【最新版】高中数学高三培优小题练第64练　空间向量的概念与运算

第64练　空间向量的概念与运算

考点一　空间向量的线性运算

1．若三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一条直线上，则(　　)

A．a＝3，b＝2   B．a＝6，b＝－1

C．a＝3，b＝－3   D．a＝－2，b＝1

答案　A

解析　∵A，B，C三点共线，

∴，为共线向量，

又＝，＝，

∴＝＝，解得a＝3，b＝2.

2．如图，已知三棱锥O－ABC，点M，N分别是OA，BC的中点，点G为线段MN上一点，且MG＝2GN，若记＝a，＝b，＝c，则等于(　　)

A.a＋b＋c   B.a＋b＋c

C.a＋b＋c   D.a＋b＋c

答案　C

解析　∵＝(＋)，＝，

∴＝－＝(＋－)，

∴＝＋＝＋×(＋－)＝＋＋＝a＋b＋c.

3．(2022·天津模拟)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)等于(　　)

A．(1,1,1)   B．(1,1，－1)

C．(1，－1,1)   D．(－1,1,1)

答案　D

解析　＝＋，

又∵＝，＝＝－，

∴＝＋－＝x＋y＋z，

∴x＝－1，y＝1，z＝1.

考点二　空间向量基本定理的应用

4．(2022·泰安模拟)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由＝3－＋λ确定的点M与A，B，C共面，则λ的值为(　　)

A．－2  B．－1  C．1  D．2

答案　B

解析　由点M与A，B，C共面，且＝3－＋λ，

可得3－1＋λ＝1，解得λ＝－1.

5．一个向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　因为向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，

所以p＝a＋2b＋3c，

设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，

所以p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，

有⇒

故p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为.

6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4,2)，c＝(－3,5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝________.

答案　－1

解析　由题意可知，存在实数m，n满足c＝ma＋nb，

据此可得方程组

解得

考点三　空间向量数量积及其应用

7．已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m＝2e1＋3e2，n＝ke1－4e2，m⊥n，则实数k的值为(　　)

A．－6   B．6

C．3   D．－3

答案　B

解析　由m⊥n，得m·n＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，

∵e1·e2＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.

8．已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，点H为BF的中点，连接CH，有下述四个结论：

①DE⊥BF；②EF与CH所成角为60°；③EC⊥平面DBF；④BF与平面ACFE所成角为45°.

其中所有正确结论的序号是(　　)

A．①②   B．①②③

C．①③④   D．①②③④

答案　B

解析　由题意得，所得几何体可以看成一个正方体，

以DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AD＝DC＝DG＝2, 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，G(0,0,2)，E(2,0,2)，F(0,2,2)，B(2,2,0)，H(1,2,1)，

①＝(2,0,2)，＝(－2,0,2)，∴·＝－4＋0＋4＝0，

∴⊥，∴DE⊥BF，①正确．

②＝(－2,2,0)，＝(1,0,1)，设与所成的角为θ，∴cos θ＝＝，θ∈[0，π]，

∴θ＝60°，②正确．

③∵＝(－2,2，－2)，＝(2,2,0)，＝(0,2,2)，

设n＝(x，y，z)是平面DBF的一个法向量，

∴

∴⇒取x＝1，

∴n＝(1，－1,1)，

∵＝－2n，∥n，

∴EC⊥平面DBF，③正确．

④∵＝(－2,0,2)，易得m＝(1,1,0)是平面ACFE的一个法向量，

设BF与平面ACFE所成的角为α，

∴α∈，

∴sin α＝＝＝，

∴α＝30°，④不正确，综上①②③正确．

9．已知a＝(5,3,1)，b＝.若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是____________．

答案　∪

解析　因为a＝(5,3,1)，b＝，

所以a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，

因为a与b的夹角为钝角，

所以a·b<0且〈a，b〉≠180°，

由a·b<0，得3t－<0，

所以t<.

若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb，

即(5,3,1)＝λ，

所以

解得t＝－.

即t<，且t≠－，

所以t∈∪.

10．设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，那么(a＋3c)·(3b－2a)＝________，(2a＋b－3c)2＝________.

答案　－62　373

解析　(a＋3c)·(3b－2a)＝3a·b－2a2＋9c·b－6a·c

＝3|a||b|cos 90°－2|a|2＋9|c||b|cos 60°－6|a||c|cos 60°

＝0－2×52＋9×8×3×－6×5×8×

＝－62；

(2a＋b－3c)2＝4a2＋b2＋9c2＋4a·b－12a·c－6b·c

＝4|a|2＋|b|2＋9|c|2＋4|a||b|cos 90°－12|a||c|cos 60°－6|b||c|cos 60°

＝4×52＋32＋9×82＋4×5×3×0－12×5×8×－6×3×8×＝373.

11．关于空间向量，以下说法不正确的是(　　)

A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B．若对空间中任意一点O，有＝＋＋，则P，A，B，C四点共面

C．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底

D．若a·b<0，则〈a，b〉是钝角

答案　D

解析　对于A，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以A正确；

对于B，若对空间中任意一点O，有＝＋＋，因为＋＋＝1，

可得P，A，B，C四点一定共面，所以B正确；

对于C，由于{a，b，c}是空间的一个基底，则向量a，b，c不共面，可得向量a，b，c＋a不共面，所以{a，b，m}也是空间的一个基底，所以C正确；

对于D，若a·b<0，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉∈，所以D不正确．

12．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则下列说法中不正确的是(　　)

A.＝a＋b＋c

B．||＝

C．直线AB1和直线BC1相互垂直

D．直线AB1和直线BC1所成角的余弦值为

答案　C

解析　对于A，＝＋＋＝＋＋

＝－＋＋＋(－)

＝＋＋，

又因为＝a，＝b，＝c，

所以＝a＋b＋c，故选项A正确；

对于B，因为AB＝AC＝AA1＝1，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，因为∠BAC＝90°，所以a·b＝0.

因为∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以a·c＝b·c＝1×1×＝，

所以||2＝(a＋b＋c)2＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)

＝(1＋1＋1＋0＋1＋1)＝，所以||＝，故选项B正确；

对于C，＝a＋c，＝c＋b－a，

·＝(a＋c)(c＋b－a)＝a·c＋a·b－a2＋c2＋b·c－a·c＝＋0－1＋1＋－＝≠0，故选项C不正确；

对于D，||＝

＝＝＝，

||＝

＝

＝＝，

cos〈，〉＝

＝＝＝，故选项D正确．

13.如图，在三棱锥D－ABC中，已知AB＝2，·＝－3，设AD＝a，BC＝b，CD＝c，则的最小值为________．

答案　2

解析　设＝a，＝b，＝c，

∵AB＝2，∴(a＋b＋c)2＝4⇒a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝4，

又∵·＝－3，∴(a＋c)·(－b－c)＝－3⇒a·b＋b·c＋c·a＋c2＝3，

∴a2＋b2＋c2＋2(3－c2)＝4⇒c2＝a2＋b2＋2，

∴＝≥＝2，

当且仅当a＝b时，等号成立，即的最小值是2.

14．(2022·广州市协和中学模拟)在如图所示的试验装置中，四边形框架ABCD为正方形，四边形ABEF为矩形，且BE＝3AB＝3，且它们所在的平面互相垂直，N为对角线BF上的一个定点，且2FN＝BN，活动弹子M在正方形对角线AC上移动，当·取最小值时，的值为________．

答案　

解析　因为四边形ABCD为正方形，则AB⊥BC，而平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，

于是得BC⊥平面ABEF，又四边形ABEF为矩形，

即BE⊥AB，以B为坐标原点，射线BA，BE，BC分别为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

则B(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,0,1)，E(0,3,0)，F(1,3,0)，

因为点N在BF上，且2FN＝BN，

则N，

又M在线段AC上移动，则有＝t＝(t,0，－t)，t∈[0,1]，

于是得点M(t,0,1－t)，

＝(－t,3，t－1)，＝，

·＝t＋6＋(t－1)2

＝2t2－t＋7＝22＋，

因此，当t＝时，·取最小值，

此时，＝，

所以＝.