北师大版 (2019)必修 第一册4.2 一元二次不等式及其解法课堂检测

一元二次不等式及其解法

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)

A． B．

C． D．R

B　[∵9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≥0，∴9x2＋6x＋1≤0的解集为.]

2．不等式x(2－x)＞3的解集是(　　)

A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－3＜x＜1}

C．{x|x＜－3或x＞1} D．∅

D　[将不等式化为x2－2x＋3＜0，由于对应方程的判别式Δ＜0，所以不等式x(2－x)＞3的解集为∅.]

3．若集合A＝，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B＝(　　)

A. B．

C. D．

B　[由题意可得A＝，B＝{1,2,3,4,5}，所以A∩B＝.]

4．若全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x－4<0}，B＝，则∁U(A∩B)＝(　　)

A. B．

C. D．

D　[由题意可得A＝{x|－4<x<1}，

所以A∩B＝{x|－2<x<1}，

所以∁U(A∩B)＝]

5．若一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是，则一元二次不等式cx2＋bx＋a>0的解集是(　　)

A. B．

C. D．

C　[由题意得，a<0，－＝1，＝－2，所以cx2＋bx＋a>0可化为x2＋x＋1<0，即－2x2－x＋1<0，解得x＜－1或x＞.]

二、填空题

6．{x|－x2－x＋2>0}∩Z＝________.

{－1,0}　[{x|－x2－x＋2>0}∩Z＝{x|－2<x<1}∩Z＝{－1,0}. ]

7．当a<0时，关于x的不等式(x－5a)(x＋a)>0的解集是__________．

　[∵a<0，∴5a<－a，

由(x－5a)(x＋a)>0得x<5a或x>－a.]

8．不等式ax2－bx＋c＞0的解集是，对于a、b、c有以下结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＞0；⑤a－b＋c＞0.其中正确结论的序号是________．

③⑤　[由于ax2－bx＋c＞0的解集为，

可知a＜0，且－＋2＝，－×2＝，∴b＜0，c＞0.

又x＝－1时不等式不成立，∴a＋b＋c＞0不成立．

x＝1时，不等式成立，∴a－b＋c＞0成立．选③⑤.]

三、解答题

9．解下列不等式：

(1)2x2＋7x＋3>0；

(2)－4x2＋18x－≥0；

(3)－2x2＋3x－2<0；

(4)－x2＋3x－5>0.

[解]　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，

所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实数根x1＝－3，x2＝－.

又函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，

所以原不等式的解集为.

(2)原不等式可化为2≤0，

所以原不等式的解集为.

(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，

因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，

所以方程2x2－3x＋2＝0无实数根，

又函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，

所以原不等式的解集为R.

(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实数根，又函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.

10．解关于x的不等式x2－2mx＋m＋1>0.

[解]　不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m)2－4(m＋1)＝4(m2－m－1)．

(1)当Δ>0，即m>或m<时，

由于方程x2－2mx＋m＋1＝0的根是x＝m±，

所以不等式的解集是{x|x<m－或x>m＋}；

(2)当Δ＝0，即m＝时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠m}；

(3)当Δ<0，即<m<时，不等式的解集为R.

11．若0<a<1，则不等式x2－3(a＋a2)x＋9a3≤0的解集为(　　)

A．{x|3a2≤x≤3a} B．{x|3a≤x≤3a2}

C．{x|x≤3a2，或x≥3a} D．{x|x≤3a，或x≥3a2}

A　[因为0<a<1，所以0<3a2<3a，而方程x2－3(a＋a2)x＋9a3＝0的两个根分别为3a和3a2，所以不等式的解集为{x|3a2≤x≤3a}．]

12．不等式|x|(1－2x)>0的解集是(　　)

A. B．(－∞，0)∪

C. D．

B　[原不等式可变形为，解得

0<x<或x<0.

所以原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，)，故选B.]

13．在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．

　[原不等式等价于x(x－1)－(a－2)·(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，

因为x2－x－1＝2－≥－，

所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤.

所以a的最大值为.]

14．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．

{x|2≤x<8}　[由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，所以[x]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为{x|2≤x<8}．]

15．已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.

[解]　∵ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立．

当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；

当a≠0时，则

解得0<a≤1.

综上，0≤a≤1.

由x2－x－a2＋a<0，

得(x－a)[x－(1－a)]<0.

∵0≤a≤1，

∴①当1－a>a，

即0≤a<时，a<x<1－a；

②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；

③当1－a<a，即<a≤1时，1－a<x<a.

综上，当0≤a<时，原不等式的解集为{x|a<x<1－a}；当a＝时，原不等式的解集为∅；当<a≤1时，原不等式的解集为{x|1－a<x<a}.