【最新版】高中数学高三培优小题练第21练　导数小题综合练

第21练　导数小题综合练

1．若x＝1是函数f＝ex－ax的极值点，则a的值是(　　)

A．1  B．－1  C．e  D．－e

答案　C

解析　由f′＝ex－a，则f′＝e－a＝0，则a＝e.

2．已知曲线y＝aex＋xln x在点处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)

A．a＝e，b＝－1   B．a＝e，b＝1

C．a＝e－1，b＝1   D．a＝e－1，b＝－1

答案　D

解析　y′＝aex＋ln x＋1，

k＝y′|x＝1＝ae＋1＝2，

∴a＝e－1，

将(1,1)代入y＝2x＋b，得2＋b＝1，b＝－1.

3．(2022·晋江模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是(　　)

答案　D

解析　由导函数的图象可知，0是极大值点，2是极小值点，故D正确．

4．(2022·南昌质检)设函数f(x)＝ln x＋ax2－x，若x＝1是函数f(x)的极大值点，则函数f(x)的极小值为(　　)

A．ln 2－2   B．ln 2－1

C．ln 3－2   D．ln 3－1

答案　A

解析　∵f(x)＝ln x＋ax2－x(x>0)，

∴f′(x)＝＋2ax－，

∵x＝1是函数f(x)的极大值点，

∴f′(1)＝1＋2a－＝2a－＝0，解得a＝，

∴f′(x)＝＋－＝＝，

∴当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当1<x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

∴当x＝2时，f(x)有极小值，且极小值为f(2)＝ln 2－2.

5．已知函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)，x∈[1,4]，f(x)的最大值为3，最小值为－6，则a＋b等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　f′(x)＝4ax3－12ax2＝4ax2(x－3)．令f′(x)＝0，得x＝3或x＝0(舍去)．

当1≤x<3时，f′(x)<0，当3<x≤4时，f′(x)>0，

故x＝3为f(x)的极小值点，也是最小值点．

∵f(3)＝b－27a，f(1)＝b－3a，f(4)＝b，

∴f(x)的最小值为f(3)＝b－27a，最大值为f(4)＝b，

∴解得

∴a＋b＝.

6．若曲线f(x)＝ln x－(a＋1)x存在与直线x－2y＋1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围为(　　)

A.   B.

C．(1，＋∞)   D．[1，＋∞)

答案　C

解析　函数f(x)＝ln x－(a＋1)x，x>0，则f′(x)＝－a－1，若函数f(x)存在与直线x－2y＋1＝0垂直的切线，可得－a－1＝－2有大于0的解，则＝a－1>0，解得a>1，则实数a的取值范围是(1，＋∞)．

7．定义在R上的连续可导函数f(x)，若当x≠0时，有xf′(x)<0，则下列各项正确的是(　　)

A．f(－1)＋f(2)<2f(0)

B．f(－1)＋f(2)＝2f(0)

C．f(－1)＋f(2)>2f(0)

D．f(－1)＋f(2)与2f(0)大小关系不定

答案　A

解析　由xf′(x)<0得，当x>0时，f′(x)<0；当x<0时，f′(x)>0，

则f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．

∵f(x)在R上连续，

∴f(x)max＝f(0)，

即f(0)>f(－1)，f(0)>f(2)，

∴f(－1)＋f(2)<2f(0)．

8．(2022·张家港市外国语学校模拟)已知函数f(x)＝sin x－xcos x，现给出如下结论，其中不正确的结论为(　　)

A．f(x)是奇函数

B．0是f(x)的极值点

C．f(x)在区间上有且仅有一个零点

D．f(x)的值域为R

答案　B

解析　由题意，函数f(x)＝sin x－xcos x的定义域为R，关于原点对称，

又由f(－x)＝sin(－x)＋xcos(－x)

＝－(sin x－xcos x)＝－f(x)，

所以函数f为奇函数，所以A项正确；

又由f′(x)＝cos x－cos x＋xsin x＝xsin x，

当x∈时，f′(x)>0，函数f单调递增；

当x∈时，f′(x)>0，函数f单调递增，

所以0不是函数f的极值点，所以B不正确；

又由f(0)＝0，所以函数f在区间上有且仅有一个零点，所以C正确；

当x＝2kπ，k∈Z时，可得f(2kπ)＝－2kπ，

当k→＋∞且k∈Z，f(x)→－∞，

当x＝2kπ＋π，k∈Z时，可得f(2kπ＋π)＝2kπ＋π，

当k→＋∞且k∈Z，f(x)→＋∞，

由此可得函数f(x)的值域为R，所以D是正确的．

9．已知函数f(x)＝x3＋2x＋1，若f(ax－ex＋1)>1在x∈(0，＋∞)上有解，则实数a的取值范围为(　　)

A．(1，e)   B．(0,1)

C．(－∞，1)   D．(1，＋∞)

答案　D

解析　f(x)在定义域上单调递增，f(0)＝1，

则由f(ax－ex＋1)>1＝f(0)，

得ax－ex＋1>0，ax＋1>ex，

设g(x)＝ax＋1，h(x)＝ex，

则当x∈(0，＋∞)时，存在g(x)的图象在h(x)的图象上方．

g(0)＝1，h(0)＝1，g′(x)＝a，h′(x)＝ex，

则需满足g′(0)＝a>h′(0)＝1.

故a的取值范围为(1，＋∞)．

10．设I是函数y＝f(x)的定义域，若存在x0∈I，使f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间I上存在“次不动点”．若函数f(x)＝ax3－3x2－x＋1在R 上存在三个“次不动点x0”，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－2,0)∪(0,2)   B．(－2,2)

C．(－1,0)∪(0,1)   D．[－1,1]

答案　A

解析　因为函数f(x)＝ax3－3x2－x＋1在R上存在三个“次不动点x0”，

所以ax－3x－x0＋1＝－x0在R上有三个解，

即ax－3x＋1＝0在R上有三个解，

设g(x)＝ax3－3x2＋1，则g′(x)＝3ax2－6x，

由已知a≠0，令g′(x)＝0，即3ax2－6x＝0，

解得x＝0或x＝.

当a>0时，x>或x<0时，g′(x)>0；

0<x<时，g′(x)<0，要使g(x)＝ax3－3x2＋1有三个零点，则g<0，即a2<4，解得0<a<2；

当a<0时，x<或x>0时，g′(x)<0；

<x<0时，g′(x)>0，要使g(x)＝ax3－3x2＋1有三个零点，则g<0，即a2<4，解得－2<a<0，

综上可得，实数a的取值范围是(－2,0)∪(0,2)．

11．(2022·邯郸模拟)写出一个奇函数f(x)，当x>0时，f(x)>0且其导数f′(x)<0，则f(x)＝________.

答案　(答案不唯一)

解析　f(x)＝为奇函数，当x>0时，f(x)>0，

且f′(x)＝－<0，符合题意．

12．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　由题意，函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1，

则f′(x)＝－3x2＋2ax－1，

因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，

所以Δ＝(2a)2－4×(－3)×(－1)＝4a2－12≤0，

即a2≤3，解得－≤a≤，

即实数a的取值范围是.

13．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的下部为圆柱形，高为l，底面半径为r，上部为半径为r的半球形，按照设计要求，容器的体积为π立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r的值为________．

答案　

解析　由题意知V＝πr2l＋×πr3＝πr2l＋πr3＝π，

故l＝＝－r＝，

由l>0可知r<.

∴建造费用y＝×3＋×4πr2×4＝6πr×＋11πr2＝＋7πr2(0<r<)，

则y′＝14πr－＝.

当r∈时，y′<0，r∈时，y′>0，即y在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，

∴当r＝时，该容器的建造费用最小．

14．(2022·苏州模拟)函数f(x)＝x2＋a2＋bln x(a，b∈R)有极小值，且极小值为0，则a2－b的最小值为________．

答案　 2e

解析　由f(x)＝x2＋a2＋bln x(a，b∈R)，可得f′(x)＝2x＋，

因为f(x)有极小值，极小值点记为x0，

则2x0＋＝0，

即b＝－2x(x0>0)，

又由f(x0)＝0，所以x＋a2＋bln x0＝0，

即a2＝－x－bln x0＝－x＋2xln x0≥0，

所以x0≥.

设a2－b＝g(x0)＝x＋2xln x0，

当x0≥时，g′(x0)＝4x0＋4x0ln x0>0，

所以g(x0)＝x＋2xln x0在[，＋∞)上单调递增，

当x0＝时，可得g(x0)min＝g()＝2e，所以a2－b的最小值为2e.