4.2对数的运算 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）

4.2对数的运算北师大版（  2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知，，，则(    )

A.  B.   C.  D.

2. 天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯，又名依巴谷在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗．到了年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则的近似值为当较小时，(    )

A.  B.  C.  D.

3. 区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域在区块链技术中，若密码的长度设定为比特，则密码一共有种可能因此，为了破解密码，最坏的情况是需要进行次运算现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏的情况下这台机器破译密码所需的时间大约为参考数据：，(    )

A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒

4. 已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司年全年投入研发资金万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是参考数据：(    )

A. 年 B. 年 C. 年 D. 年

6. 已知，则用，表示为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比当信噪比比较大时，公式中真数中的可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则大约增加了(    )
   附：．

A.  B.  C.  D.

8. 有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在年约为万吨，年的年增长率为有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾将以此增长率持续增长请预测，从________年开始，快递业产生的包装垃圾将超过万吨参考数据：，

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 若，，则下列选项正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知是定义域为的奇函数，且为偶函数，若当时，，下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 若，，则下列表达正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知，则(    )

A. 的最大值为 B. 的最小值为
C.  D. 的最小值为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若，则的值为          ．
14. 已知，则实数的取值范围是           ．
15. 求值：          ．
16. 科学记数法是一种记数的方法．把一个数表示成与的次幂相乘的形式，其中，当时，若一个正整数的次方是位数，则________参考数据：，

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知，且，求，，．
18. 已知，，均为正数，，且．

求实数的值

求证：．

19. 已知，且．
    若，求的值；
    求的最小值．
20. 计算下列各式的值：

．

21. 甲、乙两人解关于的方程：甲写错了系数，得到根为，，乙写错了常数，得到根为，求方程的真正根．
22. 已知，，试用，表示．

设，求的值．

已知，且，求，，．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对数的运算，属中档题．
根据对数的运算定义求得，根据对数运算公式化简即可．

【解答】

解：由，，得，
所以，，，
 ，
故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了对数与对数运算，属于中档题．
利用题目所给条件和公式得和，再利用对数运算，最后再利用题目所给参考公式，计算得结论．

【解答】

解：因为“心宿二”的星等是，亮度为，
“天津四”的星等是，亮度为，且，
所以，
即，解得，
根据参考公式可得，
因此与最接近的是．
故选B．

3.【答案】 

【解析】设这台机器破译密码所需的时间大约为秒，则，两边同时取底数为的对数得，所以，所以 ，所以，所以 ，而，所以， 故选B．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的是对数的运算，是基础题．
由换底公式得到，而，故的值可求．

【解答】

解：因为，

得，
而，
故，
则．
故选D．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数模型的应用，属中档题．
设年后，该公司全年投入的研发资金开始超过万元，由题意列式得，解得，又，，即可得到答案．

【解答】

解：设年后，该公司全年投入的研发资金开始超过万元．
由题意，知，

得，

，

即，．
又，，故该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是年．
故选B．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对数的运算法则，属于中档题．
利用幂的对数的运算法则由，求出；将写出；利用积的对数的运算法则将用，表示．

【解答】

解：，
，




，
故选C．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的是对数的运算，掌握对数的运算法则和运算性质是解题的关键，属于中档题．
根据题意，得出当时，，当时，，计算出即可．

【解答】

解：当时，，
当时，，
因为
，
所以将信噪比从提升至，则大约增加了．
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了指数函数和对数运算，是中档题．
由题意可知快递行业产生的包装垃圾与从年开始增加的年份的数量之间具有指数函数关系，由此列不等式，求出即可．

【解答】

解：设快递行业产生的包装垃圾为万吨，表示从年开始增加的年份的数量，
由题意可得，
令，
，
两边取对数可得，
因为是正整数，
解得，
从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过万吨，
故选D．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查指数和对数的互化以及对数的运算，考查推理论证能力，属于中档题．
由题设知，，根据对数函数的性质以及对数的运算即可得结论．

【解答】

解：由题设知，，
因为即，
，即，
所以，，

所以，，即A错误，B正确．

，C正确，
，D正确．
故选BCD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查周期函数、奇偶函数图象特征的应用、对数型函数的函数值、函数的对称性，属于中档题．
先根据题意求出函数的周期，再结合函数的奇偶性逐项判断，即可得出答案．

【解答】

解：因为函数为奇函数，所以，
因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，
所以，
所以，所以是周期为的周期函数，
，所以，即，故A错误；
，故B正确；
，而，所以，故C错误；
，故D正确．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了指数函数及其性质，对数与对数运算，对数函数及其性质和幂函数，属于中档题．
利用对数函数的性质得，，再利用对数运算得A正确，再利用对数函数的单调性得B正确，再利用幂函数的单调性得不正确，再利用指数函数的单调性得不正确，从而得结论．
【解答】
解：因为，，所以，，
因此
，
所以，即A正确；
又因为，所以函数是减函数，
而，因此，即B正确；
因为，所以在上，函数是增函数，
而，因此，即不正确；
因为，所以函数是减函数，
而，因此，即不正确．
故选AB．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
利用基本不等式对每项进行分析即可得答案．
【解答】
解：，则，当且仅当时，取等，故A错误；
，当且仅当时，取等，故B正确；
，故C正确；
，则当时，有最小值为，故D错误；
故选BC．  

13.【答案】 

【解析】解：方法一由已知可得，

即，，

，舍负．

方法二由已知得 ，

即，．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了对数的运算性质，以及基本不等式的应用，属于中档题．
由对数运算可知，利用对数的真数大于零，得到，再利用基本不等式即可求出的取值范围．

【解答】

解：，，
，，
，
由题意，即，
所以，故，
所以，当且仅当，即时等号成立，
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了对数的运算，以及根式和幂指数的运算．
根据对数的运算，以及根式和幂指数的运算求解即可．

【解答】

解：原式

．
故答案为：  ．

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查对数运算的应用，属于中档题．
根据题意可得，即可得出．

【解答】
解：由题意可设，
因为正整数的次方是位数，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
则，
又，，，
所以．
故答案为．  

17.【答案】解：令，并且，
，，，
，
代入得

，，， 

【解析】本题考查了指对互化公式以及化归思想在此类问题中的应用，关键在于化成同底数，代入条件才可以解方程．
不防令，然后统一将，，化成以为底的对数，代入可求出的值，则问题可解．
 

18.【答案】设，且，则，，

由，得．

，

证明：由知，

又，

．

【解析】略
 

19.【答案】解：由，，

得，

即， 

所以，

解得或，

又，所以，

即或，满足题意．

因为，所以，，，

所以，

因此，即，

解得或，

因为，所以，

因此，

当且仅当时取等号，

所以的最小值为．

【解析】本题主要考查对数的运算和对数函数的性质，考查对数不等式以及基本不等式，属于中档题．
将代入题设条件，由对数的运算性质可得方程，解之即可；
由题设结合基本不等式得，即，由题设的条件解得，从而可得最小值．
 

20.【答案】解原式  ．

原式 ．

原式 ．

【解析】略
 

21.【答案】解：原方程为，

甲写错了，得到根为，，

．

又乙写错了，得到根为，，

，

原方程为，

即，

或，

或．

【解析】本题主要考查了对数的运算，以及对数方程，属于中档题．
 

22.【答案】解由，得又，则    ．

解方法一由，得，，由换底公式得，，．

方法二由，两边取以为底的对数，得， ，， ．

解令， ，，， ，， ，由，得， ， ，，

【解析】略