初中人教版5.1.2 垂线教案

教学基本信息

课题

垂线的概念与性质

学科

数学

学段： 第三学段

年级

七年级

教材

书名：数学 七年级下册

教学目标及教学重点、难点

本节课的内容是垂线的概念和性质．垂线有两个性质，第一个性质是垂线的存在性和唯一性，这是垂线作图的保证，第二个性质是“垂线段最短”．在教学过程中通过垂线性质的探究，发展学生空间观念，体现几何直观．课堂中将通过三道例题帮助学生完成学习任务．

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

引入

今天我们继续来学习相交线中的有关内容：垂线的概念与性质．

通过上节课的学习我们知道，“相交”是两条直线的位置关系，体现在两条直线相交所成的四个角的位置关系（即四对邻补角、两对对顶角），数量关系（即邻补角互补、对顶角相等）．所以根据这些性质，在两条直线相交所成的四个角中知道其中一个角的度数，我们就可以求其余三个角的度数，从而进行几何中角的有关计算．请同学们想一想：这些知识我们是如何研究的呢？我们从“实际问题——定义——性质——应用”这一路径进行研究解决问题的．对于一个数学对象，在研究了它的一般情形后，往往要看看是否存在值得研究的特殊情形．相交线中，你认为什么情况是特殊的？这个特殊情形又该怎样研究呢？这节课我们就来继续探究相关知识．

复习旧知，引入新知

新课

一、垂线的概念

1．情景引入：取两根木条a，b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b．

（1）如图，两根木条所成的角中，如果∠α=35°，其他三个角各等于多少度？

（2）如果∠α等于m°，其他三个角各等于多少度？

在木条转动过程中，我们发现有一个位置是特殊的，也就是当∠α=90°时．同学们可以想一想，为什么我们说此时是一个特殊位置？ 一方面，当∠α=90°时，其他三个角也都等于90°，也就是这时四个角是相等的；另一方面，这种情况会出现几次呢？我们可以看出，木条b在0到180度的旋转过程中，这种情况只出现一次．而其他情况，比如四个角中有一个角是35°的情况，都会出现两次，如图所示．

所以，我们把这种特殊情况称为a与b互相垂直，也就是当∠α =90°时,a与b互相垂直．记作a⊥b．即垂直是相交的一种特殊情形．

追问：（1）对于两条直线互相垂直，你认为应研究哪些内容？按怎样的路径展开研究？

（2） 在两条直线相交的基础上，你认为应如何定义垂直？

2．垂直的定义：

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．

如图1,直线a,b互相垂直,点O叫做垂足．直线a叫做直线b的垂线，直线b也叫做直线a的垂线．

如图2，直线AB、CD互相垂直, 垂足为O．就是AB⊥CD或CD⊥AB ，垂足为O．读作：AB垂直于CD，垂足为O．

如图2，直线AB与CD相交于点O．如果∠AOC=90°，那么AB⊥CD． 这个推理过程可以写成下面的形式：

因为∠AOC=90°，

所以AB⊥CD（垂直的定义）．

反过来，若AB⊥CD，垂足为O ，那么∠AOC=90°．

推理过程就是：

因为AB⊥CD，

所以∠AOC=90° （垂直的定义）．

二、垂线的性质探究

探究1：

（1）用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画几条？

（2）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?

（3）经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?

结论：

经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线．即

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

思考1：过一点画线段、射线的垂线，应如何画呢？如图,请你过点P画出线段AB或射线AB的垂线

过一点作线段的垂线，垂足可以在线段上，也可以在线段的延长线上．所以大家在画图时要注意：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线．

思考2：如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？

此问题就是“直线外一点与已知直线上各点所连的线段中,哪条线段最短?”

探究2：如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1 ，A2 ，A3 ，…，其中，PO⊥l，这里PO为点P到直线l的垂线段．比较线段PO，PA1 ，PA2 ，PA3 ，…的长短，这些线段中，哪一条最短 ？

结论：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．

简单说成：垂线段最短．

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

如图，PO⊥l于点O，垂线段PO的长度叫做点P到直线l的距离．这里距离是指线段的长度，是一个数量概念．

问题解决：现在你知道水渠该怎么挖了吗？

过点P作河道所在直线的垂线段PQ，则沿着线段PQ挖出的水渠道最短．

举例应用：体育课上测量跳远成绩．

问题（1）复习巩固邻补角互补,对顶角相等的性质的运用．

利用相交线的模型作演示，让学生注意观察，转动木条b时，它和木条a互相垂直的位置有几个？从而体会垂直是相交中特殊情形，认识垂线的唯一性．

用图形语言和符号语言表示垂直．通过三种语言描述垂直,体会从不同视角认识垂直．

两条直线相交形成的角中，无论哪一个角是直角，都可以判断两条直线互相垂直，反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角．

在小学知识的基础上，通过画图、观察、思考等活动，得到“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一基本事实．通过动手操作,体会垂线的存在性与唯一性,加深对这一基本事实的认识．通过现实生活中实例,进一步体会这一基本事实,从而发展空间想象能力、推理能力和抽象能力．

结合图形, 进一步明确两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直都是指它们所在的直线垂直．

通过动手操作、结合生活中的实例以及图形理解“点到直线的距离”的意义，认识垂线段与点到直线的距离的区别与联系．掌握度量点到直线的距离的方法，并能正确度量点到直线的距离,从而发展空间想象能力．

    通过画图、测量、比较发现“垂线段最短”的性质．

通过生活中的例子,体会这一性质的应用，从而发展空间想象能力、推理能力和抽象能力．

例题

例1  如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠AOC=55°，求∠EOD的度数．

解：因为OE⊥AB，

所以∠EOB=90°． (垂直的定义)

因为∠BOD=∠AOC=55°， （对顶角相等）

所以∠EOD=∠EOB+BOD=90+55°=145 °．

例2  如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC．试判断射线OD与射线OE的位置关系．

解：OD⊥OE，理由如下：

因为点A，O，B在同一条直线上，

所以∠AOB=180°．

因为OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，

即∠DOE=90°．

所以OD⊥OE．

例3  如图, 三角形ABC中，∠C=90°．

（1）点A到直线BC的距离是线段        的长；

点B到直线AC的距离是线段        的长．

（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D， 则线段AC，BC，CD中最短的是　　 ， 理由是                   ．

分析：（1）根据点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，由∠C=90°，得到AC⊥BC，则点A到直线BC的距离是线段AC的长；点B到直线AC的距离是线段BC的长．

（2）先根据题目要求，画出图形．由CD⊥AB，可知线段CD是点C到直线AB的垂线段，根据“垂线段最短”，线段AC，BC，CD中最短的是线段CD．

综合运用对顶角、邻补角以及垂直的概念进行几何计算．

加深对垂直的判定的理解．

在综合图形中进一步理解点到直线的距离的概念，增强识图的能力．

进一步体会“垂线段最段”的性质．

总结

梳理本节课所研究的内容．

总结主要内容，加深对相交线有关知识的理解．

作业

作业1

（1）找出图中互相垂直的线段，并用三角尺检验．

（2）如图，画AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F．

（3）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC=35°，求∠AOD的度数．

（4）如图，用量角器画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，比较点P到OA，OB的距离大小．

作业2

　　请你谈一谈这节课的个人学习感想．在运用相关知识解决问题中需要注意的关键之处是什么？请你为本节课的知识点画一个结构图．

考查学生对直角大小的估计能力．

巩固过一点画已知直线的垂线，并涉及到延长线段的情况．

综合运用对顶角、邻补角及垂直的概念进行几何计算．

复习巩固点到直线的距离的概念，学生会发现这两个距离是相等的，为后面学习角平分线的性质做准备．