【最新版】高中数学高三培优小题练第66练　直线的方程

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第66练　直线的方程，共5页。试卷主要包含了经过A，B两点的直线的倾斜角是，下列叙述不正确的是，无论m取何实数，直线l，已知直线l1等内容，欢迎下载使用。


考点一 倾斜角与斜率
1．经过A(－2,0)，B(－5,3)两点的直线的倾斜角是( )
A．45° B．135° C．90° D．60°
答案 B
解析 经过A，B两点的直线的斜率k＝eq \f(3－0,－5＋2)＝－1，所以倾斜角为135°.
2．“直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若直线l的斜率不小于0，则该直线的倾斜角为锐角或0°，
若直线l的倾斜角为锐角，则该直线l的斜率为正数，即不小于0，
所以“直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的必要不充分条件．
3．若直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点(m∈R)，那么l的倾斜角α的取值范围是( )
A．[0，π) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
答案 B
解析 由直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点，可利用斜率公式得k＝eq \f(1－m2,2－1)＝1－m2≤1.由k＝
tan α≤1，得倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).
4．下列叙述不正确的是( )
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°
C．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则此直线的斜率为tan α
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°
答案 A
解析 由斜率的定义，知当直线与x轴垂直时，斜率不存在，故A错误．易知其他选项正确．
考点二 直线的方程
5．已知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(7,2)))，A(1,2)，B(3,1)，则过点M和线段AB的中点的直线方程为( )
A．4x＋2y－5＝0 B．4x－2y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y－5＝0
答案 B
解析 由题意可知线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋3,2)，\f(2＋1,2)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2))).故所求直线方程为eq \f(y－\f(7,2),\f(3,2)－\f(7,2))＝eq \f(x－3,2－3)，整理得4x－2y－5＝0.
6．若直线y＝kx＋b不经过第一象限，则点(k，b)可能在( )
①第二象限；②第三象限；③第四象限；④坐标轴上．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
答案 C
解析 ∵直线y＝kx＋b不经过第一象限，如图所示．
∴该直线可能经过二、四象限，即k<0，b＝0；或经过二、三、四象限，即k<0，b<0；或经过三、四象限，即k＝0，b<0；或为x轴，即k＝b＝0.
∴点(k，b)可能落在第三象限，也可能落在坐标轴上．
7．过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( )
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0
答案 B
解析 当直线过原点与点(5,2)时，直线方程为2x－5y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为y－2＝k(x－5)，当x＝0时，y＝2－5k，当y＝0时，x＝5－eq \f(2,k)，所以2－5k＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(2,k)))，解得k＝－2或k＝eq \f(2,5)(舍)，所以直线方程为2x＋y－12＝0.综上，所求直线方程为2x＋y－12＝0或2x－5y＝0.
8．无论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点坐标为( )
A．(－2,1) B．(－2，－1)
C．(2,1) D．(2，－1)
答案 A
解析 直线l：mx＋y－1＋2m＝0可化为m(x＋2)＋(y－1)＝0，
由题意，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,y－1＝0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1，))
∴直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过定点(－2,1)．
9．已知直线l1：y＝ax－b，l2：y＝bx＋a，当a，b满足一定条件时，它们的图形可能是图中的( )
答案 B
解析 由B中l1的图象可知a>0，且b<0，所以l2过一、二、四象限．
10．过点P(1,3)，且与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线l的方程是( )
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
答案 A
解析 设所求直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝12，,\f(1,a)＋\f(3,b)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝6，))
∴直线l的方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,6)＝1，即3x＋y－6＝0.
11．将直线y＝3x绕原点按逆时针方向旋转90°，再向右平移1个单位长度，则所得到的直线方程为( )
A．y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(1,3) B．y＝－eq \f(1,3)x＋1
C．y＝3x－3 D．y＝eq \f(1,3)x＋1
答案 A
解析 将直线y＝3x绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线y＝－eq \f(1,3)x，再向右平移1个单位长度，所得直线的方程为y＝－eq \f(1,3)(x－1)，即y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(1,3).
12．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为( )
A．(－∞，－4]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))
B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－4，\f(3,4)))
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，4))
答案 A
解析 如图所示，直线l过定点P(1,1)，又直线PA的斜率kPA＝eq \f(－3－1,2－1)＝－4，直线PB的斜率kPB＝eq \f(－2－1,－3－1)＝eq \f(3,4)，∴当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－4]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞)).
13．(2022·福州模拟)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．已知在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(8,0)，C(0,6)，则△ABC的欧拉线方程为( )
A．3x＋4y－3＝0 B．3x－4y＝0
C．3x－4y＋3＝0 D．3x＋4y＝0
答案 B
解析 因为kAB＝eq \f(0－0,8－0)＝0，kAC不存在，所以∠A为直角，即△ABC是直角三角形，则垂心为直角顶点A(0,0)，外心为斜边BC的中点M(4,3)，kAM＝eq \f(3－0,4－0)＝eq \f(3,4)，则“欧拉线”的方程为y＝eq \f(3,4)x，即3x－4y＝0.
14．(2022·徐州模拟)无论k取任何实数，直线l：(1＋4k)x－(2－3k)y＋(2－14k)＝0必经过一个定点，该定点的坐标为________；当k＝________时，原点O到直线l的距离最大．
答案 (2,2) －3
解析 直线l：(1＋4k)x－(2－3k)y＋(2－14k)＝0，即为直线(x－2y＋2)＋k(4x＋3y－14)＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋2＝0，,4x＋3y－14＝0，))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))即定点的坐标为(2,2)，设点A(2,2)，
则当OA与直线l垂直时，原点O到直线l的距离最大，此时kOA＝1，
故直线的斜率为－1，故eq \f(1＋4k,2－3k)＝－1，即k＝－3.