高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念授课课件ppt

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1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系.
2.了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数.
3.掌握对数函数y＝lg2x的图象和性质.
通过前面的学习，我们知道了“对数源出于指数”，然而对数的发明先于指数，对数的出现是基于当时天文、航海等发展的需要，大家知道，我国在探索太空、大洋等方面取得了很大的成就，比如2020年11月24日，我国成功发射嫦娥五号探测器，12月17日凌晨嫦娥五号返回器携带月球土壤样本安全着陆，大家知道吗？指挥本次月球探索的是一位24岁的小姑娘，同学们好好学习吧，说不定下一个指挥探索别的星球的人就是你哦.
问题1　某种物质的细胞进行分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，则1个这样的细胞分裂x次后得到的细胞个数y如何表示？反之，如果知道一个细胞经过x次分裂后得到了1 024个细胞，该如何求解x的值呢？在第几次开始，细胞个数超过100万个？
提示　根据指数与对数的相互转化，我们知道y＝2x可以化为x＝lg2y，根据对数的运算，我们便可得到是在第20天开始细胞个数超过100万个.
1.对数函数的概念函数y＝ (a>0，且a≠1)称为对数函数，其中 是自变量， 称为底数.2.对数函数的基本性质(1)定义域是 ；(2)图象过定点 .3.常用对数函数与自然对数函数：(1)以 为底的对数函数 为常用对数函数；(2)以无理数 为底的对数函数 为自然对数函数.
(1)对数函数的系数为1.(2)真数只能是一个x.(3)底数与指数函数的底数范围相同.
　　(1)下列函数表达式中，是对数函数的是A.y＝lgx2 B.y＝lgax(a∈R)C.y＝ln x D.y＝lg2(x＋1)
由于A中自变量出现在底数上，∴A不是对数函数；由于B中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，∴B不是对数函数；由于D中的真数为(x＋1)，∴D不是对数函数.只有C符合对数函数的定义.
(2)对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为A.y＝lg4x B.y＝C.y＝D.y＝lg2x
设对数函数为y＝lgax(a>0，且a≠1)，由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝lga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝lg2x.
判断一个函数是对数函数的方法
　　　若函数f(x)＝lg(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝ .
问题2　在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝lg2x的图象，观察两函数图象的关系.
反函数指数函数y＝ax(a>0，a≠1)是 的反函数；同时，对数函数y＝lgax(a>0，a≠1)也是 的反函数.即它们互为反函数.
对数函数y＝lgax(a>0，a≠1)
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)
互为反函数的两个函数的定义域与值域正好互换.
　　求下列函数的反函数.
指数函数y＝10x，它的底数是10，它的反函数是对数函数y＝lg x.
对数函数y＝lg7x，它的底数是7，它的反函数是指数函数y＝7x.
反函数的性质特征(1)同底的指数函数、对数函数互为反函数.(2)反函数的性质：①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.②坐标关系：若函数y＝f(x)图象上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数图象上，反之若点(b，a)在反函数图象上，则点(a，b)必在原函数图象上.
　　　(多选)已知函数y＝2x与y＝lg2x，下列说法正确的是A.两者的图象关于直线y＝x对称B.前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域C.两函数在各自的定义域内增减性相同D.y＝2x的图象经过平行移动可得到y＝lg2x的图象
由于y＝2x与y＝lg2x互为反函数，图象关于直线y＝x对称，知A，B正确，二者在定义域内均为增函数，C正确.
对数函数y＝lg2x的图象与性质
问题3　请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y＝lg2x和y＝　　 的函数图象.
问题4　通过观察函数y＝lg2x和y＝ 　　的图象，分析性质，并完成下表：
问题5　为了更好地研究对数函数的性质，我们特别选取了底数a＝3,4，　　，你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？
函数y＝lg2x的图象与性质
(1)函数图象只出现在y轴右侧，注意图象永远不和y轴相交.(2)y＝lg2x和y＝　　 的图象关于x轴对称.
又y＝lg2x在(0，＋∞)上是增函数，
函数f(x)＝lg2x性质的三种应用函数f(x)＝lg2x在(0，＋∞)上是单调递增的，利用单调性可以比较对数值的大小，解不等式，求函数值域.
　　　根据函数f(x)＝lg2x的图象和性质解决以下问题.(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；
函数y＝lg2x的图象如图所示.因为y＝lg2x在(0，＋∞)上是增函数，若f(a)>f(2)，即lg2a>lg22，则a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞).
(2)求y＝lg2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值.
因为2≤x≤14，所以3≤2x－1≤27，所以lg23≤lg2(2x－1)≤lg227＝3lg23.所以函数y＝lg2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值为lg23，最大值为3lg23.
1.知识清单： (1)对数函数的概念. (2)反函数. (3)对数函数y＝lg2x的图象与性质.2.方法归纳：待定系数法、数形结合法.3.常见误区：对数函数中隐含的条件，真数大于0，底数大于0且不等于1容易忽视.
1.下列函数为对数函数的是A.y＝lgax＋1(a>0且a≠1)B.y＝lga(2x)(a>0且a≠1)C.y＝lg(a－1)x(a>1且a≠2)D.y＝lgax2(a>0且a≠1)
2.函数y＝lg2x的图象大致是
3.函数y＝4x的反函数是A.x＝4y B.y＝C.y＝lg4x D.y＝
指数函数y＝4x的反函数为对数函数y＝lg4x.
4.不等式lg2x－2≥0的解集为 .
由lg2x－2≥0，得lg2x≥lg24，∴x≥4，故不等式lg2x－2≥0的解集为 [4，＋∞).
5.若f(x)＝lg2x，x∈[2,3]，则函数f(x)的值域为 .
∵f(x)＝lg2x在[2,3]上是单调递增的，∴lg22≤lg2x≤lg23，即1≤lg2x≤lg23.
1.(多选)下列函数不是对数函数的是A.y＝lga(5x) B.y＝lg22xC.y＝lg2x＋1 D.y＝lg x
选项A，B，C中的函数都不具有“y＝lgax(a>0且a≠1)”的形式.
2.函数y＝lg2x，x∈　　 的值域为A.[2,4] B.[－1,2]C.[－2,2] D.[－2,1]
∴其值域为[－2,2].
3.在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝lg2x的图象之间的关系是A.关于y轴对称 B.关于x轴对称C.关于原点对称 D.关于直线y＝x对称
因为y＝2x与y＝lg2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称.
4.设P＝2lg23，Q＝lg23，R＝lg25，则A.R因为P＝2lg23＝lg232＝lg29>lg28＝3，Q＝lg23lg24＝2，所以Q5.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于A.lg2x　　 B. 　　　C. 　　　　D.2x－2
由题意知f(x)＝lgax.∵f(2)＝1，∴1＝lga2，∴a＝2，∴f(x)＝lg2x.
6.lg23.6与lg425的大小关系为 ____________ .
∵lg425＝lg25，∴lg25>lg23.6，即lg425>lg23.6.
lg425>lg23.6
7.对数函数f(x)的图象经过点 　　，则f(3)＝ .
设f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，
8.函数f(x)＝lg2x在区间[a,2a](a>0)上最大值与最小值之差为 .
∵f(x)＝lg2x在区间[a,2a]上单调递增，∴f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝lg2(2a)－lg2a＝1.
9.已知f(x)＝lg3x.(1)作出这个函数的图象；
作出函数y＝lg3x的图象如图所示.
(2)当0f(2)的a值.
令f(x)＝f(2)，即lg3x＝lg32，解得x＝2.由如图所示的图象知：当0f(2)的a值.
10.已知函数f(x)＝lg2(1＋x)，g(x)＝lg2(1－x).(1)函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值；
因为y＝lg2x是其定义域上的增函数，所以函数f(x)＝lg2(x＋1)在[3,63]上单调递增，所以f(x)max＝f(63)＝lg2(63＋1)＝6，f(x)min＝f(3)＝lg2(3＋1)＝2.
(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围.
f(x)－g(x)>0，即lg2(1＋x)>lg2(1－x)，所以1＋x>1－x>0，得0在同一个平面直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图，由图象可知f(x)与g(x)的交点个数为3.
12.设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lg2x，则当x<0时，f(x)＝ .
当x<0时，－x>0，f(－x)＝lg2(－x).又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝lg2(－x)，故当x<0时，f(x)＝－lg2(－x).
13.设函数f(x)＝　　　　　　　则满足f(x)≤2的x的取值范围是 　　　 .
解得0≤x≤1，或x>1.即x≥0.
14.已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,1]，则y＝f(lg2x)的定义域是 .
＝lga(x1x2x3…x2 021)2＝2lga(x1x2x3…x2 021)＝2f(x1x2x3…x2 021)，∴原式＝2×8＝16.5
16.已知函数f(x)＝　　　.(1)画出函数y＝f(x)的图象；
f(x)的定义域为(0，＋∞)，由图可知，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1).
(2)写出函数y＝f(x)的单调区间；