指数函数、幂函数、对数函数增长的比较PPT课件免费下载
展开§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5 信息技术支持的函数研究(略)
一、【素养目标】
1．能从教材实例中归纳出指数函数与一元一次函数、对数函数与一元一次函数增长的差异．(逻辑推理)2．能从教材实例中理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．(数学抽象)
二、【课程的主要内容】
函数模型是解决实际问题的重要数学模型，应用函数模型解决实际问题的重要特征是将实际问题中的变量关系用函数表示出来，然后对函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．
三种函数的性质及增长速度比较
思考：存在一个x0，当x＞x0时，为什么ax＞xn＞lgax(a＞1，n＞0)一定成立？提示：当a＞1，n＞0时，由y＝ax，y＝xn，y＝lgax的增长速度，存在x0，当x＞x0时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数，故一定有ax＞xn＞lgax.
2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( )A．y＝5xB．y＝lg5xC．y＝x5D．y＝5x[解析] 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝5x的增长速度最快．
3．函数y1＝2x与y2＝x2，当x＞0时，图象的交点个数是( )A．0B．1C．2D．3[解析] 当x＝2或x＝4时，y1＝y2，当x＞4时，y1＞y2，故交点个数是2.
三、【例题剖析】
4．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
[解析] 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A．因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D．后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B．
5．函数y＝x2与函数y＝ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的是__________．[解析] 作出y＝x2与y＝ln x的图象，通过比较图象可得．
四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
关于x呈指数函数变化的变量是______．
[分析] 从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．[解析] 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
[归纳提升] 三种函数模型的增长规律：(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝lgax增长越快，一般来说，ax＞lgax(x＞0，a＞1)．(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.
四、【课堂练习】
❶ 下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表：
试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长速度快慢有什么不同？[解析] (1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．(2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)＝lg2x，而且增长的幅度越来越小．
已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，在同一坐标系下作出了它们的图象，结合图象比较f(8)，g(8)，f(2 020)，g(2 020)的大小．[分析] 已知条件：指数函数解析式f(x)＝2x和幂函数解析式g(x)＝x3.条件分析：由函数解析式列表、描点、连线，可得函数图象，由两函数图象的交点，分析函数值的大小情况．
描点、连线，得如图所示图象：
则函数f(x)＝2x对应的图象为C2，函数g(x)＝x3对应的图象为C1.
∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，∴f(1)＞g(1)，f(2)＞g(2)，f(9)＞g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＞x1＞2，9＞x2＞10，∴x1＞8＞x2＞2 020.从图象上知，当x1＞x＞x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，f(x)＞g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2 020)＞g(2 020)＞g(8)＞f(8)．
[归纳提升] 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当0＞x＞x1时，g(x)＞f(x)；当x1＞x＞x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)．
为净化湖水的水质，市环保局于2019年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快，2020年经两次实地测量得到表中的数据
现有两个函数模型y＝ kax (k＞0，a＞1)与y＝mx2＋n(m＞0)可供选择．
(1)分别求出两个函数模型的解析式；(2)若市环保局在2019年年底投放了11 m2的水生植物，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由；(3)经过长期实地测量，刚开始植物覆盖面积增长的速度越来越快，基本符合(2)中所选函数模型的增长特点．但是当植物覆盖到一定面积后，其面积的增长速度又变得很慢，最后稳定在一个值左右．试用所学的知识解释这些现象的成因．你从中得到了什么启示？
(3)刚开始植物覆盖的面积符合所选函数模型的增长特点，因为指数函数模型的增长速度越来越快，因此植物覆盖的面积增长也越来越快．当植物覆盖到一定程度后，由于湖水中营养物质、氧气含量等因素限制了植物的生长，因此覆盖面积的增长变慢，直至稳定在一定范围之内．从中可以得到以下启示：数学模型只能从数学角度解释实际问题，而实际问题中的影响因素往往比较多，因此数学模型要与其他学科的知识相结合，才能更准确地解释实际问题. (答案不唯一)
[归纳提升] 1.关于曲线的选择首先关注图形形状对变量增长速度的影响，其次明确当速度变大时，曲线变陡，速度变小时，曲线变缓．2．关于函数模型的选择选取函数模型主要依据函数的增长速度，因此要熟悉各个函数模型的增长特点，再利用相关的数据辅助验证．
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