考点54 计数原理和排列与组合（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

考点54  计数原理和排列与组合

两个原理的直接应用 

1．某校为了丰富学生的课外活动，安排了A，B两个活动小组．某班甲、乙、丙、丁4名同学报名参加，每人只报一项，则4名同学的不同报名方案的种数为(　　)

A．6  B．8

C．12  D．16

2.三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是(　　)

A．72种  B．144种  C．240种  D．288种

排列与组合问题

3．某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为(　　)

A．1 860  B．1 320

C．1 140  D．1 020

4．将6名同学平均分成三组，每组两人，则不同的分组方法的种数为(　　)

A．60  B．30

C．15  D．10

5.A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会．A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有(　　)

A．60种  B．48种  C．30种  D．24种

  知识交汇创新

6．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)

A．12种  B．18种

C．24种  D．36种

7.现要给一长、宽、高分别为3,2,1的长方体工艺品各面涂色，有红、橙、黄、蓝、绿五种颜色的涂料可供选择，要求相邻的面不能涂相同的颜色，且橙色跟黄色二选一，红色要涂两个面，则不同的涂色方案有(　　)

A．48种  B．72种  C．96种  D．108种

8．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)

1．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)

A．10种　　　　　　　　 B．9种

C．12种  D．8种

2．[一题多解]甲、乙两人从4门选修课中各选修2门，则甲乙所选的课程中至少有一门相同的选法共有(　　)

A．30种  B．36种

C．60种  D．144种

3．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)

A．192种  B．216种

C．240种  D．288种

4.某地区高考改革实行“3＋1＋2”模式，“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门科目，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门科目中任意选择两门科目，则一名学生的不同选科组合有(　　)

A．8种  B．12种

C．16种  D．20种

5．乘积(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开后共有________项．

6．(多选题)(2020·山东德州齐河一中期中)在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，为求出场顺序的排法种数，下列列式正确的为(　　)

A．CCA＋CAA  B．AA－AA

C．A－AA  D．A－AA－A＋AA

7．若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是(　　)

A．540  B．480

C．360  D．200

8．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)

1．已知椭圆＋＝1, 若a∈{2，4，6，8}，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，这样的椭圆有(　　)

A．12个  B．16个

C．28个  D．32个

2．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是(　　)

A．30  B．42

C．36  D．35

3．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)

A．85  B．56

C．49  D．28

4.5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有(　　)

A．24种  B．36种

C．48种  D．72种

5．若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B，C相邻，则不同的排法有________种．(用数字作答)

答案：144

6．某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是(　　)

A．18  B．24

C．36  D．42

7．某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为(　　)

A．484  B．472

C．252  D．232

8．(2020·浙江嘉兴一中、湖州中学期末)用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成________个无重复数字的三位数，也可以组成________个能被5整除且无重复数字的五位数．

考点练

1.解析：选D．分步完成，甲有2种报名方法，乙有2种报名方法，丙有2种报名方法，丁有2种报名方法，都报完了事件结束，故共有2×2×2×2＝24＝16(种)．

2.答案　D

解析　第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，有CA＝6种排法．第二步，假设剩下的两对夫妻是x1，x2和y1，y2，分成三种情况讨论：①x1，x2中间有一个元素，如果是A，则y1，y2在两端，有2种排法，如果是y1，y2中的一个，有12种排法；②x1，x2中间有两个元素，只能是A和y1，y2中的一个，总共有8种排法；③x1，x2中间有三个元素，有2种排法．因为x1，x2有顺序，所以仅有一对夫妻相邻的排法有6×2×(2＋12＋8＋2)＝288(种)．

3.解析：选C．当A，B节目中只选其中一个时，共有CCA＝960(种)演出顺序；当A，B节目都被选中时，由插空法得共有CAA＝180(种)演出顺序，所以一共有1 140种演出顺序．

4.解析：选C．平均分成三组的方法种数为＝15(种)．

5.答案　B

解析　B，C二人必须坐相邻的两把椅子，有4种坐法，B，C可以交换，有A＝2种坐法，其余三人坐剩余的三把椅子有A＝6种坐法，故共有4×2×6＝48种坐法．故选B.

6.解析：选D．本题主要考查排列、组合．

第一步：将4项工作分成3组，共有C种分法．

第二步：将3组工作分配给3名志愿者，共有A种分配方法，故共有C·A＝36种安排方式，故选D．

7.答案　C

解析　若蓝绿选一个，由橙黄二选一，共三种颜色涂6个面，每一种颜色只能涂相对的面，故有CCA＝24(种)；若蓝绿选两个，由橙黄二选一，故共有4种颜色，红色只能涂相对的面，还有4个面，故不同的涂色方案有CCCA＝72(种)，根据分类加法计数原理，共有24＋72＝96(种)．故选C.

8.解析：本题主要考查组合问题．

解法一：从2位女生，4位男生中选3人，且至少有1位女生入选的情况有以下2种：①2女1男：有CC＝4种选法；②1女2男：有CC＝12种选法，故至少有1位女生入选的选法有4＋12＝16种．

解法二：从2位女生，4位男生中选3人有C＝20种选法，其中选出的3人都是男生的选法有C＝4种，所以至少有1位女生入选的选法有20－4＝16种．

答案：16

拓展练

1.解析：选C．依题意，满足题意的不同安排方案共有C·C＝12种．

2.解析：选A．解法一：直接法

有一门相同的选法有CCC＝24种，

有两门相同的选法有CC＝6种，

故共有24＋6＝30种选法．

解法二：间接法

CC－CC＝36－6＝30种．

3.解析：选B．第一类：甲在最左端，有A＝120种方法；

第二类：乙在最左端，有4A＝96种方法．

所以共有120＋96＝216种方法．

4.解析：选C．若一名学生只选物理和历史中的一门，则有CC＝12种组合；若一名学生物理和历史都选，则有C＝4种组合，因此共有12＋4＝16种组合．故选C．

5.解析：由(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开式各项都是从每个因式中选一个字母的乘积，由分步乘法计数原理可得其展开式共有3×4×5＝60项．

答案：60

6.解析：选ABD．若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有CCA种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则将剩余的2位女生排列好，2位男生插空，方法有CAA种．∴满足条件的出场顺序有CCA＋CAA种，故A正确；先排3位女生，3位女生之间有4个空，从4个空中选2个排男生，共有AA种，若女生甲排在第一个，则3位女生之间有3个空，从3个空中选2个排男生，有AA种，∴满足条件的出场顺序有AA－AA种，故B正确；5位选手全排列的方法数A减去2位男生连续出场的方法数AA，再减去女生甲排在第一个的方法数A.∵多减去了2位男生既连续出场，女生甲又排在第一个的方法数AA，∴满足条件的出场顺序有A－AA－A＋AA种，故D正确．故选ABD．

7.解析：选D．由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有CCA＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有50×4＝200个．

8.解析：分两种情况：第一种：四位数都不是偶数的个数为A＝120个，第二种：四位数中有一位为偶数的个数为CCA＝960个，则共有1 080个．

答案：1 080

模拟练

1.解析：选C．若焦点在x轴上，则a＞b，a＝2时，有1个；a＝4时，有3个；a＝6时，有5个；a＝8时，有7个，共有1＋3＋5＋7＝16个．

若焦点在y轴上，则b＞a，b＝3时，有1个；b＝4时，有1个；b＝5时，有2个；b＝6时，有2个；b＝7时，有3个，b＝8时，有3个．共有1＋1＋2＋2＋3＋3＝12个．故共有16＋12＝28个．

2.解析：选C．因为a＋bi为虚数，所以b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．

3.解析：选C．由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．甲、乙两人均入选，有CC种选法，甲、乙两人只有1人入选，有CC种选法．所以由分类加法计数原理知，共有CC＋CC＝49种不同选法．

4.解析：选D．首先从除学生甲外的4人中先选2人排在两端，共有A种排法，然后对其余的3人任意排，共有A种排法，根据分步乘法计数原理可得不同站法共有AA＝72种．故选D．

5.解析：由于B，C相邻，把B，C看作一个整体，有2种排法．这样，6个元素变成了5个．先排A，由于A不排在两端，则A排在中间的3个位置中，有A＝3种排法，其余的4个元素任意排，有A种不同排法，故不同的排法有2×3×A＝144种．

6.解析：选D．由题设可分两类：

一是甲地只含有一名女生，先考虑甲地有CC种情形，后考虑乙、丙两地，有A种情形，共有CCA＝36种情形；

二是甲地只含有两名女生，则甲地有C种情形，乙、丙两地有A种情形，共有CA＝6种情形．

由分类计数原理可得36＋6＝42种情形．故选D．

7.解析：选B．若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有CC＝264种选法．若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C－3C＝208种选法．故总共有264＋208＝472种不同的选法．

8.解析：第一个空：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有C＝5种方法；第二步，确定另外两个数位上的数，有A＝5×4＝20种方法；所以可以组成5×20＝100个无重复数字的三位数．

第二个空：被5整除且无重复数字的五位数的个位数上的数有2种情况；当个位数上的数字是0时，其他数位上的数有A＝5×4×3×2＝120种；当个位数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有C＝4种方法，而后确定其他三个数位上的数有A＝4×3×2＝24种方法，所以共有24×4＝96个数．根据分类加法计算原理，可得共有120＋96＝216个数．

答案：100　216