高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质导学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质导学案及答案，共15页。

2.6 双曲线及其方程
2.6.2　双曲线的几何性质
(教师独具内容)
课程标准：1.理解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).2.能利用双曲线的几何性质解决一些简单的问题．
学法指导：借助双曲线的几何图形去学习它的性质，并将其几何性质与椭圆的性质类比，找出相同点与不同点．在解决相关问题时，作出草图能帮助你提高解题的准确性．
教学重点：用坐标法解决一些与双曲线的几何性质有关的问题．
教学难点：与渐近线及离心率有关的一些问题.




如图，某工厂有一双曲线型通风塔，其外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该塔最小半径为12米，下口半径为25米，下口半径到最小圆面的距离为45米，高为55米．问在建造过程中，上口半径应该建多少米？


知识点一　　　双曲线的几何性质
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图
形


标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性质
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
|F1F2|＝2c
a，b，c
关系
c2＝a2＋b2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
(±a,0)
(0，±a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝(e>1)
知识点二　等轴双曲线
实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：
(1)方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)；
(2)渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
(3)实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝ .
知识点三　对双曲线的几何性质的五点认识
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．
(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)，得＝1＋≥1，所以x2≥a2，所以|x|≥a，即x≤－a或x≥a.
(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，因为c>a>0，所以e>1，则＝＝＝，这说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄．
(4)对称性：由双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)，若P(x，y)是双曲线上任意一点，则P1(－x，y)，P2(x，－y)，P3(－x，－y)均在双曲线上，故P与P1，P2，P3分别关于y轴、x轴、原点对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴、原点对称．双曲线的顶点有两个，而椭圆有四个．
(5)双曲线上的所有点中，到给定焦点距离最小的点，是离该焦点最近的实轴的端点．

1．双曲线的渐近线及其求法
渐近线是双曲线的特有几何性质，求双曲线的渐近线方程的方法较多，一是可以利用以双曲线的顶点、虚轴端点为边中点的矩形的对角线方程求得，也可以运用下列方法求得：
将－＝1(a>0，b>0)中的“1”换为0即得双曲线的渐近线方程－＝0，即±＝0，即y＝±x.
注意：与双曲线－＝1共渐近线的双曲线方程可以设为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)，即“1”换为“λ”．
2．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于半虚轴长．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等轴双曲线的离心率是.(　　)
(2)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(　　)
(3)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(　　)
(4)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知点(2,0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.
(2)已知双曲线－＝1(b>0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________.
(3)已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±3x，则该双曲线的离心率为________.
答案　(1)　(2)2　(3)



题型一 双曲线的几何性质
例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
[解]　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.
作出草图如图：


由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
画几何图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为邻边的矩形的对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的近似图形．

[跟踪训练1]　求双曲线9y2－16x2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－＝1.由此可知，半实轴长a＝4，半虚轴长b＝3，c＝＝＝5，所以焦点坐标为(0，－5)，(0,5)，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
题型二 由双曲线的几何性质求标准方程
例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.
[解]　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)解法一：当焦点在x轴上时，由＝且a＝3得
b＝，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，由＝且a＝3得b＝2，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
故双曲线的标准方程为－＝1和－＝1.
解法二：设以y＝±x为渐近线的双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝，
当λ<0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1和－＝1.

求双曲线的标准方程的方法
(1)解决此类问题的常用方法是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值)．要特别注意a2＋b2＝c2的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆．
(2)设双曲线方程的方法与技巧
①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)，焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
②如果已知双曲线的方程为标准式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为mx2－ny2＝1(m，n同号)，然后由条件求m，n.
③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ ④渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
⑤渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
提醒：利用待定系数法求双曲线标准方程的关键：设出双曲线的标准方程，然后根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．

[跟踪训练2]　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，
且c＝13，又＝，
∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，
故其标准方程为－＝1.
(2)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－＝1.②
由①②联立，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－＝1.④
由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
题型三 双曲线的离心率问题
例3　已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
[解]　设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，则y＝±.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，
∴＝2c，∴b2＝2ac.
∴c2－2ac－a2＝0，∴2－2×－1＝0.
即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
∴所求双曲线的离心率为1＋.

求双曲线离心率的常用方法
(1)依据条件求出a，c，计算e＝.
(2)依据条件建立a，b，c的关系式，一种是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求解．

[跟踪训练3]　设双曲线－＝1(0 解　∵直线l过点A(a,0)，B(0，b)，
∴直线l的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
∵原点到直线l的距离为c，
∴＝c，即ab＝c2，
两边平方并化简，
得16a2b2＝3c4，
∴16a2(c2－a2)＝3c4，
∴3c4－16a2c2＋16a4＝0，两边同时除以a4，
得－＋16＝0，
即3e4－16e2＋16＝0.
解得e2＝4或.
∵b>a>0，∴>1，
∴e2＝＝1＋>2.
∴e2＝4，∴e＝2.
题型四 双曲线的渐近线问题
例4　求与双曲线－＝1共渐近线且过点A(2，－3)的双曲线的方程及其离心率．
[解]　解法一：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
当焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．因为＝，所以b＝a①.因为点A(2，－3)在所求的双曲线上，所以－＝1②.联立①②所得的方程组无解．
当焦点在y轴上，设所求双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．因为＝，所以a＝b③.因为点A(2，－3)在所求的双曲线上，所以－＝1④，联立③④得a2＝，b2＝4.所以所求双曲线的方程为－＝1且离心率e＝.
解法二：设与双曲线－＝1共渐近线的双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．因为点A(2，－3)在所求的双曲线上，所以λ＝－＝－，所以所求双曲线的方程为－＝－，即－＝1.从而可求得离心率e＝.

一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用已知双曲线和方程－＝λ(λ≠0)求双曲线方程较为简便．然后根据题设中的另一条件确定参数λ的值，例如：与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；以y＝±x(m>0，n>0)为渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论．本题的解法主要运用了分类讨论思想和参数思想．

[跟踪训练4]　已知双曲线－＝1的右焦点为(2,0)．
(1)求双曲线的方程；
(2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积．
解　(1)因为双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且双曲线的方程为－＝1，
所以c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，所以b2＝1，
所以双曲线的方程为－y2＝1.
(2)因为a＝，b＝1，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B，
令x＝－2，则y＝±，
则|AB|＝，记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S，则S＝××2＝.



1．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)
A．2 B．
C． D．1
答案　D
解析　因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.故选D.
2．双曲线y2－＝－1的虚轴长是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
答案　A
解析　双曲线y2－＝－1化成标准方程为－y2＝1，所以b＝1,2b＝2，即虚轴长为2.
3．(多选)双曲线C：－＝λ(λ≠0)，当λ变化时，以下说法正确的是(　　)
A．焦点坐标变化 B．顶点坐标变化
C．渐近线不变 D．离心率不变
答案　ABC
解析　当λ>0时，双曲线的焦点和顶点在x轴上，当λ<0时，双曲线的焦点和顶点在y轴上，且焦点坐标、顶点坐标均随λ的变化而变化，而离心率随λ正负的变化而变化，在方程－＝λ中，令λ＝0，得y＝±x，即为双曲线C的渐近线方程，不随λ的变化而变化．故选ABC.
4．双曲线5y2－4x2＝－20的实轴长为________，虚轴长为________，渐近线方程为________，离心率为________.
答案　2　4　y＝±x　
解析　双曲线5y2－4x2＝－20化为标准方程为－＝1.∴a＝，b＝2.∴c＝3.焦点在x轴上．实轴长为2a＝2，虚轴长为2b＝4，渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝＝.
5．(1)求过点(2，－2)且与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程；
(2)求双曲线－＝1的焦点到其渐近线的距离．
解　(1)因为所求双曲线与双曲线－y2＝1有公共渐近线，所以所求双曲线方程可设为－y2＝λ(λ≠0)，
因为所求双曲线过点(2，－2)，
所以－(－2)2＝λ，
解得λ＝－2，
所以所求双曲线的方程为－＝1.
(2)因为双曲线的方程为－＝1，
所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
即x－2y＝0.
因为(3,0)为双曲线的一个焦点，
所以双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
＝.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　C
解析　因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.又离心率为e＝＝＝＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选C.
2．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
答案　A
解析　因为双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，又P(2,1)在双曲线C的渐近线上，所以＝，即a＝2b.又2c＝10，c＝5，且a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.故所求双曲线C的方程为－＝1.
3．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　设直线FB的斜率为－，则与其垂直的渐近线的斜率为，所以有－＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，两边同时除以a2可得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．故选D.
4．如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A，B是以O为圆心、OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率e为(　　)

A． B．
C． D．1＋
答案　D
解析　连接AF1.由题意，得F1F2为圆O的直径，A为圆上一点，∴△F1AF2为直角三角形．又△ABF2为等边三角形，∴|AF2|＝c，|AF1|＝c.由双曲线的定义，知c－c＝2a，∴e＝＝＝1＋.故选D.
5．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．F2到双曲线C的一条渐近线的距离为1
D．△PF1F2的面积为1
答案　ACD
解析　对于选项A，由题意可知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故A正确；对于选项B，由题意可得F1(－，0)，F2(，0)，则以F1F2为直径的圆的方程不是x2＋y2＝1，故B错误；对于选项C，因为F2(，0)到双曲线C的一条渐近线y＝x的距离为1，故C正确；对于选项D，由题意可得F1(－，0)，F2(，0)，设P(x0，y0)，由·＝0，可得x0＝±，y0＝±，则△PF1F2的面积为1，故D正确．故选ACD.
二、填空题
6．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________.
答案　y＝±x
解析　由题意知2b＝2,2c＝2，∴b＝1，c＝，a2＝c2－b2＝2，即a＝，∴双曲线的方程为－y2＝1，因此其渐近线方程为y＝±x.
7．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为________.
答案　＋1
解析　不妨设点P在该双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a.因为△PF1F2是等腰直角三角形，所以只能是∠PF2F1＝90°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c，所以(2a＋2c)2＝2×(2c)2，即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，得e2－2e－1＝0.因为e>1，所以e＝＋1.
8．若双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是________.
答案　(－12,0)
解析　双曲线的方程可变为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，又e∈(1,2)，则1<<2，解得－12 三、解答题
9．已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆＋＝1有相同的顶点，求此双曲线的标准方程．
解　因为椭圆＋＝1的顶点为(－5,0)，(5,0)，(0，－3)，(0,3)，当相同的顶点为(－5,0)，(5,0)时，双曲线的焦点在x轴上，且a＝5.又＝＝2，所以c＝10，从而b2＝75，所以双曲线的标准方程为－＝1.
当相同的顶点为(0，－3)，(0,3)时，双曲线的焦点在y轴上，且a＝3.
又e＝＝＝2，所以c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－9＝27，所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上可知，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
10．已知双曲线E：－＝1(m>0)．
(1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
(2)若双曲线E的离心率为e∈，求实数m的取值范围．
解　(1)m＝4时，双曲线的方程为－＝1，
所以a＝2，b＝，c＝3，所以双曲线E的焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，渐近线方程为y＝±x.
(2)因为e2＝＝＝1＋，e∈，所以<1＋<2，解得5 B级：“四能”提升训练
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦距为20，渐近线方程为y＝±x；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
解　(1)当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为＝，且2c＝20，所以c＝10，
又c2＝a2＋b2，所以a2＝80，b2＝20.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，因为＝，即b＝2a.
又2c＝20，所以c＝10.
又c2＝a2＋b2，所以a2＝20，b2＝80.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
综上所述，所求双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1.
(2)解法一：设双曲线的标准方程为－＝1，
由题意可得c＝2，
又所求双曲线过点(3，2)，
所以－＝1，
又a2＋b2＝(2)2，
所以a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
解法二：设所求双曲线的标准方程为
－＝1(－16<λ<4)，
因为该双曲线过点(3，2)，
所以－＝1，
所以λ＝－4或λ＝14(舍去)，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
2．已知双曲线－＝1的一个焦点为(2,0)．
(1)求双曲线的实轴长和虚轴长；
(2)若已知点M(4,0)，且点N(x，y)是双曲线上的任意一点，求|MN|的最小值．
解　(1)由题意可知，m＋3m＝4，
∴m＝1.
∴双曲线的方程为x2－＝1.
∴双曲线的实轴长为2，虚轴长为2.
(2)由x2－＝1，得y2＝3x2－3，
∴|MN|＝＝
＝＝.
又x≤－1或x≥1，
∴当x＝1时，|MN|取得最小值3.