【最新版】高中数学高三培优小题练第38练　平面向量的概念及线性运算

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第38练　平面向量的概念及线性运算，共7页。试卷主要包含了有下列命题等内容，欢迎下载使用。


考点一 平面向量的概念
1．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是平行四边形；④若m＝n，n＝k，则m＝k；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 对于①，两个相等向量，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；
对于②，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(＝))b))，方向不确定，则a，b不一定相等，②错误；
对于③，若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))不一定相等，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，③错误；
对于④，若m＝n，n＝k，则m＝k，④正确；
对于⑤，若a∥b，b∥c，当b＝0时，a∥c不一定成立，⑤错误；
对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑥错误．综上，②③⑤⑥是假命题，共4个．
2．设a，b是非零向量，则“a＝2b”是“eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))＝eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))” 成立的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 依题意知a，b是非零向量，
eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))表示与a同向的单位向量，eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))表示与b同向的单位向量，
当a＝2b时，a，b的方向相同，所以eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))＝eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))；
当eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))＝eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))时，a，b的方向相同，但不一定有a＝2b，如a＝3b也符合，
所以“a＝2b”是“eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))＝eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))” 成立的充分不必要条件．
3．(2022·大连模拟)已知平面上的非零向量a，b，c，有下列说法：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))，则a＝±2b；
③若xa＋yb＝2a＋3b，则x＝2，y＝3；
④若a∥b，则一定存在唯一的实数λ，使得a＝λb.
其中正确的是( )
A．①②③ B．②④
C．①④ D．①③④
答案 C
解析 对于①，由向量共线定理可知，a∥b，则存在唯一的实数λ1，使得a＝λ1b，b∥c，则存在唯一的实数λ2，使得b＝λ2c，由此得出存在唯一的实数λ1·λ2，使得a＝λ1·λ2c，即a∥c，则①正确；
对于②，模长关系只能说明向量a，b的长度关系，与方向无关，则②错误；
对于③，当a＝b时，由题意可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))a＝5a，则x＋y＝5，不能说明x＝2，y＝3，则③错误；
由向量共线定理可知，④正确．
考点二 平面向量的线性运算
4．在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(FD,\s\up6(→)) B.eq \(FC,\s\up6(→)) C.eq \(FE,\s\up6(→)) D.eq \(BE,\s\up6(→))
答案 D
解析
如图所示，在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，
可得eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(BE,\s\up6(→))，则eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(BE,\s\up6(→)).
5．在△ABC中，点G满足eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，若存在点O，使得eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(BC,\s\up6(→))，且eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))，则x＋y等于( )
A．－2 B．2 C．1 D．－1
答案 A
解析 ∵eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,5)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，
可得eq \(OA,\s\up6(→))＝－eq \f(2,5)eq \(OC,\s\up6(→))－eq \f(8,5)eq \(OB,\s\up6(→))，
∵eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))，
∴x＝－eq \f(8,5)，y＝－eq \f(2,5)，则x＋y＝－2.
6．如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则eq \(DF,\s\up6(→))等于( )
A．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
答案 D
解析 利用向量的三角形法则，可得eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))，
∵E为BC的中点，F为AE的中点，
∴eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，
又∵eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))，
∴eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→)).
考点三 共线定理的应用
7．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
答案 C
解析 ∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，向量e1，e2为非零向量且不共线，
∴存在实数λ，使得ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
∴k＝λ，1＝kλ，
解得 k＝±1.
8．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若2eq \(OA,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OD,\s\up6(→))＋3eq \(OB,\s\up6(→))，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形 B．梯形
C．平行四边形 D．菱形
答案 B
解析 ∵2eq \(OA,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OD,\s\up6(→))＋3eq \(OB,\s\up6(→))，
∴2(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→)))＝3(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))，
∴2eq \(DA,\s\up6(→))＝3eq \(CB,\s\up6(→))，
∴ 四边形ABCD一定是梯形．
9．(2022·厦门模拟)若O是平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，且满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋λ(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))(λ∈R)，则P点的轨迹一定过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
答案 C
解析 因为eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋λ(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))(λ∈R)，
所以eq \(CP,\s\up6(→))＝λ(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))，
所以eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))在△ABC的边AB的中线所在直线上，
则λ(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))在△ABC的中线所在直线上，
所以P点的轨迹一定过△ABC的重心．
10．在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(NC,\s\up6(→))，若P是直线BN上的一点，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为( )
A．－4 B．－1 C．1 D．4
答案 B
解析 因为eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(NC,\s\up6(→))，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝5eq \(AN,\s\up6(→))，
即eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5\(AN,\s\up6(→))))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AN,\s\up6(→)).
因为点B，P，N三点共线，所以m＋2＝1，解得m＝－1.
11．设a，b是非零向量，则“存在实数λ，使得a＝λb”是“eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 存在实数λ，使得a＝λb，
说明向量a，b共线，当a，b同向时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))成立，
当a，b反向时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))不成立，所以充分性不成立．
当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))成立时，a，b同向，存在实数λ，使得a＝λb成立，必要性成立，
即“存在实数λ，使得a＝λb”是“eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))”的必要不充分条件．
12．如图，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2DC，点P在线段BC上，且BP＝2PC，则( )
A.eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
B.eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))
D.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))
答案 C
解析 因为eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)).
13．已知△ABC的面积为1，点P满足3eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝4eq \(AP,\s\up6(→))，则△PBC的面积等于______．
答案 eq \f(1,2)
解析
如图，取BC的中点D，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))．
∵4eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))
＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＋(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，即A，P，D共线，
∴S△PBC＝eq \f(1,2)S△ABC＝eq \f(1,2).
14．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，CA，AB上的点，且CD＝eq \f(3,5)BC，EC＝eq \f(1,2)AC，AF＝eq \f(1,3)AB.设P为四边形AEDF内一点(P点不在边界上)，若eq \(DP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))＋λeq \(DE,\s\up6(→))，则实数λ的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(4,3)))
解析 取BD的中点M，过M作MH∥DE分别交DF，AC于G，H，如图．
则由eq \(DP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))＋λeq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DM,\s\up6(→))＋λeq \(DE,\s\up6(→))可知，P点在线段GH上运动(不包括端点)．
当P与G重合时，根据eq \(DP,\s\up6(→))＝teq \(DF,\s\up6(→))＝t(eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)))
＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(DC,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(CA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(CB,\s\up6(→))))
＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(DC,\s\up6(→))＋\f(2,3)·2\(CE,\s\up6(→))＋\f(1,3)·\f(5,3)\(CD,\s\up6(→))))
＝teq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,9)\(DC,\s\up6(→))＋\f(4,3)\(CD,\s\up6(→))＋\(DE,\s\up6(→))))
＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,9)\(DC,\s\up6(→))＋\f(4,3)\(DE,\s\up6(→))))＝－eq \f(8,9)teq \(DC,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)teq \(DE,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))＋λeq \(DE,\s\up6(→))，可知λ＝eq \f(1,2)，当P与H重合时，由P，C，E共线可知－eq \f(1,3)＋λ＝1，即λ＝eq \f(4,3)，结合图形可知λ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(4,3))).