一元二次不等式的简单应用

[A级　新教材落实与巩固]

一、选择题

1．下列四个不等式：

①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；

③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.

其中解集为R的是(　C　)

A．①    B．②

C．③    D．④

2．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，那么实数a的取值范围为(　D　)

A．{a|0<a<4}

B．{a|0≤a<4}

C．{a|0<a≤4}

D．{a|0≤a≤4}

【解析】 当a＝0时，有1<0，故A＝∅；当a≠0时，若A＝∅，则有解得0<a≤4.

综上，a的取值范围为{a|0≤a≤4}，故选D.

3．关于x的不等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集是(　D　)

A．{x|x<0或x>1}

B．{x|－1<x<2}

C．{x|1<x<2}

D．{x|x<－1或x>2}

【解析】 因为ax－b>0的解集是{x|x>1}，所以a＝b>0，由>0，得>0，解得x<－1或x>2.故选D.

4．若0<a<1，则不等式x2－3(a＋a2)x＋9a3≤0的解集为(　A　)

A．{x|3a2≤x≤3a}

B．{x|3a≤x≤3a2}

C．{x|x≤3a2或x≥3a}

D．{x|x≤3a或x≥3a2}

【解析】 因为0<a<1，所以0<3a2<3a，而方程x2－3(a＋a2)·x＋9a3＝0的两个根分别为3a和3a2，

所以不等式的解集为{x|3a2≤x≤3a}．

5．不等式1<<2的解集是(　B　)

A．{x|x<0}

B．{x|x<－2}

C．{x|－2<x<0}

D．{x|0<x<2}

【解析】 由1<<2得0<－<1，即－1<<0.由<0得x<0，由－1<得>0，即x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2.综上知x<－2.故选B.

6． 下列不等式在R上恒成立的是(　BCD　)

A．x2＋a2>0

B．x2－ax＋a2≥0

C．－x2＋2x－2<0

D．－x2－x－≤0

【解析】 当a＝0时，x2＋a2>0在R上不恒成立；因为x2－ax＋a2＝＋a2，所以x2－ax＋a2≥0在R上恒成立；由－x2＋2x－2<0得x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以－x2＋2x－2<0在R上恒成立；由－x2－x－≤0得－≤0，所以－x2－x－≤0在R上恒成立．故选BCD.

二、填空题

7．不等式>3的解集为____．

【解析】 由>3得<0，等价于x(2x－1)<0，解得0<x<.

8．若a<0，则不等式>0的解集是__{x|x<3a或x>－2a}__．

【解析】 原不等式可化为(x＋2a)(x－3a)>0，因为a<0，所以3a<－2a，因此原不等式的解集为{x|x<3a或x>－2a}．

9．若不等式<0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为__－4<m≤0__．

【解析】 因为x2－4x＋6＝(x－2)2＋2>0，所以要使原不等式恒成立，只需mx2－mx－1<0恒成立．

故m＝0或解得－4<m≤0.

10．已知不等式x2＋ax＋1>0，当a＝－2时，不等式的解集是__{x|x≠1}__；若对一切x∈{x|0<x≤2}，不等式恒成立，则a的取值范围是__a>－2__．

【解析】 当a＝－2时，不等式为x2－2x＋1＝(x－1)2>0，解集为{x|x≠1}；不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈{x|0<x≤2}恒成立等价于ax>－x2－1，即a>对一切x∈{x|0<x≤2}恒成立．

因为x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，

所以a>－2，

所以－≤－2.

三、解答题

11．若不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|1<x<2}．

(1)试求a，b的值；

(2)求不等式>0的解集．

解：(1)因为不等式ax2＋bx－1>0的解集是

{x|1<x<2}．

所以a<0，且1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两根．

由根与系数的关系得解得a＝－，b＝.

(2)由(1)得原不等式为>0，即<0，

等价于(x－2)(3x－2)＜0，解得<x<2.

即原不等式的解集是.

12．解下列关于x的不等式：

(1)－3≤－2x－2x2<0；　(2)0<x2－x－2<4.

解：(1)－3≤－2x－2x2<0⇔0<2x2＋2x≤3⇔

⇔－≤x<－1或0<x≤，

所以不等式的解集为.

(2)0<x2－x－2<4⇔(x2－x－2)(x2－x－6)<0⇔(x＋2)(x＋1)(x－2)(x－3)<0⇔－2<x<－1或2<x<3，

所以不等式的解集为.

13．我们用f(x)表示y是x的函数，如一次函数y＝2x＋3可表示为f(x)＝2x＋3.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x(x∈R)，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈{x|－1≤x≤1}时，不等式f(x)>2x＋m有解，求实数m的取值范围．

解： (1)令f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，代入已知条件，

得

解得a＝1，b＝－1，c＝1，

所以f(x)＝x2－x＋1.

(2)当x∈{x|－1≤x≤1}时，f(x)>2x＋m有解，

即x2－3x＋1>m有解．

令g(x)＝x2－3x＋1＝－，－1≤x≤1.

对称轴x＝∉{x|－1≤x≤1}，g(x)max＝g(－1)＝5，

所以m<5.

[B级　素养养成与评价]

14．不等式<的解集为(　C　)

A．{x|1<x<3}    B．{x|－1<x<3}

C．    D．

【解析】 由<得－＋3<0，即<0，所以1<<3，得<x<1，所以不等式的解集为.

15．若关于x的不等式ax2＋2x＋2>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是__a>__．

【解析】 当a＝0时，原不等式可化为2x＋2>0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；

当a≠0时，要使原不等式的解集为R，

只需解得a>.

综上，所求实数a的取值范围是a>.

16．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：

(1)仓库面积S的最大允许值是多少？

(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

解：(1)设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，

而顶部面积为S＝xy，

依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3 200，

由基本不等式得

3 200≥2＋20xy

＝120＋20xy

＝120＋20S.

所以S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，

故≤10，从而S≤100，

所以S的最大允许值是100平方米．

(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，

求得x＝15，即铁栅的长是15米．