【最新版】高中数学高三培优小题练第67练　两条直线的位置关系

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第67练　两条直线的位置关系，共5页。试卷主要包含了已知a>0，b>0，两直线l1，设a∈R，直线l1，两平行直线l1等内容，欢迎下载使用。

考点一 两条直线的平行与垂直
1．已知直线l1经过A(－3,4)，B(－8，－1)两点，直线l2的倾斜角为135°，那么l1与l2( )
A．垂直 B．平行
C．重合 D．相交但不垂直
答案 A
解析 ∵直线l1经过A(－3,4)，B(－8，－1)两点，
∴直线l1的斜率k1＝eq \f(4＋1,－3＋8)＝1，
∵直线l2的倾斜角为135°，
∴直线l2的斜率k2＝tan 135°＝－1，
∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.
2．已知a>0，b>0，两直线l1：(a－1)x＋y－1＝0，l2：x＋2by＋1＝0，且l1⊥l2，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A．2 B．4 C．8 D．9
答案 D
解析 由题可知，kl1＝1－a，kl2＝－eq \f(1,2b)，
∵l1⊥l2，则kl1·kl2＝－1，
即(1－a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2b)))＝－1，
∴a＋2b＝1，
∵a>0，b>0，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))·(a＋2b)＝5＋eq \f(2b,a)＋eq \f(2a,b)≥5＋4＝9，
当且仅当a＝b＝eq \f(1,3)时取等号，
所以eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为9.
3．(2022·南京模拟)设a∈R，直线l1：x＋ay＝2a＋2与直线l2：ax＋y＝a＋1平行，则a的值是( )
A．±1 B．－1 C．1 D．0
答案 C
解析 由l1：x＋ay－2a－2＝0，l2：ax＋y－a－1＝0，
又两直线平行可得eq \f(1,a)＝eq \f(a,1)，即a＝±1，
当a＝1时，l1：x＋y－4＝0，l2：x＋y－2＝0，两直线平行成立；
当a＝－1时，l1：x－y＝0，l2：x－y＝0，两直线重合，错误．
考点二 两条直线的交点坐标
4．(2022·连云港模拟)若三条直线2x＋ky＋8＝0，x－y－1＝0和2x－y＝0交于一点，则k的值为( )
A．－2 B．－eq \f(1,2) C．3 D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝0，,x－y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－2.))
把eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－2))代入2x＋ky＋8＝0，得k＝3.
5．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p)，则m－n＋p为( )
A．24 B．－20 C．0 D．20
答案 D
解析 由两直线互相垂直，得－eq \f(m,4)×eq \f(2,5)＝－1，
解得m＝10，
又垂足坐标为(1，p)，代入直线5x＋2y－1＝0，
得p＝－2.
将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0，得n＝－12，
所以m－n＋p＝20.
考点三 点到直线的距离、两条平行线间的距离
6．两平行直线l1：3x＋4y－2＝0，l2：6x＋(3a＋2)y＋a－1＝0之间的距离是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,10) D.eq \f(1,5)
答案 B
解析 ∵l1∥l2，
∴eq \f(3,6)＝eq \f(4,3a＋2)，解得a＝2，
∴直线l2：6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋eq \f(1,2)＝0，
∴两平行线之间的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,2))),\r(32＋42))＝eq \f(1,2).
7．若点A(2,3)，B(－4,5)到直线l的距离相等，且直线l过点P(－1,2)，则直线l的方程为____________________．
答案 x＋3y－5＝0或x＝－1
解析 方法一 当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1，点A，B到直线l的距离相等，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))).
∴直线l的方程为y－2＝eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
综上，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
方法二 当AB∥l时，有kl＝kAB＝eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))，直线l的方程为y－2＝eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点时，由AB的中点为(－1,4)，得直线l的方程为x＝－1.
综上，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
8．已知l1，l2是分别经过A(2,1)，B(0,2)两点的两条平行直线，当l1，l2之间的距离最大时，直线l1的方程是____________．
答案 2x－y－3＝0
解析 由平面几何知识，得当l1⊥AB时，l1，l2之间的距离最大．
∵A(2,1)，B(0,2)，
∴kAB＝eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，则kl1＝2.
则直线l1的方程是y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
考点四 对称问题
9．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
答案 D
解析 设P(x，y)为所求直线上任一点，则P(x，y)关于直线x＝1的对称点为(2－x，y)，又点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，即所求直线方程为x＋2y－3＝0.
10．从点P(1,0)射出的光线经过直线y＝x＋1反射后的反射光线射到点Q(3,0)处，则该束光线经过的最短路程是________．
答案 2eq \r(5)
解析 设从点P(1,0)射出的光线射到直线y＝x＋1上的点N，再反射到Q(3,0)处，即求|PN|＋|PQ|的最小值．
设点P(1,0)关于直线y＝x＋1的对称点为P1(a，b)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a－1)＝－1，,\f(b,2)＝\f(a＋1,2)＋1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝2，))
即P1(－1,2)，
所以|PN|＋|NQ|＝|P1N|＋|NQ|≥|P1Q|＝eq \r(－1－32＋2－02)＝2eq \r(5)，
当P1，N，Q三点共线时取得等号．
11．直线x－4y＋6＝0和8x＋y－18＝0与两坐标轴围成的四边形的面积为( )
A.eq \f(27,16) B.eq \f(15,4) C.eq \f(33,16) D.eq \f(33,8)
答案 B
解析 设直线8x＋y－18＝0与x轴的交点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，0))，直线x－4y＋6＝0与y轴的交点为Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))，则|MN|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(3,2)))2)＝eq \f(3\r(13),4).
如图所示，
则由两点式可得直线MN的方程为eq \f(y－\f(3,2),－\f(3,2))＝eq \f(x,\f(9,4))，即4x＋6y－9＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4y＋6＝0，,8x＋y－18＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))此为两直线的交点P(2,2)，
根据点到直线的距离公式可得P点到直线MN的距离为d＝eq \f(|4×2＋6×2－9|,\r(42＋62))＝eq \f(11,\r(52))＝eq \f(11\r(13),26)，
故S四边形OMPN＝S△OMN＋S△PMN
＝eq \f(1,2)×eq \f(9,4)×eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(3\r(13),4)×eq \f(11\r(13),26)＝eq \f(15,4).
12．(2022·四川遂宁中学模拟)已知直线ax＋y＋1＝0，x＋ay＋1＝0和x＋y＋a＝0能构成三角形，则a的取值范围是( )
A．a≠－2 B．a≠±1
C．a≠－2且a≠±1 D．a≠－2且a≠1
答案 C
解析 已知三条直线能构成三角形，首先不平行，
若a＝0，则三条直线围成三角形，
若a≠0，则eq \f(a,1)≠eq \f(1,a)，eq \f(a,1)≠eq \f(1,1)，解得a≠±1，
当a≠±1时，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋y＋1＝0，,x＋y＋a＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－a＋1，))代入x＋ay＋1＝0得1－a(a＋1)＋1＝0，解得a＝1或a＝－2，
因此a≠－2.综上，a≠±1且a≠－2.
13．若直线m被两直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2eq \r(2)，则直线m的倾斜角θ(θ为锐角)为____________．
答案 15°或75°
解析 显然直线l1∥l2，直线l1，l2之间的距离d＝eq \f(|1－3|,\r(2))＝eq \r(2)，
设直线m与l1，l2分别相交于点B，A，则|AB|＝2eq \r(2)，
过点A作直线l垂直于直线l1，垂足为C，
则|AC|＝d＝eq \r(2)，
在Rt△ABC中，sin ∠ABC＝eq \f(|AC|,|AB|)＝eq \f(\r(2),2\r(2))＝eq \f(1,2)，
所以∠ABC＝30°，又直线l1的倾斜角为45°，
所以直线m的倾斜角为45°－30°＝15°或45°＋30°＝75°，故直线m的倾斜角θ＝15°或75°.
14．在平面直角坐标系中，定义d(P，Q)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－x2))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y1－y2))为两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“折线距离”. 若O为坐标原点，则O与直线2x＋y－2eq \r(5)＝0上一点的“折线距离”的最小值是________．
答案 eq \r(5)
解析 直线与两坐标轴的交点分别为N(0,2eq \r(5))，M(eq \r(5)，0)，设P(x，y)为直线上任意一点，
作PQ⊥x轴于Q，于是有eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(QM))，所以d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OQ))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(QP))≥eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OQ))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(QM))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OM))，即当P与M重合时，dmin＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OM))＝eq \r(5).