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北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.2 一元二次不等式及其解法第1课时教学设计及反思
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这是一份北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.2 一元二次不等式及其解法第1课时教学设计及反思，共12页。教案主要包含了问题引入，探究新知，归纳小结，布置作业，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。
教学目标
1．正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一二次不等式的解法；
2．通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力；
教学重难点
重点：
1．一元二次不等式及一元二次不等式解集的概念；
2．一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式的内在联系；
3．运用函数、方程以及一元二次函数的图象求解一元二次不等式的解集．
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系．
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、问题引入
问题1：汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一 般称这段距离为“刹车距”.刹车距(单位：)与车速弑单位：)之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同.它是分析交通事故的一个重要依据.
甲、乙两辆汽车相向而行，由于突发情况，两车相撞.交警在现场测得甲车的刹车距接近 但未超过，乙车的刹车距刚刚超过.已知这两辆汽车的刹车距函数如下：
．
．
车速超过属违章.
试问：哪一辆车违章超速行驶？
师生活动：学生独立思考，把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来．
预设的答案：只需分别解出使不等式和成立的的取值范围，再确认两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶.
追问1：不等式即，与我们学习过的一元一次不等式有什么不同？你能再举出一些类似的不等式吗？
师生活动：学生可以回答这个问题．之后教师给出一元二次不等式的定义，一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式：，并且强调二次项的系数．一元二次不等式形如 QUOTE ，其中“”也可换成“”“”“”，使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．
设计意图：通过具体问题抽象出一元二次不等式的过程，明确一元二次不等式的定义和一般形式，体会一元二次不等式的现实意义．
二、探究新知
1．探究一元二次不等式的解法
问题2：在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．那么这三个“一次”之间的关系是什么？
师生活动：教师引导学生回答问题，并强调从代数和几何两方面的理解，注意数形结合的思想．师生共同总结如下：
设计意图：通过对三个“一次”的关系的总结，帮学生梳理函数和相应的方程、不等式之间的关系，为下面的探索做好铺垫．
问题3：类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函数为例．
师生活动：学生类比研究，应该有一部分学生可以获得思路．教师设计追问，引导学生思考．
追问2：教师用信息技术画出函数的图象，图象与x轴有两个交点，并在函数图象上任取一点．当点在抛物线上移动时，请你观察：随着点的移动，它的纵坐标的符号怎样变化？
★资源名称： 【数学探究】二次函数与一元二次方程、不等式的关系
★使用说明：本资源动态展示了二次函数的零点与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系，使用时可通过滑动条改变二次函数中的系数，直观观察三者之间的关系．
注：此图片为动画截图，如需使用资源，请于资源库调用．
师生活动：学生观察思考后回答．
预设的答案：当点移动到轴上时，它的纵坐标等于（即）；当点移动到轴上方时，它的纵坐标大于（即）；当点移动到轴下方时，它的纵坐标小于（即）．
追问3：当点P的纵坐标时、时、时所对应的横坐标的取值范围分别是什么？
师生活动：学生独立获得答案．
预设的答案：当时，即方程的解，并且也是二次函数的零点．
当时，即不等式的解集是．
当时，即不等式的解集是．
教师总结：利用函数的图象，可以求得不等式和的解集．
追问4：问题1中的解答是什么？（略．）
设计意图：在具体的例子中，类比三个“一次”的关系理解三个“二次”之间的关系，进一步感受用函数观点看方程和不等式，掌握利用函数求解方程和不等式的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力．
2．归纳一元二次不等式的一般解法．
问题4：求解一元二次不等式解集的方法，是否可以推广到一般的一元二次不等式？对于一般的一元二次方程一元二次不等式与相应的函数之间是否也具有类似的关系？请你完成下表．
师生活动：学生思考并对上述方法进行了归纳、概括，获得求解一般一元二次不等式的解法．
预设的答案：求解一元二次不等式的关键是利用二次函数的图象与x轴的相关位置确定不等式对应的x的取值范围，而确定x的取值范围需要先求出相应一元二次方程的根．这种关系体现在下表中．
设计意图：通过问题引导学生从具体的“三个二次”的关系，归纳、概括、获得一般的一元二次不等式的解法．在这个过程中培养学生数学抽象概括的能力，以及从具体到抽象，从特殊到一般的研究问题的基本方法．并体会数形结合和函数思想的应用．
教师总结：
(1)解一元二次不等式的口诀：
先看开口再看根．
函数图象是根本．
横轴上方y为正．
根间根外想谨慎．
(2)一元二次不等式 QUOTE 的解法思路：
初步应用
例2.求不等式 QUOTE 的解集.
预设的答案：函数，抛物线开口向上，对应二次方程有两个相等实根 QUOTE ，所以不等式的解集为 QUOTE ；
例3.求不等式 QUOTE 的解集.
预设的答案：
解法1：对应抛物线开口向上，方程有两个实根 QUOTE
大于零解集是“两根之外”，所以不等式解集为 QUOTE .
解法2：由 QUOTE ，即 QUOTE
由“同号得正，异号得负”，得 QUOTE 或 QUOTE ，解得
所以不等式解集为.
追问5：二次项系数是负数（即)的不等式，如何求解？
预设的答案：先把二次项系数化成正数，再求解．
师生活动：学生总结，教师完善．师生总结解一元二次不等式的一般步骤是：（1）先把二次项系数化为正数；（2）求判别式的值；（3）求相应方程的实数根；（4）结合函数图象写出一元二次不等式的解集．
设计意图：这三道例题对应的两个二次函数的图象分别与轴有一个交点、两个交点，再次巩固了利用二次函数解二次不等式的方法．并要注重代数问题的求解程序的提炼总结，以便学生有序地思考，规范地求解，提升学生的数学运算素养．注重数形结合思想方法的应用，培养学生思维的严谨性．
【课堂练习一】
已知一元二次不等式的解集为，则的解集为________．
追问6：如何利用“三个二次”的关系求解？能大致画出不等式对应的函数的草图吗？
师生活动：学生先独立思考，画出函数的草图，从而可以确定．并利用方程的根与函数零点的关系，及韦达定理求出之间的关系（而不是具体的值），再化简求值．
预设的答案：
解：根据题意可知．
令．由根与系数的关系得
解得代入所求不等式得．①
又∵，∴①化为．
对于方程，因为＞0，所以它有两个实数根，解得，画出二次函数的图象（图2－3－5），结合图象得不等式的解集为
图2-3-5
设计意图：进一步理解三个“二次”之间的关系，在较复杂的情境中应用新知识，提高学生分析问题的能力．
【课堂练习一】
1．求下列不等式的解集：
（1）；
（2）
师生活动：学生独立完成，学生代表在黑板板书解答过程，教师根据步骤重点讲解易错细节.
预设的答案：
（1）；（2）.
（1）因为．
所以方程有两个不相等的实根，.
又二次函数的图象开口向下．
所以原不等式的解集为.
（2）方法一：等价于①或 ②
解①得，解②得．
所以原不等式的解集为.
方法二：不等式⇔
所以由二次不等式知所以.
所以原不等式的解集为.
设计意图：帮助学生巩固利用“三个二次”之间的关系来解不等式.
【课堂练习二】
2．已知关于的一元二次方程，当为何值时，该方程：
（1）有两个不同的正根；
（2）有不同的两根且两根在内.
师生活动：教师引导学生分析题意，挖掘隐藏的不等式，学生完成作答.
预设的答案：
（1）；（2）
解：（1）由题意，关于的一元二次方程有两个不同的正根时，满足，得，所以的范围为.
（2）令，则当时．
即时，方程有不同的两根且两根在内.
设计意图：利用一元二次函数图象总结一元二次方程根的分布.
四、归纳小结，布置作业
问题4：这节课我们学习了解一元二次不等式，那么我们是如何去研究一元二次不等式解的过程的？在这个过程中体现了哪些数学方法和思想？
师生活动：师生共同总结，教师强调关键点是从具体的实际问题入手，利用函数、方程与不等式的关系，结合相应的二次函数图象，求一元二次不等式的解集．其中体现了数形结合、化归及函数思想．
追问7：请简单说明如何解一元二次不等式？
师生活动：提醒学生注意二次项系数的正负，如果是负的话先化成正的，然后求方程的解，再画出函数图象，最后观察函数图象得到不等式的解集．
设计意图：完善学生的知识结构，强化学生对知识的理解，以及本节课所涉及到的数学思想方法和研究方法．要将重点放在引导学生进一步理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系上，提升学生对数学内容的联系性和整体性的认识．
作业布置：教材第37页1，2.
五、目标检测设计
1．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
设计意图：考查学生对一元二次不等式的解法．
2．不等式（其中）的解集为（ ）
A．(，) B．(，) C．(，) D．(，)
设计意图：考查学生对方程两个根的大小的判断．
3．若的充要条件是，则的值为___________.
设计意图：考查学生由一元二次不等式求解参数值．
4.已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围_______.
设计意图：建立新知与旧知的联系．
5．已知不等式的解集为．
（1）求a，b的值；
（2）解不等式．
设计意图：考查学生对二次不等式的解集和方程两个根的关系的理解．
参考答案：
1．A．不等式可化为，即．
解得，∴不等式的解集为．
2．B．∵其中，∴．
∴不等式的解集为（）．
3．－14.因为ax2+bx+2>0的充要条件是．
所以ax2+bx+2=0的两根为－和，且a<0.
所以，且a<0．
解得a=－12，b=－2.
∴ a+b=－14.
4.
由题意，或，，或．
∵是的必要不充分条件，即.
∴，解得．
5．（1）由题意得是方程的两根，且，则
（2）由得不等式为
∴不等式得解集为（1，2）．
的图象
的根
的解集
的解集
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
的图象
的根
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
的解集
的解集
教学目标
1．正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一二次不等式的解法；
2．通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力；
教学重难点
重点：
1．一元二次不等式及一元二次不等式解集的概念；
2．一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式的内在联系；
3．运用函数、方程以及一元二次函数的图象求解一元二次不等式的解集．
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系．
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、问题引入
问题1：汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一 般称这段距离为“刹车距”.刹车距(单位：)与车速弑单位：)之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同.它是分析交通事故的一个重要依据.
甲、乙两辆汽车相向而行，由于突发情况，两车相撞.交警在现场测得甲车的刹车距接近 但未超过，乙车的刹车距刚刚超过.已知这两辆汽车的刹车距函数如下：
．
．
车速超过属违章.
试问：哪一辆车违章超速行驶？
师生活动：学生独立思考，把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来．
预设的答案：只需分别解出使不等式和成立的的取值范围，再确认两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶.
追问1：不等式即，与我们学习过的一元一次不等式有什么不同？你能再举出一些类似的不等式吗？
师生活动：学生可以回答这个问题．之后教师给出一元二次不等式的定义，一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式：，并且强调二次项的系数．一元二次不等式形如 QUOTE ，其中“”也可换成“”“”“”，使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．
设计意图：通过具体问题抽象出一元二次不等式的过程，明确一元二次不等式的定义和一般形式，体会一元二次不等式的现实意义．
二、探究新知
1．探究一元二次不等式的解法
问题2：在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．那么这三个“一次”之间的关系是什么？
师生活动：教师引导学生回答问题，并强调从代数和几何两方面的理解，注意数形结合的思想．师生共同总结如下：
设计意图：通过对三个“一次”的关系的总结，帮学生梳理函数和相应的方程、不等式之间的关系，为下面的探索做好铺垫．
问题3：类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函数为例．
师生活动：学生类比研究，应该有一部分学生可以获得思路．教师设计追问，引导学生思考．
追问2：教师用信息技术画出函数的图象，图象与x轴有两个交点，并在函数图象上任取一点．当点在抛物线上移动时，请你观察：随着点的移动，它的纵坐标的符号怎样变化？
★资源名称： 【数学探究】二次函数与一元二次方程、不等式的关系
★使用说明：本资源动态展示了二次函数的零点与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系，使用时可通过滑动条改变二次函数中的系数，直观观察三者之间的关系．
注：此图片为动画截图，如需使用资源，请于资源库调用．
师生活动：学生观察思考后回答．
预设的答案：当点移动到轴上时，它的纵坐标等于（即）；当点移动到轴上方时，它的纵坐标大于（即）；当点移动到轴下方时，它的纵坐标小于（即）．
追问3：当点P的纵坐标时、时、时所对应的横坐标的取值范围分别是什么？
师生活动：学生独立获得答案．
预设的答案：当时，即方程的解，并且也是二次函数的零点．
当时，即不等式的解集是．
当时，即不等式的解集是．
教师总结：利用函数的图象，可以求得不等式和的解集．
追问4：问题1中的解答是什么？（略．）
设计意图：在具体的例子中，类比三个“一次”的关系理解三个“二次”之间的关系，进一步感受用函数观点看方程和不等式，掌握利用函数求解方程和不等式的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力．
2．归纳一元二次不等式的一般解法．
问题4：求解一元二次不等式解集的方法，是否可以推广到一般的一元二次不等式？对于一般的一元二次方程一元二次不等式与相应的函数之间是否也具有类似的关系？请你完成下表．
师生活动：学生思考并对上述方法进行了归纳、概括，获得求解一般一元二次不等式的解法．
预设的答案：求解一元二次不等式的关键是利用二次函数的图象与x轴的相关位置确定不等式对应的x的取值范围，而确定x的取值范围需要先求出相应一元二次方程的根．这种关系体现在下表中．
设计意图：通过问题引导学生从具体的“三个二次”的关系，归纳、概括、获得一般的一元二次不等式的解法．在这个过程中培养学生数学抽象概括的能力，以及从具体到抽象，从特殊到一般的研究问题的基本方法．并体会数形结合和函数思想的应用．
教师总结：
(1)解一元二次不等式的口诀：
先看开口再看根．
函数图象是根本．
横轴上方y为正．
根间根外想谨慎．
(2)一元二次不等式 QUOTE 的解法思路：
初步应用
例2.求不等式 QUOTE 的解集.
预设的答案：函数，抛物线开口向上，对应二次方程有两个相等实根 QUOTE ，所以不等式的解集为 QUOTE ；
例3.求不等式 QUOTE 的解集.
预设的答案：
解法1：对应抛物线开口向上，方程有两个实根 QUOTE
大于零解集是“两根之外”，所以不等式解集为 QUOTE .
解法2：由 QUOTE ，即 QUOTE
由“同号得正，异号得负”，得 QUOTE 或 QUOTE ，解得
所以不等式解集为.
追问5：二次项系数是负数（即)的不等式，如何求解？
预设的答案：先把二次项系数化成正数，再求解．
师生活动：学生总结，教师完善．师生总结解一元二次不等式的一般步骤是：（1）先把二次项系数化为正数；（2）求判别式的值；（3）求相应方程的实数根；（4）结合函数图象写出一元二次不等式的解集．
设计意图：这三道例题对应的两个二次函数的图象分别与轴有一个交点、两个交点，再次巩固了利用二次函数解二次不等式的方法．并要注重代数问题的求解程序的提炼总结，以便学生有序地思考，规范地求解，提升学生的数学运算素养．注重数形结合思想方法的应用，培养学生思维的严谨性．
【课堂练习一】
已知一元二次不等式的解集为，则的解集为________．
追问6：如何利用“三个二次”的关系求解？能大致画出不等式对应的函数的草图吗？
师生活动：学生先独立思考，画出函数的草图，从而可以确定．并利用方程的根与函数零点的关系，及韦达定理求出之间的关系（而不是具体的值），再化简求值．
预设的答案：
解：根据题意可知．
令．由根与系数的关系得
解得代入所求不等式得．①
又∵，∴①化为．
对于方程，因为＞0，所以它有两个实数根，解得，画出二次函数的图象（图2－3－5），结合图象得不等式的解集为
图2-3-5
设计意图：进一步理解三个“二次”之间的关系，在较复杂的情境中应用新知识，提高学生分析问题的能力．
【课堂练习一】
1．求下列不等式的解集：
（1）；
（2）
师生活动：学生独立完成，学生代表在黑板板书解答过程，教师根据步骤重点讲解易错细节.
预设的答案：
（1）；（2）.
（1）因为．
所以方程有两个不相等的实根，.
又二次函数的图象开口向下．
所以原不等式的解集为.
（2）方法一：等价于①或 ②
解①得，解②得．
所以原不等式的解集为.
方法二：不等式⇔
所以由二次不等式知所以.
所以原不等式的解集为.
设计意图：帮助学生巩固利用“三个二次”之间的关系来解不等式.
【课堂练习二】
2．已知关于的一元二次方程，当为何值时，该方程：
（1）有两个不同的正根；
（2）有不同的两根且两根在内.
师生活动：教师引导学生分析题意，挖掘隐藏的不等式，学生完成作答.
预设的答案：
（1）；（2）
解：（1）由题意，关于的一元二次方程有两个不同的正根时，满足，得，所以的范围为.
（2）令，则当时．
即时，方程有不同的两根且两根在内.
设计意图：利用一元二次函数图象总结一元二次方程根的分布.
四、归纳小结，布置作业
问题4：这节课我们学习了解一元二次不等式，那么我们是如何去研究一元二次不等式解的过程的？在这个过程中体现了哪些数学方法和思想？
师生活动：师生共同总结，教师强调关键点是从具体的实际问题入手，利用函数、方程与不等式的关系，结合相应的二次函数图象，求一元二次不等式的解集．其中体现了数形结合、化归及函数思想．
追问7：请简单说明如何解一元二次不等式？
师生活动：提醒学生注意二次项系数的正负，如果是负的话先化成正的，然后求方程的解，再画出函数图象，最后观察函数图象得到不等式的解集．
设计意图：完善学生的知识结构，强化学生对知识的理解，以及本节课所涉及到的数学思想方法和研究方法．要将重点放在引导学生进一步理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系上，提升学生对数学内容的联系性和整体性的认识．
作业布置：教材第37页1，2.
五、目标检测设计
1．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
设计意图：考查学生对一元二次不等式的解法．
2．不等式（其中）的解集为（ ）
A．(，) B．(，) C．(，) D．(，)
设计意图：考查学生对方程两个根的大小的判断．
3．若的充要条件是，则的值为___________.
设计意图：考查学生由一元二次不等式求解参数值．
4.已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围_______.
设计意图：建立新知与旧知的联系．
5．已知不等式的解集为．
（1）求a，b的值；
（2）解不等式．
设计意图：考查学生对二次不等式的解集和方程两个根的关系的理解．
参考答案：
1．A．不等式可化为，即．
解得，∴不等式的解集为．
2．B．∵其中，∴．
∴不等式的解集为（）．
3．－14.因为ax2+bx+2>0的充要条件是．
所以ax2+bx+2=0的两根为－和，且a<0.
所以，且a<0．
解得a=－12，b=－2.
∴ a+b=－14.
4.
由题意，或，，或．
∵是的必要不充分条件，即.
∴，解得．
5．（1）由题意得是方程的两根，且，则
（2）由得不等式为
∴不等式得解集为（1，2）．
的图象
的根
的解集
的解集
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
的图象
的根
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
的解集
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