2c)2，即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，得e2－2e－1＝0.
1.知识清单： (1)双曲线的几何性质. (2)由简单几何性质求标准方程. (3)双曲线的离心率.2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法.3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.
由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4
令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是________.
由以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线，可得C(c,2c)，
可得e4－6e2＋1＝0，
2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为
由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，
由双曲线的几何性质可得，
可得c＝5，焦点坐标在x轴上，
|PF|的最小值为c－a＝2，D正确.
即m<2且m≠0，故A不正确；
则m2＝2－m，解得m＝1或m＝－2，故B不正确；∵m2>0，故C正确；
7.已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的右焦点F(5,0)到渐近线的距离为4，则实轴长为________.
所以a2＝c2－b2＝25－16＝9，所以a＝3，所以实轴长为2a＝6.
8.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为___________.
a2＝64，c2＝64－16＝48，
从而a′＝6，b′2＝12，
9.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切.(1)求双曲线的离心率；
设经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝kx，
(2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程.
由题意设F1(－c,0)，F2(c,0)，
所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，解得c＝5，
即bx＋ay－ab＝0.
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
于是双曲线的离心率为2.
又2c＝10，∴c＝5.由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.
12.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
设椭圆与双曲线的标准方程分别为
因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c，
由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，
∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，
设椭圆的右焦点坐标为(c,0)，
16.双曲线 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为 ，求双曲线的离心率.