初中数学5.1.2 垂线课后练习题

5.1.2 垂线

基础对点练

知识点1 垂线的定义、性质及画法

1．（2021·全国·七年级专题练习）下列语句中，正确的有（    ）

①一条直线的垂线只有一条；

②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；

③两直线相交，则交点叫垂足；

④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．（2021·河南郑州·七年级期末）小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交于点O，则下列条件中能说明AB⊥CD的是（    ）

A．AO＝OB   B．CO＝OD    C．∠AOC＝∠BOD    D．∠AOC＝∠BOC

3．（2021·湖南·隆回县教育科学研究室七年级期末）如图，AB⊥CD，垂足为O，EF是过点O的一条直线，已知∠1=40°，则∠2=（    ）

A．40° B．45° C．50° D．60°

4．（2021·吉林靖宇·七年级期末）如图，三条直线相交于点．若，，则等于（     ）

A． B． C． D．

5．（2021·河南·郑州外国语中学八年级开学考试）下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角尺放法正确的是（　　）

A．  B．  C．  D．

6．（2021·全国·七年级课时练习）画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线．如图，请你过点画出射线或线段的垂线．

7．（安徽省合肥期中）如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，OF⊥OE，若∠BOD＝40°，求∠DOF的度数．

知识点2 垂线段的性质及点到直线的距离

8．（2021·河北滦州二模）如图，在平面内过点O作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（    ）

A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条

9．如图，连接直线外一点P与直线上各点O，A1，A2，A3，…，其中PO⊥，这些线段PO，PA1，PA1，PA3，…中，最短的线段是（    ）

A．PO B．PA1 C．PA2 D．PA3

10．如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．

（1）从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由．

（2）从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．

能力达标练

11．（吉林省白山市长白县宝泉山中学2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（　　）

A．B．C．D．

12．（2021·陕西·吴堡县教学研究室七年级期末）如图，，，若，则的度数为（    ）

A．125° B．135° C．145° D．155°

13．（2021·全国·七年级课时练习）如图，直线a，b相交于点O，射线c⊥a，垂足为点O，若∠1=40°，则∠2的度数为（　　　）

A．50° B．120° C．130° D．140°

14．（2020·山西·七年级阶段练习）如图，如果直线直线a，直线直线a，那么与重合（即O，M，N三点共线），其理由是（    ）

A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直

C．两点确定一条直线

D．垂线段最短

15．（2021·福建·莆田第二十五中学）直线l上有A，B，C三点，直线l外有一点P，若，，，那么点P到直线l的距离（    ）

A．等于2.5cm B．小于2.5cm

C．小于或等于2.5cm D．大于或等于2.5cm，而小于3cm

16．（2021·河南·郑州市第八中学）如图，小华同学的家在点处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择路线时所用到的数学知识是（    ）

A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短

C．两点之间线段最短 D．垂线段最短

17．（山西省吕梁市文水县2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中：①∠AOD＝90° ；②∠AOD＝∠AOC；③∠AOC+∠BOC＝180°；④∠AOC+∠BOD＝180°，能说明AB⊥CD的有(   )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

18．（安徽省芜湖市第二十九中学2016-2017学年七年级下学期期中教学质量评估数学试卷）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOE＝4∶1，则∠AOF的度数为(　　)

A．120°   B．125°   C．130°   D．135°

19．（湖北省武汉市东湖高新区2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　）

A．3 B．2.5 C．2.4 D．2

20．（四川省乐山市2020年初中学业水平考试数学试题）如图，是直线上一点，，射线平分，．则（    ）

A． B． C． D．

21．（2021·全国·七年级课时练习）如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，则点B到AC的距离是______，点A到BC的距离是_________，AC>CD的依据是________________．

22．如图，直线相交于点于点，连接.

(1)若,则=__________;

(2)若=2 cm, =1.5 cm, =2. 5 cm,则点到的距离是________cm.

23．（2020·浙江浙江·七年级期中）根据下列语句，画出图形．

如图，已知平面内有四个点A、B、C、D，其中任意三点都不在同一直线上．

①画直线；射线、线段；

②过点B作的垂线，垂足为点G．

24．（2015-2016学年天津津南区东片学区七年级下期中数学试卷（带解析））如图，直线AB、CD相交于O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，∠1＝50°，求∠COB、∠BOF的度数．

25．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O，ON⊥CD于点O．

（1）试说明∠1＝∠2；

（2）若∠BOC＝4∠2，求∠AOC的大小．

拓广探索突破

26．如图，点O为直线AB上一点，射线OC，OD，OE都在直线AB的上方，∠COD＝90°，下列说法：①若OD平分∠BOE，则∠AOC的余角和∠AOD的补角都有两个；②若OC平分∠AOE，则有OD平分∠BOE；③若OE平分∠BOC，则OC平分∠AOE；④若OE平分∠BOC，则有∠AOC＝2∠DOE，其中结论正确的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

27．（2021·全国·七年级课时练习）从点O引出四条射线OA，OB，OC，OD，且AO⊥BO，CO⊥DO，试探索∠AOC与∠BOD的数量关系．

28．（江苏省南京外国语学校仙林分校2020-2021学年七年级上学期期末数学试题）如图，直线、相交于点，为锐角，，平分

（1）图中与互余的角为__________；

（2）若，求的度数；

（3）图中与锐角互补角的个数随的度数变化而变化，直接写出与互补的角的个数及对应的的度数

29．（辽宁省营口市老边区联合校2020-2021学年七年级下学期期中质量监测数学试题）平面内两条直线、相交于点，，恰好平分．

（1）如图1，若，求数；

（2）在图1中，若，请求出的度数（用含有的式子表示），并写出和的数量关系；

（3）如图2，当，在直线的同侧时，和的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．