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高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.2 一元二次不等式及其解法课前预习课件ppt
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.2 一元二次不等式及其解法课前预习课件ppt，文件包含第一章42一元二次不等式及其解法pptx、第一章42一元二次不等式及其解法docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
3.掌握解一元二次不等式的方法.
春天来了，熊猫饲养员计划在靠墙的位置为它们圈建一个矩形的室外活动室.现有可以做出20 m栅栏的材料，要求使得活动室的面积不小于42 m2，你能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗？
问题1 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？
提示 设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x)m.由题意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0
一元二次不等式中必须保证a≠0.
下列不等式①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中是一元二次不等式的有A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
根据一元二次不等式的定义，只有①②满足.故选D.
理解一元二次不等式的定义应注意两点(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数).(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且二次项系数不能为0.特别注意：当二次项系数含参数时，根据题意判断系数是否为0.
(多选)下列不等式是一元二次不等式的是
问题2 二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？
提示 二次函数图象与x轴交点的横坐标正好是方程的根.
问题3 你能从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找x2－12x＋20<0的解集吗？
提示 从图象上看(图略)，位于x轴上方的图象使得函数值大于零，位于x轴下方的图象使得函数值小于零，故x2－12x＋20<0的解集为{x|2
{x|xx2}
{x|x1
(4)三个二次间的关系：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解⇔y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标；ax2＋bx＋c>0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴上方时，对应的x的取值集合；ax2＋bx＋c<0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴下方时，对应的x的取值集合.
解下列不等式：(1)3x2－5x－2<0；
Δ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，因此方程3x2－5x－2＝0有两个不相等的实数根，
(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2－12x＋9>0；
方程4x2－12x＋9＝0中，因为Δ＝0，所以方程4x2－12x＋9＝0有两个相等的实数根，
(4)－x2＋6x－10>0.
原不等式可化为x2－6x＋10<0，在方程x2－6x＋10＝0中，因为Δ<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实数根，所以原不等式的解集为∅.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
解下列不等式：(1)－x2＋5x－6>0；
不等式可化为x2－5x＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个实数根，解得x1＝2，x2＝3.
由二次函数y＝x2－5x＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x|2
方程x2－4x＋5＝0无实数解，函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图②).观察图象可得，不等式的解集为R.
含参数的一元二次不等式的解法
原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，
解不等式：(1)12x2－ax>a2；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
(2)－x2＋(2－m)x＋2m≥0.
原不等式可化为x2＋(m－2)x－2m≤0，即(x＋m)(x－2)≤0，令(x＋m)(x－2)＝0，解得x1＝－m，x2＝2.当－m>2，即m<－2时，不等式的解集为[2，－m]；当－m＝2，即m＝－2时，不等式的解集为{2}；当－m<2，即m>－2时，不等式的解集为[－m,2].综上所述，当m<－2时，原不等式的解集为[2，－m]，当m＝－2时，原不等式的解集为{2}，当m>－2时，原不等式的解集为[－m,2].
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1
对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－4).
②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}.
③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}.④当－44或a<－4时，不等式的解集为
当a＝4时，不等式的解集为{x|x≠－1}.当a＝－4时，不等式的解集为{x|x≠1}.当－4
1.不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是
方法一 取x＝1检验，满足，排除A；取x＝4检验，不满足，排除B，C.方法二 原不等式可化为2x2＋7x－9≤0，
A.(－2,2)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.[－2,2]
由题意知，x2＋ax＋1≥0的解集为R，∴Δ≤0，即a2－4≤0，∴－2≤a≤2.
4.不等式－x2＋6x－8>0的解集为________.
原不等式等价于x2－6x＋8<0，即(x－2)·(x－4)<0，解得2
5.若一元二次不等式x2＋(m－3)x＋m≤0有解，则m的取值范围是________________.
{m|m≥9或m≤1}
1.不等式－4x2＋4x<－15的解集为
2.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B等于A.{1,2,3} B.{1,2}C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}
又x∈N*且x≤5，则x＝1,2.
3.下列四个不等式中，解集为R的是
C中Δ＝62－4×10<0.满足条件；D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能.
4.已知不等式x2＋x＋a<0的解集为空集，则a的取值范围是
5.在R上定义运算⊗：a⊗b＝2ab＋a2＋b＋1，则满足x⊗(x－1)<0的实数x的取值范围为
∵x⊗(x－1)＝2x(x－1)＋x2＋x－1＋1<0，
6.不等式x2＋3x－4<0的解集为___________.
易得方程x2＋3x－4＝0的两根为－4,1，所以不等式x2＋3x－4<0的解集为{x|－4
由x2＋x－6<0得－3
不等式ax2＋(2－4a)x－8>0可化为(ax＋2)·(x－4)>0，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}；
综上，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}；
11.已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是A.{x|x<5a或x>－a} B.{x|x>5a或x<－a}C.{x|－a
12.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(x∈R)的部分对应值如下表：
则不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是A.{x|x<－3或x>2} B.{x|x<－2或x>3}C.{x|－3
13.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是A.[－4,1] B.[－4,3] C.[1,3] D.[－1,3]
原不等式可化为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1
当a－2＝0，即a＝2时，原不等式可化为1>0，对∀x∈R都成立，∴a＝2满足条件，若a－2≠0，则a－2>0，且Δ＝4(a－2)2－4(a－2)<0，解得2
16.解关于x的不等式(a＋1)x2－(2a＋3)x＋2<0.
①当a＋1＝0，即a＝－1时，原不等式变为－x＋2<0，即x>2.
③当a＋1<0，即a<－1时，
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
3.掌握解一元二次不等式的方法.
春天来了，熊猫饲养员计划在靠墙的位置为它们圈建一个矩形的室外活动室.现有可以做出20 m栅栏的材料，要求使得活动室的面积不小于42 m2，你能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗？
问题1 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？
提示 设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x)m.由题意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0
一元二次不等式中必须保证a≠0.
下列不等式①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中是一元二次不等式的有A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
根据一元二次不等式的定义，只有①②满足.故选D.
理解一元二次不等式的定义应注意两点(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数).(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且二次项系数不能为0.特别注意：当二次项系数含参数时，根据题意判断系数是否为0.
(多选)下列不等式是一元二次不等式的是
问题2 二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？
提示 二次函数图象与x轴交点的横坐标正好是方程的根.
问题3 你能从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找x2－12x＋20<0的解集吗？
提示 从图象上看(图略)，位于x轴上方的图象使得函数值大于零，位于x轴下方的图象使得函数值小于零，故x2－12x＋20<0的解集为{x|2
{x|x
{x|x1
(4)三个二次间的关系：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解⇔y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标；ax2＋bx＋c>0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴上方时，对应的x的取值集合；ax2＋bx＋c<0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴下方时，对应的x的取值集合.
解下列不等式：(1)3x2－5x－2<0；
Δ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，因此方程3x2－5x－2＝0有两个不相等的实数根，
(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2－12x＋9>0；
方程4x2－12x＋9＝0中，因为Δ＝0，所以方程4x2－12x＋9＝0有两个相等的实数根，
(4)－x2＋6x－10>0.
原不等式可化为x2－6x＋10<0，在方程x2－6x＋10＝0中，因为Δ<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实数根，所以原不等式的解集为∅.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
解下列不等式：(1)－x2＋5x－6>0；
不等式可化为x2－5x＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个实数根，解得x1＝2，x2＝3.
由二次函数y＝x2－5x＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x|2
方程x2－4x＋5＝0无实数解，函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图②).观察图象可得，不等式的解集为R.
含参数的一元二次不等式的解法
原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，
解不等式：(1)12x2－ax>a2；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
(2)－x2＋(2－m)x＋2m≥0.
原不等式可化为x2＋(m－2)x－2m≤0，即(x＋m)(x－2)≤0，令(x＋m)(x－2)＝0，解得x1＝－m，x2＝2.当－m>2，即m<－2时，不等式的解集为[2，－m]；当－m＝2，即m＝－2时，不等式的解集为{2}；当－m<2，即m>－2时，不等式的解集为[－m,2].综上所述，当m<－2时，原不等式的解集为[2，－m]，当m＝－2时，原不等式的解集为{2}，当m>－2时，原不等式的解集为[－m,2].
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1
对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－4).
②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}.
③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}.④当－4
当a＝4时，不等式的解集为{x|x≠－1}.当a＝－4时，不等式的解集为{x|x≠1}.当－4
1.不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是
方法一 取x＝1检验，满足，排除A；取x＝4检验，不满足，排除B，C.方法二 原不等式可化为2x2＋7x－9≤0，
A.(－2,2)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.[－2,2]
由题意知，x2＋ax＋1≥0的解集为R，∴Δ≤0，即a2－4≤0，∴－2≤a≤2.
4.不等式－x2＋6x－8>0的解集为________.
原不等式等价于x2－6x＋8<0，即(x－2)·(x－4)<0，解得2
5.若一元二次不等式x2＋(m－3)x＋m≤0有解，则m的取值范围是________________.
{m|m≥9或m≤1}
1.不等式－4x2＋4x<－15的解集为
2.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B等于A.{1,2,3} B.{1,2}C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}
又x∈N*且x≤5，则x＝1,2.
3.下列四个不等式中，解集为R的是
C中Δ＝62－4×10<0.满足条件；D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能.
4.已知不等式x2＋x＋a<0的解集为空集，则a的取值范围是
5.在R上定义运算⊗：a⊗b＝2ab＋a2＋b＋1，则满足x⊗(x－1)<0的实数x的取值范围为
∵x⊗(x－1)＝2x(x－1)＋x2＋x－1＋1<0，
6.不等式x2＋3x－4<0的解集为___________.
易得方程x2＋3x－4＝0的两根为－4,1，所以不等式x2＋3x－4<0的解集为{x|－4
由x2＋x－6<0得－3
不等式ax2＋(2－4a)x－8>0可化为(ax＋2)·(x－4)>0，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}；
综上，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}；
11.已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是A.{x|x<5a或x>－a} B.{x|x>5a或x<－a}C.{x|－a
12.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(x∈R)的部分对应值如下表：
则不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是A.{x|x<－3或x>2} B.{x|x<－2或x>3}C.{x|－3
13.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是A.[－4,1] B.[－4,3] C.[1,3] D.[－1,3]
原不等式可化为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1
当a－2＝0，即a＝2时，原不等式可化为1>0，对∀x∈R都成立，∴a＝2满足条件，若a－2≠0，则a－2>0，且Δ＝4(a－2)2－4(a－2)<0，解得2
16.解关于x的不等式(a＋1)x2－(2a＋3)x＋2<0.
①当a＋1＝0，即a＝－1时，原不等式变为－x＋2<0，即x>2.
③当a＋1<0，即a<－1时，
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