高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数图片ppt课件

第2课时　换底公式

学习目标　1.掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．

一、对数的换底公式

问题1　上节课我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log93等式子的化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？

提示　设log48＝x，故有4x＝8，即22x＝23，故x＝，而log28＝3，log24＝2，于是我们大胆猜测log48＝，同样log93＝ .

问题2　是否对任意的logab都可以表示成logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)？说出你的理由．

提示　依据当a>0，且a≠1时，ax＝N⇔logaN＝x推导得出．

令＝x，则logcb＝xlogca＝logcax，故b＝ax，

∴x＝logab，∴logab＝.

知识梳理

1．对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．

2．对数换底公式的重要推论

(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．

(2) (a>0，且a≠1，b>0)．

(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．

注意点：

(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义．

(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝.

例1　(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)；

(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值．

解　(1)原式＝

＝·＝×＝.

(2)方法一　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.

∴log3645＝＝

＝＝＝.

方法二　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.

∴log3645＝＝＝.

延伸探究　若本例(2)条件不变，求log915(用a，b表示)．

解　因为18b＝5，所以log185＝b.

所以log915＝＝

＝＝

＝＝

＝＝.

反思感悟　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧

跟踪训练1　(1)的值是(　　)

A.   B.

C．1   D．2

答案　A

解析　方法一　将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，

即＝＝·＝.

方法二　将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，

即＝＝＝.

(2)计算：.

解　原式＝×

＝－×log32×3log23＝－.

二、对数运算性质的综合运用

例2　(1)设3a＝4b＝36，求＋的值；

(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.

解　(1)方法一　由3a＝4b＝36，

得a＝log336，b＝log436，

由换底公式得＝log363，＝log364，

∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.

方法二　由3a＝4b＝36，两边取以6为底的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，

∴＝log63，＝log64＝log62，

∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.

(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，

∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，

∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，

由＋＋＝1，

得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，

∴k＝30，

∴x＝log230＝1＋log215，

y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.

反思感悟　利用对数式与指数式互化求值的方法

(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．

(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．

跟踪训练2　已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．

解　∵3a＝5b＝c，∴c>0，

∴a＝log3c，b＝log5c，

∴＝logc3，＝logc5，

∴＋＝logc15.

由logc15＝2得c2＝15，

即c＝(负值舍去)．

三、实际问题中的对数运算

例3　某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%.若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)

A．6  B．7  C．8  D．9

答案　C

解析　设至少需要过滤n次，

则0.02×n＝0.001，即n＝.

所以nlg ＝lg ，即n(lg 2－lg 3)＝－lg 20，

即n＝＝≈7.4.

又n∈N，所以n≥8.

所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求．

反思感悟　关于对数运算在实际问题中的应用

(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．

(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算．

跟踪训练3　标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况．而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列数据最接近的是(lg 3≈0.477)(　　)

A．10－37  B．10－36  C．10－35  D．10－34

答案　B

解析　根据题意，对取常用对数得lg＝lg 3361－lg 10 00052＝361×lg 3－52×4≈－35.8，则≈10－35.8，选项B中的10－36与其最接近．

1．知识清单：

(1)换底公式．

(2)对数的实际应用．

2．方法归纳：换底公式、转化法．

3．常见误区：要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆．

1．－＋log23×log34的值为(　　)

A.   B.

C．1   D.

答案　D

解析　原式＝－＋×

＝－＋×＝.

2．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　　)

A．3   B．8

C．4   D．log48

答案　A

解析　由2x＝3得x＝log23，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋＝log23＋(3log22－log23)＝3.

3．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　log36＝＝＝.

4．已知2a＝5b＝M，且＋＝2，则M的值是______________________________________．

答案　2

解析　因为2a＝5b＝M，且＋＝2，

所以a＝log2M，b＝log5M，所以＝logM2，＝logM5，

所以＋＝logM4＋logM5＝logM20＝2，所以M2＝20，

又M>0，所以M＝2.

1．化简得log832的值为(　　)

A.  B．2  C．4  D.

答案　D

解析　log832＝＝＝.

2．log29×log34等于(　　)

A.  B.  C．2  D．4

答案　D

解析　方法一　原式＝×＝＝4.

方法二　原式＝2log23×＝2×2＝4.

3．已知x，y为正实数，则(　　)

A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y   B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y

C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y   D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y

答案　D

解析　2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy)．故选D.

4．已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则(　　)

A．a＝bc   B．b2＝ac

C．c＝ab   D．c2＝ab

答案　C

解析　由题意，令log2a＝log3b＝log6c＝k，

则a＝2k，b＝3k，c＝6k，

∴c＝6k＝(2×3)k＝2k×3k＝ab.

5.等于(　　)

A．lg 3  B．－lg 3  C.  D．－

答案　C

解析　原式=

.

6．(多选)若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的有(　　)

A.＋＝1   B.＋＝lg 20

C.＋＝2   D.＋＝

答案　AB

解析　由题意知，a＝log210，b＝log510，＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确；

＋＝＋＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故B正确；

＋＝＋＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C，D不正确．

7．若ln 3＝a，则log9e＝________.

答案　

解析　因为ln 3＝a，则ea＝3，所以log9e＝＝＝.

8．设log23·log36·log6m＝log4(2m＋8)，则实数m＝________.

答案　4

解析　左边＝××＝log2m＝log4m2，所以m2＝2m＋8，解得m＝4或m＝－2(负值舍去)．

9．计算下列各式的值：

(1)；

(2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．

解　(1)原式＝log535＋log550－log514＋

＝log5＋

＝log553－1＝2.

(2)方法一　原式＝

＝

＝log25·3log52＝13log25·＝13.

方法二　原式＝

＝

＝＝13.

10．设xa＝yb＝zc，且＋＝，求证：z＝xy.

证明　设xa＝yb＝zc＝k，k>0，则a＝logxk，b＝logyk，c＝logzk.

因为＋＝，所以＋＝，即logkx＋logky＝logkz.

所以logk(xy)＝logkz，即z＝xy.

11．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于(　　)

A．p2＋q2   B.(3p＋2q)

C.   D．pq

答案　C

解析　∵log83＝＝＝p，

∴lg 3＝3plg 2.

∵log35＝＝q，

∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，

∴lg 5＝.

12．若＝log35，则5m＋5－m的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　由于＝log35，所以m＝log53，

.

13．根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与最接近的是(　　)

(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　∵汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.

∴＝，

两边取常用对数，可得lg ＝lg 1010－lg 36－lg 230≈10－6×0.48－30×0.30＝－1.88.

∴＝10－1.88≈.

14．已知a＝，log74＝b，则log4948＝________(用含a，b的式子表示)．

答案　

解析　由a＝，得a＝log73，

又b＝log74，

∴log4948＝＝＝

＝.

15．已知函数f(x)＝ln(－x)＋2，则f(lg 5)＋f 等于(　　)

A．4  B．0  C．1  D．2

答案　A

解析　∵f(x)＝ln(－x)＋2，∴f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋2＋ln(＋x)＋2＝ln 1＋4＝4，则f(lg 5)＋f ＝f(lg 5)＋f(－lg 5)＝4.

16．已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)，若设x＝at，试用a，t表示y.

解　由换底公式，

得logax＋－＝3(a>1)，

所以logay＝(logax)2－3logax＋3.

当x＝at时，logax＝logaat＝t(t≠0)，

所以logay＝t2－3t＋3.

所以y＝at2－3t＋3(t≠0)．