北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念导学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念导学案，共7页。


某种细胞进行分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……
[问题] (1)1个这样的细胞分裂x次后得到细胞个数y如何表示？
(2)如果知道一个细胞经过x次分裂后得到了1 024个细胞，该如何求解x的值呢？



知识点一 对数函数的概念
1．对数函数的概念
函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中a叫作对数函数的底数，x是自变量．
2．对数函数的基本性质
(1)定义域是(0，＋∞)；
(2)图象过定点(1，0)．
3．特殊的对数函数
(多选)下列函数中为对数函数的是( )
A．y＝lgeq \s\d9(\f(1,2))(－x)
B．y＝2lg4(x－1)
C．y＝ln x
D．y＝lgeq \a\vs4\al(（a2＋a＋2）)x(a是常数)
解析：选CD 对于A，真数是－x，故A不是对数函数；对于B，y＝2lg4(x－1)＝lg2(x－1)，真数是x－1，不是x，故B不是对数函数；对于C，ln x的系数为1，真数是x，故C是对数函数；对于D，底数a2＋a＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(7,4)>1，故D是对数函数．
知识点二 反函数
指数函数y＝ax是对数函数y＝lgax的反函数．对数函数y＝lgax也是指数函数y＝ax的反函数，即它们互为反函数．
eq \a\vs4\al()
反函数性质的再理解
(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称；
(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．
1．已知函数y＝f(x)是函数y＝10x的反函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))＝________．
解析：由已知得f(x)＝lg x，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))＝lg eq \f(1,100)＝lg 10－2＝－2.
答案：－2
2．对数函数y＝－lg2x的反函数是________．
解析：y＝－lg2x＝lgeq \a\vs4\al(2－1)x＝lgeq \s\d9(\f(1,2))x，故其反函数为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x).
答案：y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)
知识点三 对数函数y＝lg2x的图象与性质
1．y＝lg2(1－x)的大致图象是( )
解析：选C y＝lg2(－x)与y＝lg2x的图象关于y轴对称，又因为y＝lg2(1－x)＝lg2[－(x－1)]，故将y＝lg2(－x)的图象向右平移一个单位长度，即得y＝lg2(1－x)的图象，故选C.
2．函数y＝eq \f(1,lg2（x－2）)的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞)
解析：选C 要使函数有意义，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2>0，,lg2（x－2）≠0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2>0，,x－2≠1，))解得23.
[例1] (链接教科书第107页例1)(1)(多选)下列函数中，是对数函数的有( )
A．y＝lgax(a∈R) B．y＝lg8x
C．y＝ln x D．y＝lgx(x＋2)
(2)若对数函数f(x)＝lgax的图象过点(2，1)，则f(8)＝________．
[解析] (1)形如y＝lgax(a>0，且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有B、C，其他的均不符合．故选B、C.
(2)依题意知1＝lga2，所以a＝2，
所以f(x)＝lg2x，故f(8)＝lg28＝3.
[答案] (1)BC (2)3
eq \a\vs4\al()
判断一个函数是对数函数的依据

[跟踪训练]
1．已知f(x)＝lg5x，则f(5)＝( )
A．0 B．1
C．5 D．25
解析：选B f(5)＝lg55＝1.
2．函数f(x)＝(a2－a＋1)lg(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．
解析：a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.
又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.
答案：1
[例2] (链接教科书第108页例2、例3)求下列函数的反函数：
(1)y＝5x; (2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(x)；
(3)y＝lgeq \s\d9(\f(1,4))x; (4)y＝lg7x.
[解] (1)指数函数y＝5x，它的底数是5，它的反函数是对数函数y＝lg5x.
(2)指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(x)，它的底数是eq \f(4,5)，它的反函数是对数函数y＝lgeq \s\d9(\f(4,5))x.
(3)对数函数y＝lgeq \s\d9(\f(1,4))x，它的底数是eq \f(1,4)，它的反函数是指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x).
(4)对数函数y＝lg7x，它的底数是7，它的反函数是指数函数y＝7x.
eq \a\vs4\al()
反函数的求法
(1)由y＝ax(或y＝lgax)解得x＝lgay(或x＝ay)；
(2)将x＝lgay(或x＝ay)中的x与y互换位置，得y＝lgax(或y＝ax)；
(3)由y＝ax(或y＝lgax)的值域，写出y＝lgax(或y＝ax)的定义域．
[跟踪训练]
1．函数y＝lg3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是( )
A．(0，＋∞) B．R
C．(－∞，0) D．(0，1)
解析：选A 反函数的值域为原函数的定义域(0，＋∞)．
2．求函数y＝3x－4(x≥2)的反函数．
解：∵y＝3x－4，∴3x＝y＋4，∴x＝lg3(y＋4)．
又∵x≥2，∴3x－4≥5，
∴函数y＝3x－4(x≥2)的反函数为y＝lg3(x＋4)(x≥5).
[例3] (链接教科书第109页例4，第110页例5)(1)函数y＝lg2|x＋1|的大致图象是( )
(2)lg2(a2＋a＋1)与lg2eq \f(3,4)的大小关系为( )
A．lg2(a2＋a＋1)≥lg2eq \f(3,4)
B．lg2(a2＋a＋1)>lg2eq \f(3,4)
C．lg2(a2＋a＋1)≤lg2eq \f(3,4)
D．lg2(a2＋a＋1)(3)(多选)已知f(x)＝|lg2x|，若f(a)>f(2)，则a的值可以是( )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,3)
C.eq \f(3,2) D．3
[解析] (1)y＝lg2|x|是偶函数，其y轴右侧部分的图象即为y＝lg2x的图象，再将y＝lg2|x|的图象向左平移一个单位长度，即为y＝lg2|x＋1|的图象，故选B.
(2)∵y＝lg2x在(0，＋∞)上是增函数，而a2＋a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)，∴lg2(a2＋a＋1)≥lg2eq \f(3,4).
(3)作出函数f(x)的图象，如图所示，由于f(2)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，故结合图象可知02.
[答案] (1)B (2)A (3)ABD
eq \a\vs4\al()
解决与y＝lg2x图象与性质有关问题的关键
一是抓住图象变换准确画出相关函数图象；
二是充分利用其性质去求解．
[跟踪训练]
1．已知函数y＝lg2(1－x)的值域为(－∞，0)，则其定义域是( )
A．(－∞，1) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C．(0，1) D．(1，＋∞)
解析：选C ∵函数y＝lg2(1－x)的值域为(－∞，0)，∴0<1－x<1，即－12．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≤0，))则不等式f(x)≤1的解集为________．
解析：因为函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≤0，))所以若不等式f(x)≤1，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0，,lg2x≤1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)≤1，))解得0≤x≤2，所以原不等式的解集为{x|0≤x≤2}．
答案：{x|0≤x≤2}
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝lga(2x) B．y＝lg22x
C．y＝lg2x＋1 D．y＝lg x
解析：选D 选项A、B、C中的函数都不具有“y＝lgax(a>0，且a≠1)”的形式，只有D选项符合．
2．函数y＝lga(x＋2)＋1的图象过定点( )
A．(1，2) B．(2，1)
C．(－2，1) D．(－1，1)
解析：选D 令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝lga1＋1＝1，故函数y＝lga(x＋2)＋1的图象过定点(－1，1)．
3．函数f(x)＝lg2|2x－4|的图象为( )
解析：选A 函数f(x)＝lg2|2x－4|的图象可以看作是将函数y＝lg2|2x|的图象向右平移2个单位长度得到的，故选A.
4．为了得到y＝lg2 eq \f(x,2)的图象只需将y＝lg2x的图象____________________．
解析：y＝lg2 eq \f(x,2)＝lg2x－1.
答案：向下平移一个单位长度
5．已知函数y＝ax＋b的图象过点(1，4)，其反函数的图象过点(2，0)，则a＝________，b＝________．
解析：由函数y＝ax＋b的图象过点(1，4)，得a＋b＝4；由反函数的图象过点(2，0)知，原函数的图象过点(0，2)，得a0＋b＝2，因此a＝3，b＝1.
答案：3 1
新课程标准解读
核心素养
1.通过具体实例，了解对数函数的概念，了解反函数概念
数学抽象
2.能用描点法或借助计算机工具画出y＝lg2x的图象，掌握其性质并会应用
直观想象、数学抽象
常用对数函数
以10为底的对数函数y＝lg_x
自然对数函数
以无理数e为底的对数函数y＝ln_x
函数
y＝lg2x
图象
性
质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
对数函数的概念
求函数的反函数
函数y＝lg2x的图象与性质