高中数学第四章 对数运算和对数函数4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较当堂达标检测题

这是一份高中数学第四章 对数运算和对数函数4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较当堂达标检测题，共7页。试卷主要包含了76<60等内容，欢迎下载使用。

§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较


*§5 信息技术支持的函数研究（略）


知识点1 三种函数的不同增长


1.☉%#1￥@￥158%☉(2020·北京顺义区模拟)当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( )。


A.y=100xB.y=lg100x


C.y=x100D.y=100x


答案：D


解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快。故选D。


2.☉%2*5@@*63%☉(2020·延安中学模拟)下面对函数f(x)=lg13x与g(x)=13x在区间(0,+∞)上的衰减情况的说法中正确的是( )。


A.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快


B.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越慢


C.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越慢


D.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越快


答案：C


解析：结合指数函数y=13x和对数函数y=lg13x的图像易得C正确。故选C。


3.☉%84*@@4#4%☉(2020·泉州七中月考)四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=lg2x,f4(x)=2x,如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是( )。


A.f1(x)=x2B.f2(x)=2x


C.f3(x)=lg2xD.f4(x)=2x


答案：D


解析：由函数性质,可得选项D正确。故选D。


知识点2 三种函数图像性质的应用


4.☉%#920@*￥7%☉(2020·临川一中月考)三个数60.7,0.76,lg0.76的大小关系为( )。




<60.7<0.76<0.76<60.7


答案：D


解析：在同一坐标系中画出函数y=x0.7,y=0.7x,y=lg0.7x的图像,观察x=6时的y值,或由60.7>1,0<0.76<1,lg0.76<0来判断。故选D。


5.☉%533#￥0**%☉(2020·厦门统考)已知f(x)=ax,g(x)=lgax,其中a>0,a≠1,若f(1)g(2)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图像可能是( )。





图4-4-1


答案：C


解析：因为f(1)g(2)=alga2<0(a>0,a≠1),


所以lga2<0,所以0

6.☉%@3#887*#%☉(2020·襄城高一检测)设x∈(0,1)时,y=xp(p∈R)的图像在直线y=x的上方,则p的取值范围是( )。


A.p≥0B.0

C.p<1D.p>1


答案：C


解析：画图可知,C正确。


7.☉%8￥7￥1￥6￥%☉(2020·深圳中学月考)已知f(x)=x2-bx+c且f(0)=3,f(1+x)=f(1-x),则有( )。


A.f(bx)≥f(cx)B.f(bx)≤f(cx)


C.f(bx)

答案：B


解析：由f(1+x)=f(1-x),知b2=1,b=2。


由f(0)=3,知c=3。此时f(x)=x2-2x+3。


当x<0时,3x<2x<1,函数y=f(x)在x∈(-∞,1)上是减函数,所以f(bx)

当x=0时,f(bx)=f(cx);


当x>0时,3x>2x>1,函数y=f(x)在x∈(1,+∞)上是增函数,所以f(bx)

综上,f(bx)≤f(cx)。故选B。


8.☉%@*￥065￥7%☉(2020·长沙一中检测)当2

A.2x>x2>lg2xB.x2>2x>lg2x


C.2x>lg2x>x2D.x2>lg2x>2x


答案：B


解析：方法一:在同一坐标系中画出函数y=lg2x,y=x2,y=2x的图像,在区间(2,4)内从上往下依次是y=x2,y=2x,y=lg2x的图像。所以x2>2x>lg2x。故选B。


方法二:取x=3,经检验知B正确。故选B。


9.☉%6*￥3*0*5%☉(2020·吉安一中检测)函数f(x)=2x与函数g(x)=x2的图像交点的个数是 。


答案：3


解析：函数f(x)=2x与g(x)=x2的图像如图所示,显然函数f(x)=2x与g(x)=x2的图像在(-∞,0)上有一个交点,又f(2)=g(2)且指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度,所以在(0,+∞)上它们有2个交点。综上,两函数图像交点的个数为3。





10.☉%6##5￥#16%☉(2020·南阳一中月考)函数y=x2与函数y=xln x在区间(0,+∞)上增长较快的一个是 。


答案：y=x2


解析：当x变大时,x比ln x增长要快,所以x2要比xln x增长得快。


11.☉%6*￥214*￥%☉(2020·石门一中月考)已知函数f(x)=2x和g(x)=x3,设两个函数的图像相交于点A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1

答案：解:依题意知,x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值。


当xx3,即f(x)>g(x);


当x1

当x>x2时,f(x)>g(x)。


因为f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,


所以x1∈[1,2],即a=1;


又因为f(8)=28=256,g(8)=83=512,


f(8)

f(10)=210=1 024,g(10)=103=1 000,f(10)>g(10)。


所以x2∈[9,10],即b=9。


题型 三种函数的实际应用


12.☉%751##￥0@%☉(2020·珠海一中月考)有一组实验数据如下表:


现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律,其中最接近的是( )。


A.v=lg2tB.v=lg12t


C.v=t2-12D.v=2t-2


答案：C


解析：当t分别取2,3,4,5,6时,C选项中得到的函数值最接近实验数据,故选C。


13.☉%6#**@641%☉(2020·保定期末)据报道,某淡水湖的湖水在50年内减少了10%,若年平均减少率相等,按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )。


A.y=0.9x50B.y=(1-0.1x50)m


C.y=0.9x50mD.y=(1-0.150x)m


答案：C


解析：设每年湖水量为上一年的q%,则(q%)50=0.9,所以q%=0.9150,所以x年后的湖水量y=0.9x50m。故选C。


14.☉%3￥07@@#6%☉(2020·九江一中月考)商店某种货物进价下降了8%,但销售价没有变,于是这种货物的销售利润率销售价-进价进价×100%由原来的r%增加到(r+10)%,则r的值等于( )。


A.25B.20


C.15D.10


答案：C


解析：设原进货价为a,销售价为b,由题意得b-aa×100%=r%,b-a×92%a×92%×100%=(r+10)%⇒ba=100+r100,ba×10092=r+110100,


所以100+r100×10092=r+110100,解得r=15。故选C。


15.☉%6#4**7#1%☉(2020·丰城中学月考)某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alg2(x+1),设这种动物第一年有100只,若不考虑自然死亡,到第7年它们发展到 只。


答案：300


解析：由已知第一年有100只,得a=100,将a=100,x=7代入y=alg2(x+1),得x=300。


16.☉%￥#@504#5%☉(2020·广雅中学月考)近几年由于北京房价的上涨,引起了二手房市场交易的火爆,房子没有什么变化,但价格却上涨了。小张在2007年以150万元的价格购得一所新房子,假设这10年来价格年膨胀率不变,那么到2017年,这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是 。


答案：y=150(1+x)10


解析： 1年后,y=150(1+x);2年后,y=150(1+x)2;3年后,y=150(1+x)3,…,10年后,y=150(1+x)10。


17.☉%649*0#**%☉(2020·吉安一中检测)已知元素“碳-14”每经过5 730年,其质量就变成原来的一半。现有一文物,测得其中“碳-14”的残存量为原来的41%,此文物距现在约有 年。(注:精确到百位数,lg 2≈0.301 0,lg 4.1≈0.613)


答案：7 400


解析：设距现在有x年,则有12x5 730=41%,两边取对数,利用计算器可得x≈7 400。


18.☉%*@￥7@087%☉(2020·新余四中期中)某工厂今年1月份、2月份、3月份生产某种产品的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为了以后估计每个月份的产量,以这三个月的产品数据为依据,用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系,模拟函数可选用二次函数f(x)=px2+qx+r(其中p,q,r为常数,且p≠0)或指数型函数g(x)=a·bx+c(其中a,b,c为常数,且a≠0),已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问用上述哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由。


答案：解:用指数型函数g(x)=a·bx+c作为模拟函数较好,理由如下:因为f(x)=px2+qx+r,由已知f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3,得p+q+r=1,4p+2q+r=1.2,9p+3q+r=1.3,解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7。


所以f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7,故f(4)=1.3。又因为g(x)=a·bx+c,由已知g(1)=1,g(2)=1.2,g(3)=1.3,得a·b+c=1,a·b2+c=1.2,a·b3+c=1.3,解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4。所以g(x)=-0.8×0.5x+1.4,g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35。


根据4月份的实际产量为1.37万件,所以|1.3-1.37|>|1.35-1.37|,故选用g(x)=a·bx+c作为模拟函数较好。


19.☉%13*03@#@%☉(2020·丰城中学月考)我们知道,燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5lg2Q10,单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量。


(1)计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位?


答案：解:由题知,当燕子静止时,它的速度v=0,代入函数关系式可得0=5lg2Q10,解得Q=10。


即燕子静止时的耗氧量是10个单位。


(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?


答案：将耗氧量Q=80代入函数关系式,得


y=5lg28010=5lg28=15(m/s)。


即当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度为15 m/s。


20.☉%730￥#@3@%☉(2020·百色高中检测)如图4-4-2,桶1中的水按一定规律流入桶2中,已知开始时桶1中有a L水,桶2是空的,t min后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线y1=ae-nt(其中n是常数,e是自然对数的底数)。假设在5 min时,桶1和桶2中的水恰好相等。求:





图4-4-2


(1)桶2中的水y2(L)与时间t(min)的函数关系式;


答案：解:因为桶2中的水是从桶1中流出的水,而桶1开始时的水是a升,桶1中剩余的水满足y1=ae-nt,


所以桶2中的水与t的函数关系式是y2=a-ae-nt。


(2)在多少分钟时,桶1中的水是a8 L?


答案：因为t=5时,y1=y2,所以ae-5n=a-ae-5n,


解得2e-5n=1,n=15ln 2。所以y1=ae-ln25t。


当y1=a8时,有a8=ae-ln25t,解得t=15。


所以在15 min时,桶1中的水是a8L。t
2
3
4
5
6
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01