高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较精练

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较  信息技术支持的函数研究

1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　)

A．y＝10 000x  B．y＝log2x

C．y＝x1000    D．y＝x

2．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

关于x呈指数函数变化的变量是________.

3.下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的叙述正确的是(　　)

A．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变慢

B．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变快

C．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变慢

D．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变快

4．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是(　　)

A．2x>x2>log2x  B．x2>2x>log2x

C．2x>log2x>x2  D．x2>log2x>2x

5．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象关于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.

(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．

(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．

6.某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？

1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人对应的函数关系是(　　)

A．f1(x)＝x2    B．f2(x)＝4x

C．f3(x)＝log3x  D．f4(x)＝2x

2．以下四种说法中，正确的是(　　)

A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快

B．对任意的x>0，xa>logax

C．对任意的x>0，ax>logax

D．一定存在x0，当x>x0，a>1，n>0时，总有ax>xn>logax

3．已知－1<α<0，则(　　)

A．0.2α>α>2α

B．2α>0.2α>α

C.α>0.2α>2α

D．2α>α>0.2α

4．有一组实验数据如下表所示：

下列所给函数模型较适合的是(　　)

A．y＝logax(a>1)   B．y＝ax＋b(a>1)

C．y＝ax2＋b(a>0)  D．y＝logax＋b(a>1)

5．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2019年的湖水量为m，从2019年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为(　　)

A．y＝0.9    B．y＝(1－0.1)m

C．y＝0.9m  D．y＝(1－0.150x)m

6．(探究题)某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份(　　)

A．甲食堂的营业额较高

B．乙食堂的营业额较高

C．甲、乙两食堂的营业额相同

D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高

7．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．

8．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝ekt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________，经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．

9．(易错题)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．

以下四种说法：

①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．

其中说法正确的的序号是________．

10．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图．

(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；

(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．

1．(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则以下结论正确的是(　　)

A．当x>1时，甲走在最前面

B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面

C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面

D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲

2．若已知16<x<20，利用图象可判出x和log2x的大小关系为________．

3．(情境命题—生活情境)2020年，新型冠状病毒的传播给我国人民生产生活带来很大的影响．经过监测，某地区第1周、第2周、第3周患这种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各周的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为周数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果第4周、第5周、第6周的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

§5　信息技术支持的函数研究

必备知识基础练

1．解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝x增长速度最快．故选D.

答案：D

2．解析：以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的，从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．

答案：y2

3．解析：由函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的图象(图略)知函数f(x)，g(x)，h(x)的衰减速度均逐渐变慢，故选C.

答案：C

4．解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)，由图象，可知在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象．所以当2<x<4时，x2>2x>log2x.

答案：B

5．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.

(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，

所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2.

由图可知g(6)>f(6)．

6．解析：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如下图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．

关键能力综合练

1．解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)的图象(图略)，可知当x>4时，f4(x)>f1(x)>f2(x)>f3(x)，故选D.

答案：D

2．解析：对于A，幂函数的增长速度受指数影响，指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B，C中xa，logax，ax的大小都受a的影响，选D.

答案：D

3．解析：∵>0.2，－1<α<0，∴2α<α<0.2α.故选A.

答案：A

4．解析：通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.

答案：C

5．解析：设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9.

∴x年后的湖水量为y＝0.9m.

答案：C

6．解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝.因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．

答案：A

7．解析：当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长得要快．

答案：y＝x2

8．解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e，解得k＝2ln 2，y(5)＝e(2ln 2)·5＝e10ln 2＝210＝1024(个)．

答案：2ln 2　1024

9．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)．反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停止生产，所以②③正确．

答案：②③

10．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，

C2对应的函数为f(x)＝lg x.

(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；

当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；

当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．

学科素养升级练

1．解析：路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为：

f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．

它们相应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数型函数模型．

当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝8，∴选项A不正确；

根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x＝1时甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，∴选项B正确；

结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴选项C正确；

指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体．∴选项D正确．故选B、C、D.

答案：BCD

2．解析：作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的图象，如图所示：

由图象可知，在(0,4)内，x>log2x；

x＝4或x＝16时，x＝log2x；

在(4,16)内x<log2x；在(16,20)内x>log2x.

答案：x>log2x

3．解析：依题意，得即

解得

所以甲：y1＝x2－x＋52，

又

②—①，得p·q2－p·q1＝2，　④

③—②，得p·q3－p·q2＝4，　⑤

⑤÷④，得q＝2.

将q＝2代入④式，得p＝1.

将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，

所以乙：y2＝2x＋50.

计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；

当x＝5时，y1＝72，y2＝82；

当x＝6时，y1＝82，y2＝114.

可见，乙选择的模型较好．