【最新版】高中数学高三培优小题练第1练　集合的关系与运算

专题1　集合与常用逻辑用语

第1练　集合的关系与运算

考点一　集合的含义与表示

1．若集合中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，则此三角形一定不是(　　)

A．直角三角形   B．锐角三角形

C．钝角三角形   D．等腰三角形

答案　D

解析　根据集合中元素的互异性可知，a≠b≠c，所以此三角形一定不是等腰三角形，故D正确．

2．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为(　　)

A．－2   B．2

C．4   D．2或4

答案　A

解析　依题意，2∈A，

若a＝2，则|a|＝2，不满足集合元素的互异性，所以a≠2；

若|a|＝2，则a＝－2或a＝2(舍去)，

此时A＝，符合题意；

若a－2＝2，则a＝4，而|a|＝4，不满足集合元素的互异性，所以a≠4.

综上所述，a的值为－2.

3．设集合A＝{－1,0,1}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　)

A．3  B．6  C．9  D．12

答案　C

解析　根据集合B的定义，

易知，集合B中的元素为，，，，，，，，，共9个元素．

考点二　集合间的基本关系

4．已知集合S＝，T＝{x|x＝4t＋1，t∈Z}，则(　　)

A．2∈S   B．S＝T

C．S⊆T   D．T⊆S

答案　D

解析　由题意，集合S＝

＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，

又由集合T＝{x|x＝4t＋1，t∈Z}＝{x|x＝2×2t＋1，t∈Z}，

所以T⊆S.

5．满足{1,2}⊆A{1,2,3,4}的集合A共有________个．

答案　3

解析　根据已知条件得，A可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．

6．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．

答案　(－∞，3]

解析　根据题意得，当 B＝∅时，m＋1≥2m－1，解得m≤2；

当B≠∅时，

解得2<m≤3.

综上，m≤3.

考点三　集合的基本运算

7．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|log3(x＋2)<1}，则A∩B等于(　　)

A．{x|－2<x<1}

B．{x|x≤1或x≥2}

C．{x|x<1}

D．∅

答案　A

解析　解不等式x2－3x＋2≥0，得x≤1或x≥2，则A＝{x|x≤1或x≥2}，解不等式log3(x＋2)<1，得－2<x<1，则B＝{x|－2<x<1}，则A∩B＝{x|－2<x<1}．

8．(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，集合N＝{3,4}，则∁U(M∪N)等于(　　)

A．{5}   B．{1,2}

C．{3,4}   D．{1,2,3,4}

答案　A

解析　方法一　(先求并再求补)因为集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}．

又全集U＝{1,2,3,4,5}，所以∁U(M∪N)＝{5}．

方法二　(先转化再求解)因为∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)，∁UM＝{3,4,5}，∁UN＝{1,2,5}，所以∁U(M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}．

9．设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为________．

答案　{x|－2≤x<1}

解析　由题意知M∪N＝{x|x<－2或x≥1}，

阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝{x|－2≤x<1}．

10．已知集合A＝{x|4x＋5>x2}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∩B＝∅，A∪B＝(－1,6]，则a＋b＝________.

答案　19

解析　因为A＝

＝，B＝，

A∩B＝∅，A∪B＝(－1,6]，

所以B＝，

所以5和6是方程x2＋ax＋b＝0的两个根，

所以

解得

所以a＋b＝30－11＝19.

11．已知A＝{x|x2<a}，B＝{x|x<2}，若A∩B＝A，则a的取值范围是(　　)

A．(0,4]   B．(0,4)

C．(－∞，4]   D．(－∞，4)

答案　C

解析　由A∩B＝A得，A⊆B，

若a≤0，则A＝∅⊆B，符合题意；

若a>0，则A＝，

又A⊆B，所以0<≤2，

所以0<a≤4，

综上可知a的取值范围是(－∞，4]．

12．(2022·广州外国语学校质检)某公司共有50人，组织参加社会公益活动，其中参加A项公益活动的有28人，参加B项公益活动的有33人，且A，B两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加A项不参加B项的有(　　)

A．7人   B．8人

C．9人   D．10人

答案　D

解析　如图所示，设A，B两项公益活动都参加的有x人，

则仅参加A项的有(28－x)人，仅参加B项的有(33－x)人，

A，B两项公益活动都不参加的有人，

由题意得x＋(28－x)＋(33－x)＋＝50，解得x＝18，

所以只参加A项不参加B项的有28－18＝10(人)．

13．集合A＝{x|2≤x≤6－m}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围为________．

答案　

解析　由题意，集合A＝，

B＝，

因为A∩B≠∅，可得A，B都不是空集，

则解得－2≤m≤4，

要使A∩B≠∅，则只需满足

解得≤m≤，

综上可得，实数m的取值范围为.

14．(2022·石家庄模拟)已知非空集合A1，A2是集合A的子集，若同时满足两个条件：(1)若a∈A1，则a∉A2；(2)若a∈A2，则a∉A1；则称(A1，A2)是集合A的“互斥子集”，并规定(A1，A2)与(A2，A1)为不同的“互斥子集组”，则集合A＝{1,2,3,4}的不同“互斥子集组”的个数是________．

答案　50

解析　当A1，A2中各含1个元素时，“互斥子集组”有C×2＝12(个)，

当A1，A2中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有C×C×2＝24(个)，

当A1，A2中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有C×2＝8(个)，

当A1，A2中各含2个元素时，“互斥子集组”有C＝6(个)，

综上，不同“互斥子集组”的个数是50.