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高中数学2.8 直线与圆锥曲线的位置关系教案配套ppt课件
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这是一份高中数学2.8 直线与圆锥曲线的位置关系教案配套ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了直线与椭圆的交点问题，知识梳理，注意点，3没有公共点，反思感悟，Δ＝0，－11，中点弦问题，y2＝8x，随堂演练等内容，欢迎下载使用。
1.会用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系.
2.能解决和弦的中点有关的简单问题.
联立直线方程与椭圆方程，消去y得ax2＋bx＋c＝0，则直线与椭圆的位置关系如下
(1)设直线时，要注意斜率不存在的情况.(2)含参数的相交问题，注意Δ>0的检验.
已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C： ＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点；
直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③关于x的一元二次方程的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点.
(2)有且只有一个公共点；
可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.
直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.
已知椭圆＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，则直线l与椭圆的位置关系是A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
由题意知，l：x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0,1)，
所以点(0,1)在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交.
直线与双曲线的交点问题
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式.(1)Δ>0时，直线与双曲线有 不同的公共点.(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有 公共点.(3)Δ<0时，直线与双曲线 公共点.当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有 公共点.
(1)直线与双曲线的关系中，一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.(2)含参数的相交问题，注意Δ>0的检验.
已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点.
延伸探究若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点.
直线l与双曲线有且只有一个公共点.
(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
已知双曲线x2－ ＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.
(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意.(ⅱ)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.当4－k2＝0时，k＝±2，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
直线与抛物线的交点问题
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当 时，直线与抛物线相离，没有公共点.(2)若k＝0，直线与抛物线有 交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.(3)含参数的相交问题，注意Δ>0的检验.
已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
此时直线l平行于x轴.当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；当k>1时，l与C没有公共点.
判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.
已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k<0或0
方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2).将其代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
又M为线段AB的中点，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法二 点差法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.∵M(2,1)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，
由于点M(2,1)为线段AB的中点，则另一个交点为B(4－x,2－y).∵A，B两点都在椭圆上，
①－②，得x＋2y－4＝0.即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入圆锥曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是椭圆 ＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则
(1)直线l的斜率为4，过点M(4,1)且与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，若点M恰好为AB的中点，则抛物线方程为________.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
(2)已知双曲线的方程为x2－ ＝1，是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由.
方法一 由题意知直线的斜率存在，设被点B(1,1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，
方法二 设弦的两端点为A(x1，y1)，C(x2，y2)，∴B(1,1)为AC的中点，
即kAC＝2，∴直线AC的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
整理有2x2－4x＋3＝0，Δ＝16－4×2×3＝－8<0，故y＝2x－1与双曲线无交点，∴不存在被点B(1,1)平分的弦.
1.知识清单： (1)直线与圆锥曲线的位置关系. (2)中点弦的问题.2.方法归纳：公式法、点差法、对称点法、数形结合、分类讨论.3.常见误区： (1)容易忽视讨论直线的斜率是否存在. (2)含参数问题易忽视Δ>0的检验.
1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆 ＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是A.相离 B.相切C.相交 D.相交或相切
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离.
2.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是
消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，
所以它与双曲线只有1个交点.
4.已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________________________.
设点A(x，y)，依题意，得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1).
当k＝0时，显然不符合题意；当k≠0时，依题意，得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1＞0，解得k＞1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝0，
2.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为A.(－2,2) B.[－2,2) C.(－2,2] D.[－2,2]
易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2
将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，
纵坐标为－1－1＝－2.
4.直线x＋4y＋m＝0交椭圆 ＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m的值是A.－2 B.－1C.1 D.2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵AB中点的横坐标为1，
5.(多选)泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知M(0,2)，直线l：y＝0，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离大2.则称该直线为“最远距离直线”.则下列结论错误的是A.y＝ ＋1是“最远距离直线”B.y＝2x－6不是“最远距离直线”C.点P的轨迹与直线l：y＝2是没有交汇的轨迹(即两个轨迹没有交点)D.点P的轨迹曲线是一条线段
∵点P到点M的距离比到直线l的距离大2，∴点P到点M的距离等于到直线y＝－2的距离，因此点P的轨迹是以M为焦点的抛物线，故D错误；则可得点P的轨迹方程为x2＝8y，
则Δ＝4－4×(－8)＝36>0，有解，
则Δ＝162－4×48＝64>0，有解，故y＝2x－6是“最远距离直线”，故B错误；
故两个轨迹有交点，故C错误.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
即kAB·kOM＝－2.对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确；
对于B，由kAB·kOM＝－2，M(1,1)，得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B正确；
则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；
7.若直线y＝x＋2与椭圆＝1有两个公共点，则m的取值范围是________________.
(1,3)∪(3，＋∞)
得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0，∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m>1或m<0.∴m>1且m≠3，∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞).
8.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是______.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故线段AB的中点坐标为(4,2).
9.已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.
设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，
消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3，∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，它们之间的距离即为所求最短距离，且直线x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.
10.已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M的轨迹方程；
设M(x，y).因为kAM·kBM＝－2，
化简得2x2＋y2＝2(x≠±1).即点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1).
(2)若过点 的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程.
设C(x1，y1)，D(x2，y2).
易知此时线段CD的中点不是N，不符合题意.当直线l不与x轴垂直时，
即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0.
消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)，
12.过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于a2＋2a＋5(a∈R)，则这样的直线A.有且仅有一条 B.有且仅有两条C.有一条或两条 D.不存在
|AB|＝xA＋xB＋p＝a2＋2a＋7＝(a＋1)2＋6>4，而通径的长为4，所以有且仅有两条.
13.以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是
得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，由Δ≥0得b2≥4，所以b2的最小值为4，
则b2＝4时，e取最大值，故选C.
设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，
消去x，化简得(a2＋2b2)y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，由Δ＝0得2b2＋a2－8＝0.设F′为椭圆C的左焦点，连接F′E(图略)，易知F′E∥l，所以F′E⊥EF.
在Rt△F′EF中，由|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，化简得2b2＝a2，代入2b2＋a2－8＝0得b2＝2，a＝2，c2＝2.所以|EF|＝|F′E|＝2，
16.如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆x2＋y2＝4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点且斜率为2，直线l交抛物线和圆依次于A，B，C，D四点.(1)求抛物线的方程；
由圆的方程x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，可知圆心为F(2,0)，半径为2，又由抛物线的焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F(2,0)，故抛物线方程为y2＝8x.
(2)求|AB|＋|CD|的值.
1.会用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系.
2.能解决和弦的中点有关的简单问题.
联立直线方程与椭圆方程，消去y得ax2＋bx＋c＝0，则直线与椭圆的位置关系如下
(1)设直线时，要注意斜率不存在的情况.(2)含参数的相交问题，注意Δ>0的检验.
已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C： ＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点；
直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③关于x的一元二次方程的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点.
(2)有且只有一个公共点；
可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.
直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.
已知椭圆＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，则直线l与椭圆的位置关系是A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
由题意知，l：x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0,1)，
所以点(0,1)在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交.
直线与双曲线的交点问题
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式.(1)Δ>0时，直线与双曲线有 不同的公共点.(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有 公共点.(3)Δ<0时，直线与双曲线 公共点.当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有 公共点.
(1)直线与双曲线的关系中，一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.(2)含参数的相交问题，注意Δ>0的检验.
已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点.
延伸探究若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点.
直线l与双曲线有且只有一个公共点.
(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
已知双曲线x2－ ＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.
(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意.(ⅱ)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.当4－k2＝0时，k＝±2，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
直线与抛物线的交点问题
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当 时，直线与抛物线相离，没有公共点.(2)若k＝0，直线与抛物线有 交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.(3)含参数的相交问题，注意Δ>0的检验.
已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
此时直线l平行于x轴.当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；当k>1时，l与C没有公共点.
判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.
已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k<0或0
方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2).将其代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
又M为线段AB的中点，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法二 点差法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.∵M(2,1)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，
由于点M(2,1)为线段AB的中点，则另一个交点为B(4－x,2－y).∵A，B两点都在椭圆上，
①－②，得x＋2y－4＝0.即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入圆锥曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是椭圆 ＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则
(1)直线l的斜率为4，过点M(4,1)且与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，若点M恰好为AB的中点，则抛物线方程为________.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
(2)已知双曲线的方程为x2－ ＝1，是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由.
方法一 由题意知直线的斜率存在，设被点B(1,1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，
方法二 设弦的两端点为A(x1，y1)，C(x2，y2)，∴B(1,1)为AC的中点，
即kAC＝2，∴直线AC的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
整理有2x2－4x＋3＝0，Δ＝16－4×2×3＝－8<0，故y＝2x－1与双曲线无交点，∴不存在被点B(1,1)平分的弦.
1.知识清单： (1)直线与圆锥曲线的位置关系. (2)中点弦的问题.2.方法归纳：公式法、点差法、对称点法、数形结合、分类讨论.3.常见误区： (1)容易忽视讨论直线的斜率是否存在. (2)含参数问题易忽视Δ>0的检验.
1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆 ＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是A.相离 B.相切C.相交 D.相交或相切
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离.
2.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是
消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，
所以它与双曲线只有1个交点.
4.已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________________________.
设点A(x，y)，依题意，得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1).
当k＝0时，显然不符合题意；当k≠0时，依题意，得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1＞0，解得k＞1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝0，
2.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为A.(－2,2) B.[－2,2) C.(－2,2] D.[－2,2]
易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2
将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，
纵坐标为－1－1＝－2.
4.直线x＋4y＋m＝0交椭圆 ＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m的值是A.－2 B.－1C.1 D.2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵AB中点的横坐标为1，
5.(多选)泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知M(0,2)，直线l：y＝0，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离大2.则称该直线为“最远距离直线”.则下列结论错误的是A.y＝ ＋1是“最远距离直线”B.y＝2x－6不是“最远距离直线”C.点P的轨迹与直线l：y＝2是没有交汇的轨迹(即两个轨迹没有交点)D.点P的轨迹曲线是一条线段
∵点P到点M的距离比到直线l的距离大2，∴点P到点M的距离等于到直线y＝－2的距离，因此点P的轨迹是以M为焦点的抛物线，故D错误；则可得点P的轨迹方程为x2＝8y，
则Δ＝4－4×(－8)＝36>0，有解，
则Δ＝162－4×48＝64>0，有解，故y＝2x－6是“最远距离直线”，故B错误；
故两个轨迹有交点，故C错误.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
即kAB·kOM＝－2.对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确；
对于B，由kAB·kOM＝－2，M(1,1)，得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B正确；
则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；
7.若直线y＝x＋2与椭圆＝1有两个公共点，则m的取值范围是________________.
(1,3)∪(3，＋∞)
得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0，∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m>1或m<0.∴m>1且m≠3，∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞).
8.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是______.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故线段AB的中点坐标为(4,2).
9.已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.
设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，
消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3，∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，它们之间的距离即为所求最短距离，且直线x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.
10.已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M的轨迹方程；
设M(x，y).因为kAM·kBM＝－2，
化简得2x2＋y2＝2(x≠±1).即点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1).
(2)若过点 的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程.
设C(x1，y1)，D(x2，y2).
易知此时线段CD的中点不是N，不符合题意.当直线l不与x轴垂直时，
即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0.
消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)，
12.过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于a2＋2a＋5(a∈R)，则这样的直线A.有且仅有一条 B.有且仅有两条C.有一条或两条 D.不存在
|AB|＝xA＋xB＋p＝a2＋2a＋7＝(a＋1)2＋6>4，而通径的长为4，所以有且仅有两条.
13.以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是
得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，由Δ≥0得b2≥4，所以b2的最小值为4，
则b2＝4时，e取最大值，故选C.
设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，
消去x，化简得(a2＋2b2)y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，由Δ＝0得2b2＋a2－8＝0.设F′为椭圆C的左焦点，连接F′E(图略)，易知F′E∥l，所以F′E⊥EF.
在Rt△F′EF中，由|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，化简得2b2＝a2，代入2b2＋a2－8＝0得b2＝2，a＝2，c2＝2.所以|EF|＝|F′E|＝2，
16.如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆x2＋y2＝4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点且斜率为2，直线l交抛物线和圆依次于A，B，C，D四点.(1)求抛物线的方程；
由圆的方程x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，可知圆心为F(2,0)，半径为2，又由抛物线的焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F(2,0)，故抛物线方程为y2＝8x.
(2)求|AB|＋|CD|的值.
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