2021学年7.1 复数的概念优质教案设计

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从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.
二、教材分析
本节课选自人民教育出版社《普通高中教科书数学必修第二册（A版）》第七章第一节第一课时《数系的扩充和复数的概念》.
复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后一次扩充，通过复数的学习，可以使学生对数的概念有一个更加完整的认识．复数与平面向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础. 复数在力学、电学及其他学科中都有广泛的应用.
在数学中，数系的扩充必须遵循有关的“规则”，即扩充后的数系中规定的加法运算、乘法运算，与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 从实数系向复数系扩充，同样要符合这样的规则．复数概念的引入，从实系数一元二次方程当判别式小于0时没有实数根出发，回顾从自然数系逐步扩充到实数系、特别是有理数系扩充到实数系的过程，发现数系扩充中体现出的“规则”；进而在“规则”的引导下，考虑为使方程有解，引入新数i，从而可以像实数一样进行加法、乘法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充到复数集．这一过程，通过数系扩充“规则”的归纳，提升学生的数学抽象素养；通过实数系向复数系的扩充，让学生体会类比的数学思想，提升学生的逻辑推理素养，并感受人类理性思维在数系扩充中的作用.
复数的概念是整个复数内容的基础.复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的含义，以及虚数、纯虚数等概念的提出，都是在促进对复数实质的理解，即复数a+bi实质上是有序实数对(a,b). 通过对复数实质的揭示，为后续复数的几何意义、复数的四则运算以及复数的三角表示的学习作准备. 因此，复数的概念，对本章具有奠基性的作用.
三、教学目标：
1、知识与技能目标：
（1）了解引入复数的必要性；了解数系扩充的一般“规则”
（2）理解复数的代数表示式，理解复数的有关概念，理解复数相等的意义.
2、过程与方法目标：
（1）通过数系的扩充历史，了解数系的扩充过程和引入复数的必要；
（2）通过对新概念的学习提高学生的认知能力，在复数相等充要条件的研究过程中提高学生类比思考与转化的能力。
3、情感、态度与价值观目标：
通过学习，感受人类理性思维在数系扩充过程中的作用以及数学与现实世界的联系。
四、教学重点
对数系扩充必要性的认识，理解复数的基本概念.
教学难点
复数的有关概念及应用.
教学方法
探究法
七、教学过程
（一）创设情境，引入新课
我们知道，对于实系数一元二次方程，当时，方程的根为当时，复数不能开平方，方程没有实数根.从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程是否有解的问题，最终简化为是否有解的问题.数学家们经过了反复的研究探索，将实数系进一步扩充，引入了一种新的数——复数，解决了复数开平方的问题.本章我们就来研究复数.本节课我们先类比自然数集逐步扩充到实数集的过程和方法，研究如何把实数集扩充到复数集，学习复数的有关概念.
设计意图：从学生已有的认知入手，激发他们的学习热情，培养学生的归纳、概括与表达能力。
问题探究
1、复数的引入
问题1：我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做数系.回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说明吗？
（1）在自然数集中求方程的解；
（2）在整数集中求方程的解；
（3）在有理数集中求方程的解；
从社会实践来看，数系的扩充是为了满足生活和生产实践的需要.计数的需要产生了自然数，有了自然数系；自然数系不能刻画具有相反意义的量，于是引入了负整数，将自然数系扩充到整数系；整数系中不能解决测量中的一些等分等问题，于是引入了分数，将整数系扩充到了有理数系；有理数系中无法解决边长为1的正方形对角线长度的度量等问题，于是引入了无理数，这样便将有理数系扩充到了实数系.
从数学发展本身来看，数系的扩充也是数学本身发展的需要. 方程在自然数集N内无解，引入负整数后，它在整数集Z内便有解；方程在整数集Z内无解，引入分数后，它在有理数集Q内便有解；方程在有理数集Q内无解，引入无理数后，它在实数集R内便有解.
问题2：可以看出，数系的每一次扩充，都是在原来数集的基础上添加 “新数”得到的，引入新数就要引入新运算，如果没有新运算，数集中的数只是一个个孤立的符号.加法和乘法运算是上述数系中最基本的运算（减法、除法运算分别可以转化成加法、乘法运算）.
梳理从自然数系逐步扩充到实数系的过程，数系的每一次扩充，加法和乘法运算满足的“性质”有一致性吗？由此，你能梳理数系扩充遵循的“规则”吗？
教师引导分析，从自然数集扩充到整数集时，原来在自然数集中规定的加法和乘法运算法则和运算律在整数集中仍然成立；从整数集到有理数集以及从有理数集到实数集的扩充中，加法和乘法满足的 “性质”，教师特别强调从有理数集扩充到实数集满足的“性质”，总结这些性质的一致性，得出数系的扩充“规则”：数系扩充过程后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.
问题3：方程在实数系中无解，类比从自然数系扩充到实数系的过程，特别是从有理数系扩充到实数系的过程，你能设想一种方法，使这个过程有解吗？
可以添加一个新数，对实数系进行扩充，并且添加新数后的新的数集中的加法和乘法运算，与实数集中的加法和乘法运算协调一致，并且运算律保持不变.引入一个什么样的数呢？
我们引入新数i，规定
问题4：把新引进的数i添加到实数集中后，我们希望按照前面总结的数系扩充的“规则”，对实数系进行进一步扩充.那么，实数系扩充后，得到的新数系由哪些数组成？
教师引导，可以类比有理数系扩充到实数系的过程与方法，以及实数系中新数的形式，如等，学生思考回答，类似于3i，1+i，3-i，2+3i等具体的数.教师引导学生归纳：新数集中的数是由原来的实数和新引入的虚数i经过适当“组合”而成的，构成方法就是将实数和i进行运算，组成新数，这里主要进行实数和虚数i之间的加法和乘法运算.
实数可以与进行加法和乘法运算：
实数与相加记为：
实数与相乘记为：
实数与实数和相乘的结果相加记为：
复数的有关概念：
（1）我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，全体复数所构成的集合叫做复数集，用大写字母表示。
（2）复数的代数形式：
复数通常用小写字母表示，即,这一表示形式叫做复数的代数形式，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部。
设计意图：梳理数系扩充和方法的 “一致性”，总结数系扩充的一般“规则”，为后续数系的进一步扩充提供方法，进而突破本节课的难点.
设计意图：认清实部与虚部。
2、复数集与实数集的关系
对于复数
当且仅当时，复数表示__实数__
当时，复数叫做__虚数__
当且时，复数叫做__纯虚数__
你能用图示法将复数集、实数集、虚数集和纯虚数集的关系形象的表示出来吗？
复数集
虚数集
实数集
纯虚数集
设计意图：巩固复数的分类标准
3、复数相等的充要条件
实数能相等，那么复数能相等吗？
分析：实数相等就是实部与实部相等，虚部与虚部相等.
设计意图：化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问
题来求解,并为复数的几何意义的理解打好基础.
（三）总结
知识方面：本节课我们了解了数系的扩充“规则”，即扩充后的数系中规定的加法运算、乘法运算与原数系中的加法运算和乘法运算协调一致；复数的基本概念（复数、实部、虚部、虚数、纯虚数等）、两个复数相等的含义、复数的分类等；
思想方法方面：实数系扩充到复数系运用了类比的研究方法，解决复数相等问题运用了转化的数学思想等；
经验：研究新的数学问题可以类比已学过的问题.
设计意图：通过对数系扩充规则、扩充过程以及复数相关概念等知识和方法的总结，使学生对本节课的学习有一个全面、系统的认识，一方面深化对复数知识的理解，另一方面总结研究方法，积累研究数学问题的经验.
（四）作业