七年级上册第3章 实数综合与测试单元测试复习练习题

浙教版初中数学七年级上册第三单元《实数》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 的算术平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示，数轴上表示，的点为，，且，两点到点的距离相等，则点所表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，数轴上表示、的对应点分别为点，点若点是的中点，则点所表示的数为(    )
   
    

A.  B.  C.  D.

4. 在下列各数：、、、、、、、中无理数的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 有下列说法：是的平方根；是的算术平方根；的立方根是；的平方根是；没有算术平方根．其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6. 若，满足，则的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如果、分别是的整数部分和小数部分，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列说法中，正确的有(    )

只有正数才有平方根；一定有立方根；没有意义；；只有正数才有立方根．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9. 下列说法中，其中不正确的有(    )
   任何数都有算术平方根；一个数的算术平方根一定是正数；
   的算术平方根是；算术平方根不可能是负数．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 下列说法正确的有
    带根号的数都是无理数；
    立方根等于本身的数是和；
    一定没有平方根；
    实数与数轴上的点是一一对应的；
    两个无理数的差还是无理数．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

11. 如图，数轴上的点所表示的数为，则的平方根为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，数轴上表示，的对应点分别为、，点关于点的对称点为，则点表示的实数为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知是的整数部分，是的小数部分，则的平方根为________
14. 已知，则________．
15. 定义新运算“”：，则______
16. 已知甲数是的平方根，乙数是的立方根，则甲、乙两个数的积是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 数轴上从左到右依次排列的四个点，它们表示的实数分别为，，，．
    若，，，，请你画出数轴并表示这四个数；
    若，，，求的值；
    已知实数，，满足，，点是数轴上的一个动点点表示的数为变化的数，试求的最小值．
18. 如图，长方形的面积为，长和宽的比为：在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为的圆取，请通过计算说明理由．

19. 小明打算用一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一个面积为的长方形的桌面，使它的长和宽的比为：，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由．
20. 阅读下面的文字，解答问题：
    大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
    事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
    又例如：
    ，即，
    的整数部分为，小数部分为．
    请解答：的整数部分是______，小数部分是______．
    如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
    已知：，其中是整数，且，求的相反数．
21. 正数的两个平方根分别为和．
    求的值；
    求这个数的立方根．
22. 若，求的值．
23. 如图，一只蚂蚁从点出发沿着数轴向右爬行，已知点表示，点表示，设点所表示的数为点不与点、重合，蚂蚁在数轴上所在位置表示的数是，

  如果，试问为多少时，蚂蚁到点，的距离和为？

  如果点到，两点的距离相等，求的值？

  如果，试问为多少时，蚂蚁到点，，的距离和最小？最小值是多少？

24. 如图，在数轴上点表示的数是．

若把点向左平移个单位长度得到点，则点表示的数是什么？

点是数轴上与中点不同的点，点和点到原点的距离相等，则点表示的数是什么？

求出线段，，的长度之和．

25. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．

实数的值是_____．

求的值；
在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了算术平方根，熟记概念是解题的关键，要特别注意平方根和算术平方根的区别．
【解答】
解：的算术平方根是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了实数与数轴的对应关系．解题时，采用了“数形结合”的数学的思想，根据题意分别求得点在数轴上所表示的数，然后由来求点所表示的数．
【解答】

解：设点所表示的数是．
点、所表示的数分别是、，
；
又，两点到点的距离相等，
，
．
故选A．  

3.【答案】 

【解析】略
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 

【解答】

解：，，是无理数．
故选B．

5.【答案】 

【解析】解：，故是的平方根，正确；
，是的算术平方根，正确；
的立方根是，错误；
的平方根是，正确；
的算术平方根是，错误；
故选：．
根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
本题考查平方根与立方根，解题的关键是正确理解平方根与立方根，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
根据非负数的性质列式求出、，根据平方根的概念计算即可．
本题考查的是非负数的性质、平方根的概念，掌握非负数之和等于时，各项都等于是解题的关键．
【解答】
解：由题意得，，，
解得，，，
则，
的平方根的，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是估算无理数的大小，利用不等式的性质确定出的范围是解题的关键．先估算出的大小，然后利用不等式的性质得到的范围，从而得到、的值，然后代入计算即可．

【解答】

解：，
，

，

．

，．

．

故选A．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平方根和立方根的性质利用平方根与立方根的性质，对各个选项一一判断即可．
【解答】
解：非负数都有平方根，所以是错误的；
任何数的立方根都只有一个，所以是正确的；
时，没意义，所以所以是错误的；
，所以是正确的．
所以正确的有个．
故选B．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了算术平方根的理解，如果，则是的平方根．若，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫的算术平方根；若，则它有一个平方根，即的平方根是，的算术平方根也是，解答此题根据算术平方根的定义进行判断即可．
【解答】
解：负数没有算术平方根，故错误；
的算术平方根是，故错误；
当时，的算术平方根是，故错误；
算术平方根不可能是负数，故正确．
所以不正确的有，共个．
故选D．  

10.【答案】 

【解析】解：是有理数，故不符合题意；
立方根等于本身的数是和、，故不符合题意；
当时，有平方根，故不符合题意；
实数与数轴上的点是一一对应的，故符合题意；
两个无理数的差可能是无理数、可能是有理数，故不符合题意；
故选：．
根据无理数的意义，实数与数轴的关系，立方根的意义，可得答案．
本题考查了无理数的意义，实数与数轴的关系，立方根的意义是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】【解析】
本题考查实数与数轴上的点的对应关系，应注意数形结合，来判断点表示的实数．先根据数轴可得的值，进而可得则的值，再根据平方根的定义即可求得其平方根．
【解答】
解：读图可得：点表示的数为，
即；
则，
则它的平方根为．
故选D．
 

12.【答案】 

【解析】解：设点表示的数是，
点关于点的对称点为，
，
解得．
故选C．
设点表示的数是，然后根据数轴上两点间的距离等于右边的数减去左边的数列出方程求解即可．
本题考查了实数与数轴，对称点，熟练掌握数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法；估算出整数部分后，小数部分原数整数部分．首先可以估算的整数部分和小数部分，然后就可得的整数部分是，小数部分分别是；将其代入求平方根计算可得答案．
【解答】
解：由题意得：，，
，，
，
的平方根是．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次根式以及绝对值的性质，熟记二次根式的性质是解决本题的关键．
依据，得，去绝对值符号即可求出的值．
【解答】
解：，
，
．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：；
．
故答案为：．
先根据新定义求出，再计算即可．
本题考查了实数的运算，读懂新定义的运算是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：甲数是的平方根
甲数等于；
乙数是的立方根，
乙数等于．
甲、乙两个数的积是．
故答案为：．
分别根据平方根、立方根的定义可以求出甲数、乙数，进而即可求得题目结果．
此题主要考查了立方根、平方根的定义，其中求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
 

17.【答案】解：如图：

由题意可得：，
，，，
不妨设，
，，，
，，，
，，，
故．
且，
，
表示与之间的距离，表示与的距离，表示与的距离，
当时，最小，最小值为． 

【解析】本题考查绝对值的定义，解题关键是的几何意义是到表示的点的距离．
直接画图即可；
先判断出，，，设，从而可得，，，即可求出的值；
先根据，，判断出，从而可得的最小值．
 

18.【答案】解：设长方形的长为，宽为．
由题意，得 ，解得：，
，
，
，．
圆的面积为，设圆的半径为，
，解得：．
两个圆的直径总长为．
．
不能并排裁出两个面积均为的圆． 

【解析】根据长方形的长宽比设长方形的长为，宽为，结合长方形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，从而得出的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积为，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与的长进行比较即可得出结论．
本题考查了解一元二次方程、圆的面积以及实数大小比较，解题的关键是求出圆的半径以及长方形的长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合长方形或圆的面积公式求出其长边长或半径是关键．
 

19.【答案】解：可设长方形纸片的长为 ，宽为 ，
根据边长与面积的关系得：
，
，
，
因为边长不能为负数，所以，
故长方形纸片的长为  ，宽为 ，
因为，所以，
所以 即长方形纸片的长应该大于，
因为，所以正方形纸片的边长只有这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长．
答：不能做到． 

【解析】可设长方形纸片的长为，宽为，根据面积可得，解方程可得，然后再确定长方形的长和宽，进而可得答案．
此题主要考查了算术平方根，关键是正确设出未知数，求出长方形的长和宽．
 

20.【答案】 
解：，
，
，
，
；
，
，
，
，其中是整数，且，
，，
，
的相反数是； 

【解析】

【分析】
本题考查了估算无理数的大小有关知识．
先估算出的范围，即可得出答案；
先估算出、的范围，求出、的值，再代入求出即可；
先估算出的范围，求出、的值，再代入求出即可．
【解答】
解：，
的整数部分是，小数部分是 ，
故答案为：；
见答案
见答案．  

21.【答案】解：由题意得：，
；

由可知，则，

的立方根是．

【解析】本题考查了立方根、平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
理解一个正数有几个平方根及其两个平方根间关系：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出的值；

根据的值得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，计算出的值，再根据立方根的定义即可解答．

22.【答案】解：，
，，
解得：，，
把、代入式子得：
原式． 

【解析】根据可得，，解出、的值代入计算即可．
本题考查了实数的运算，属于基础题，解答本题的关键是根据非负数的性质解出、的值．
 

23.【答案】解：根据题意，点在点右侧
．

时，蚂蚁到点，的距离和为；
根据题意，点在点右侧，

；
当点在点时，即时，到，，的距离和最小；
．
时，到，，的距离和最小，最小值为． 

【解析】本题考查数轴和实数的计算，应用解方程的方法是解题的关键．
根据两点之间的距离的求法，列出方程可求出答案；
根据两点之间的距离的求法，列出方程可求出答案；
根据两点之间，线段最短，判断当点在点时，即时，到，，的距离和最小，求出最小值．
 

24.【答案】解：点表示的数是；
点表示的数是；
由题可得：表示，表示，表示， 
，， 
． 

【解析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，有一定的综合性，要求学生首先正确理解题意，才能利用数形结合的思想解题．

根据左减右加进行计算； 
两个点到原点的距离相等，由于是不同点，所以两个点表示的数互为相反数； 
求其长度之和，即是求它们的绝对值的和． 

25.【答案】解：；
，则，，
；
答：的值为．
与互为相反数，
，
，且，
解得：，，
，
的平方根为．
答：的平方根为． 

【解析】

【分析】
本题考查了数轴、非负数的性质、绝对值的意义，比较简单．
点表示，蚂蚁沿着轴向右爬了个单位到达点，所表示的数为；
，则，，进而化简，并求出代数式的值；
根据非负数的意义，列方程求出、的值，进而求出的值，再求出的平方根．
【解答】
解：由题意，得；
见答案．