高中北师大版 (2019)4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较一课一练

4.4指数函数 幂函数 对数函数增长的比较北师大版（ 2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数正常情况，且教职工平均月评价分数在分左右，若有突出贡献可以高于分计算当月绩效工资元．要求绩效工资不低于元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少．则下列函数最符合要求的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下所需的训练迭代轮数至少为参考数据：，(    )

A.  B.  C.  D.

3. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司年全年投入研发资金万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是(    )

参考数据：，，

A.  B.  C.  D.

4. 为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，全国各地对生态环境的保护意识持续增强某化工企业在生产中产生的废气需要通过过滤使废气中的污染物含量减少到不高于最初的才达到排放标准已知在过滤过程中，废气中污染物含量单位：与时间单位：的关系式为为正常数，表示污染物的初始含量，实验发现废气经过的过滤，其中的污染物被消除了，则该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为结果四舍五入保留整数，参考数据：，(    )

A.  B.  C.  D.

5. 一种药在病人血液中的量保持以上才有效，现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过          小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效(    )

附：，，答案采取四舍五入精确到

A.  B.  C.  D.

6. 为了给地球减负，提高资源利用率，年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市年全年用于垃圾分类的资金为万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元的年份是参考数据：，(    )

A. 年 B. 年 C. 年 D. 年

7. 某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过，若初时含杂质，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为已知，   (    )

A.  B.  C.  D.

8. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数解析式分别为，，，，有以下结论：

当时，甲走在最前面；当时，乙走在最前面；当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面．其中正确的为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发，向同一方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，则以下结论正确的是(    )

A. 当时，甲走在最前面
B. 当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面
C. 丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D. 如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲

11. 多选如图，某湖泊蓝藻的面积单位：与时间单位：月的关系满足，则下列说法正确的是(    )

A. 蓝藻面积每个月的增长率为
B. 蓝藻每个月增加的面积都相等
C. 第个月时，蓝藻面积就会超过
D. 若蓝藻面积蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则一定有
 

12. 某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量微克与时间小时之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗该病有效，则(    )

A.
B. 注射一次治疗该病的有效时间长度为小时
C. 注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为微克
D. 注射一次治疗该病的有效时间长度为时

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 甲、乙、丙三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，有以下结论：

当时，乙总走在最前面；

当时，丙走在最前面；当时，丙走在最后面；

如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．

其中所有正确结论的序号是___________．

14. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：

当时，甲在最前面

当时，乙在最前面

当时，丁在最前面，当时，丁在最后面

丙不可能在最前面，也不可能在最后面

如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲．

其中结论正确的为          填序号．

15. 已知地震的震级与地震释放的能量的关系为若地地震级别为级，地地震级别为级，则地地震释放的能量是地地震释放的能量的          倍
16. 某地野生微甘菊的面积与时间的函数关系的图象，如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：
    
    此指数函数的底数为
    在第个月时，野生微甘菊的面积就会超过

设野生微甘菊蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有

野生微甘菊在第到第个月之间蔓延的平均速度等于在第到第个月之间蔓延的平均速度其中正确的说法有___________填序号．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

某公司年上半年五个月的收入情况如下表所示：

根据上述数据，在建立该公司年月收入万元与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择．

你认为哪个函数模型较好？并说明理由．

试用你认为较好的函数模型，分析大约从几月份开始，该公司的月收入会超过万元？参考数据：，

18. 本小题分
    假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
    方案：每天回报元．
    方案：第一天回报元，以后每天比前一天多回报元．

方案：第一天回报元，以后每天比前一天翻一番．

设第天回报元，就以上三种方案列出关于的函数解析式．

当每天回报最高的方案是方案时，求的取值范围；当每天回报最高的方案是方案时，求的取值范围；当每天回报最高的方案是方案时，求的取值范围．

19. 本小题分
    某企业常年生产一种出口产品，技术革新后，该产品的产量平稳增长记年为第年，且前年中，第年与年产量万件之间的关系如下表所示：

若近似符合以下三种函数模型之一：

，，．

找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式所求或的值保留位小数

试根据所建立的函数模型，预测年的年产量．

20. 本小题分

小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：

小明选择了模型，他的同学却认为模型更合适．

你认为谁选择的模型较好并简单说明理由

试用你认为较好的数学模型来分析大约在几月份小学生的平均零花钱会超过元参考数据，

21. 本小题分
    函数，的图象如图所示．
     

请指出曲线，分别对应的函数

比较两函数增长速度的差异以两图象交点为分界点，对，的大小进行比较．

22. 本小题分

某企业投资万元用于一个高科技项目，每年可获利，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润增长率问至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番倍的目标取

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了几种类型的初等函数模型的应用问题，属于中档题．
根据题意，拟定函数应满足是单调增函数，且先慢后快；在左右增长缓慢，最小值为，根据要求判定选项中的函数是否满足即可．

【解答】

解：由题意知：函数应满足单调递增，且先慢后快，在左右增长缓慢，最小值为，
是先减后增，由指数函数知是增长越来越快，由对数函数知增长速度越来越慢，
是由经过平移和伸缩变换而得，故最符合题目要求．
故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数模型的应用，考查对数不等式，考查对数运算，属于中档题．
根据已知条件列方程、不等式，化简求得正确答案．

【解答】

解：由于，所以，

依题意，则，

由得，

，

，，

，

所以所需的训练迭代轮数至少为轮
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查指数对数的综合应用，属基础题，设经过年后该公司全年投入的研发资金开始超过万元，根据指数模型得出关于的不等式，利用对数函数的性质和对数的运算公式求得的取值范围的近似估计，得到，从而的最小值为，进而得解．
【解答】
解：设经过年后该公司全年投入的研发资金开始超过万元，
则，
即，
即的最小值为，
所以该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是年．
故选B．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查指数型函数模型的实际运用，由题意知，污染物的初始含量为，由小时消除了的污染物建立关系式求解参数，将参数代入解析式中计算污染物减少到不高于最初的大约需要的时间即可，属于中档题题．
【解答】
解：根据题意小时消除了的污染物，则
故，
则
需要达标则污染物含量减少到不高于最初的，
所以，则
所以  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

略

【解答】

解：设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．

则，即．，

所以，即，

．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了指数不等式的求解、函数模型的应用等知识点，考查应用能力．
由题意，可列出经过年之后投入的资金，求解不等式即可得到答案．
【解答】
解：设经过年之后该市全年用于垃圾分类的资金为，
由题意可得：，
即，
，
，
，，
即从年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过亿元，
故选C．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数、对数函数模型 ，考查学生的阅读能力，考查学生的建模能力，属于中档题．
根据题意，设至少需要过滤次，则，进而可得结论．

【解答】

解：设至少需要过滤次，则，
即，
所以，
即，
又，所以，
所以至少过滤次才能使产品达到市场要求．
故选C．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题指数函数模型的应用，属于中档题．
由题意可得污染物的含量与过滤次数满足则只需解不等式即可．

【解答】

解：过滤一次污染物的含量都会减少，则为；
过滤两次污染物的含量都会减少，则为；
过滤三次污染物的含量都会减少，则为；
过滤次污染物的含量都会减少，则为；
要求废气中该污染物的含量不能超过，则，可得
，故排放前需要过滤的次数至少为次．
故选C．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查指数、对数、幂函数模型以及对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，属于中档题．
观察题目即可发现：、、、所对应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数函数模型，结合这些函数模型特点，当时，取特殊值即可发现开始的时候乙在甲前面，但因为指数型的增长速度大于幂函数的增长速度，甲总会超过乙的，据此可判断的正误；结合四种函数模型图象的变化特点分别分析、、时的情况，即可判断的正误．
【解答】
解：由题路程关于时间的函数关系式分别为：，，，，它们相应的函数模型分别是指数函数、幂函数、一次函数和对数函数模型．
当时，，，，所以时，乙在甲的前面，故该结论不正确；
当时，，，，所以时，甲在乙的前面，故该结论不正确；
当时，，的图象在图象的下面，的图象在图象的上方，故此时丁走在最前面；当时，的图象在最下方，故丁走在最后面所以说法正确；
当时，丙在甲乙前面，在丁后面；当时，丙在丁前面，在甲乙后面；当时，甲、乙、丙、丁四个物体并驾齐驱所以说法正确；
即说法正确；
故选CD．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查指数、对数、幂函数模型以及对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异．
观察题目即可发现：、、、所对应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数函数模型，结合这些函数模型特点，即可判断正误．
【解答】
解： 甲、乙、丙、丁的路程关于时间的函数关系式分别为
，，，，
它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当时，，，所以不正确
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，
又当时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，
从而可知，当时，丁走在最前面，当时，丁在最后面，所以 B正确
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，
最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确；
结合对数型和指数型函数的图象变换情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，故C正确．
  

11.【答案】 

【解析】

【分析】

略

【解答】

【解析】由题图可知，函数的图象经过点，即，则， ，不是常数由可知蓝藻每个月的面积是上个月面积的倍，则每个月的增长率为，A正确，B错误当时，， C正确若蓝藻面积蔓延到，， 所经过的时间分别是，，，则，，，，则，D正确故选ACD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是函数模型的应用．
结合所给函数图象对各个选项依次判断即可．

【解答】

解：把点的坐标代入，得，解得，A正确
易知当时，，，C错误
由于
令，得或
解得，，
所以注射一次该药物治疗该病的有效时间长度为小时，B错误D正确．
故选AD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数模型及几个常见初等函数的图象应用，属于中档题．
画出，，的图象，并且几个函数相交于点，根据图象的变化趋势容易判断出答案．
【解答】
解：甲、乙、丙的路程关于时间的函数解析式分别为，，．
它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、幂函数模型．
当时，，，所以不正确．
当时，丙走在最前面，当时，丙走在最后面，所以正确．
根据三种函数的变化特点，如图所示，幂型函数的增长速度是先快后慢，
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以正确．

故答案为．  

14.【答案】 

【解析】 在同一平面直角坐标系中作出这四个函数的图象图略，易得

错误，因为，，所以，所以当时，乙在甲的前面．

错误，因为，，所以，所以当时，甲在乙的前面．

正确，当， ， 的图象在图象的下方，的图象在图象的上方，即丁在最前面当时， 的图象在最下方，即丁在最后面．

正确，当时，丙在甲、乙前面，在丁后面当时，丙在丁前面，在甲、乙后面当时，甲、乙、丙、丁四个物体并驾齐驱

正确，当充分大时，指数函数的增长速度越来越快，的图象必定在、、图象的上方，所以最终在最前面的是甲．

综上，结论正确的为

15.【答案】 

【解析】解析：设地和地地震释放的能量分别为，，则，，所以，，从而，即，所以，即地地震释放的能量是地地震释放的能量的倍
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

略

【解答】

解析因为其关系为指数函数，图象过，，可得，所以指数函数的底数为，故正确当时，，故正确因为，，，所以有，故正确根据图象的变化快慢不同知不正确，综上可知正确．

17.【答案】 解：画出散点图，如图：

由图可知点 基本上是落在函数的图像的附近，
因此用函数这一模型较好．
当时， ，
，即，
，
故大约从第月份开始，该公司的月收入会超过万元． 

【解析】本题考查函数模型的甄别，考查学生对离散点中蕴含的函数关系的抽象能力，考查学生对基本初等函数图象的认识和理解，已知函数值求自变量时候用到指数式和对数式的相互转化，属于中档题．
 确定自变量与函数值之间的关系，将这些点描到坐标系中，发现这些点更与哪一个函数吻合是解决本题的关键．
选择出好的模型之后利用方程思想求出相应的自变量，注意指数式与对数式的互相转化．
 

18.【答案】解：依题意，方案：，
方案：，
方案：
由知：，为常函数，
，为单调递增函数，
并且开始对应的常函数值较大，中期对应的一次函数的函数值较大，后期对应的指数型函数值较大，
令得：，
所以第至第天，方案最多，
第天，方案，方案一样多；
令得：，解得，
所以第，第天，方案最多，
第天开始，方案最多．
故：当时，每天回报最高的方案是方案，
当时，方案，方案一样多，
当时，每天回报最高的方案是方案，
当时，每天回报最高的方案是方案． 

【解析】本题考查函数模型应用，属于中档题．
根据条件即可求得三种方案中关于的函数解析式；
分析由得到的三种方案对应的函数的性质，可以得到结论．
 

19.【答案】解符合条件的是，

若模型为，

则由，得，即，

此时，，，

与已知相差太大，不符合．

若模型为，则是减函数，与已知不符合．

由已知得解得

所以，

年预计年产量为万件

【解析】略
 

20.【答案】解：根据表格提供的数据，画出散点图，并结合及的图象如图所示，

观察可知，这些点基本都落在的图象上或附近，因此用这一模型更符合．

当时，．

则所以．

【解析】本题主要考查了幂函数，指数型函数模型的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题中函数图象特征及变化趋势，知曲线对应的函数为，曲线对应的函数为

当时，
当 时，
当  ， 时，．
呈直线增长，其增长速度不变，随着的增大而逐渐增大，其增长速度越来越慢．

【解析】略
 

22.【答案】解设该项目年后资金数为，则由已知得，即令，即 ，由，得．故数列是以为首项，为公比的等比数列 ， ， ， ，由题意知， ，即两边取常用对数得，即 ， 不等式化为， 故至少要经过年，该项目资金才可达到或超过翻两番的目标． 

【解析】略