考点56 随机事件的概率（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

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考点56 随机事件的概率

随机事件中关系的判断
1．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了三组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；
②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球．
其中互斥而不对立的事件共有(　　)
A．0组 B．1组
C．2组 D．3组
2.现有3个红球和2个白球，从中任选2个球，事件“至少有1个白球”与事件“全是红球”(　　)
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件
D．既不是互斥事件也不是对立事件
3.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，任意两人不能同一方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．以上都不对
4.从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥而不是对立事件的是(　　)
A．恰有1个是奇数和全是奇数
B．恰有1个是偶数和至少有1个是偶数
C．至少有1个是奇数和全是奇数
D．至少有1个是偶数和全是偶数
5.给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．

随机事件的频率与概率
6．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)
A．134石　　　　　　　 B．169石
C．338石 D．1 365石
7.经济学院一年级的学生王小明下学期将选修刘老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：
①90分以上的概率是________；
②不及格(60分及以上为及格)的概率是________．
8.袋中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
343　432　341　342　234　142　243　331　112
342　241　244　431　233　214　344　142　134
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为(　　)
A. B. C. D.
互斥事件、对立事件概率公式的应用
9.(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
10.(2019·北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付方式　　
不大于2 000元
大于2 000元
仅使用A
27人
3人
仅使用B
24人
1人
(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．

1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．1
2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
3．某食品厂制作了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”“和谐福”“友善福”，每袋食品中随机装入一张卡片．若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为(　　)
A． B．
C． D．
4．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的概率为(　　)
A． B．
C． D．
5.盒中有三张分别标有号码3，4，5的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为奇数的概率为________．
6．已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率．先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示命中靶心，4，5，6，7，8，9表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：
321　421　191　925　271　932　800　478　589　663
531　297　396　021　546　388　230　113　507　965
据此估计，小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率为________．
7．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据，如表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)求x，y的值；
(2)求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率．
8．某校在高三抽取了500名学生，记录了他们选修A，B，C三门课的情况，如表所示.
科目
学生人数　　　
A
B
C
120
是
否
是
60
否
否
是
70
是
是
否
50
是
是
是
150
否
是
是
50
是
否
否
(1)试估计该校高三学生在A，B，C三门选修课中同时选修两门课的概率；
(2)若某高三学生已选修A门课，则该学生同时选修B，C中哪门课的可能性大？

1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　)
A． B．
C． D．
2．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为(　　)
A．0.45 B．0.67
C．0.64 D．0.32
3．将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是(　　)
A． B．
C． D．
4．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．
5．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．
6.某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为________．
7．一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄(单位：岁)在[20，60]内的顾客中，随机抽取了180人，调查结果如下表：
年龄
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60]
使用人数
45
30
15
15
未使用人数
0
10
20
45
(1)为推广移动支付，商场准备对使用移动支付的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该商场预计有12 000人(年龄在[20，60]内)购物，试根据上述数据估计该商场当天应准备多少个环保购物袋；
(2)某机构从被调查的使用移动支付的顾客中，根据年龄按分层抽样的方式选出7人进行跟踪调查，并给其中2人赠送额外礼品，求获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的概率．

考点练
1.解析：选A．对于①，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个黄球”也会发生，比如恰好一个白球和一个黄球，故①中的两个事件不互斥．
对于②，“至少有1个黄球”说明有黄球，黄球的个数可能是1或2，而“都是黄球”说明黄球的个数是2，故这两个事件不是互斥事件．③“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都表示取出的两个球中，一个是白球，另一个是黄球．故不是互斥事件．
2.答案　C
解析　3个红球和2个白球，从中任选2个球有以下可能：①全是红球；②恰有1个白球；③全是白球，所以“至少有1个白球”与“全是红球”既是互斥事件，也是对立事件．
3.答案　A
解析　“甲向南”与“乙向南”不会同时发生，但有可能都不发生，所以这两个事件互斥但不对立．
4.答案　A
解析　从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，共有三种情况：A＝{两个奇数}，B＝{一个奇数，一个偶数}，C＝{两个偶数}，且两两互斥，A中两个事件是互斥事件而不是对立事件；B，C，D中两个事件不互斥.
5.答案　0
解析　由概率的概念，知从中任取100件，可能有10件次品，并不是必有10件次品，则①是假命题；抛硬币时出现正面的概率是，不是，则②是假命题；频率和概率不是同一个概念，则③是假命题．综上可知，正确的命题有0个．
6.解析：选B．×1 534≈169(石)．
7.答案　①0.07　②0.1
解析　用已有的信息估计王小明得90分以上的概率为＝0.07，不及格的概率为＝0.1.
8.答案　C
解析　由题意，得随机数的前两位只能出现1或2中的一个，第三位出现另外一个，所以满足条件的随机数为142,112,241,142，故恰好第三次就停止摸球的概率为＝.故选C.
9.解析：设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为A，正点率为0.98的事件为B，正点率为0.99的事件为C，则用频率估计概率有P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97×＋0.98×＋0.99×＝0.98.
答案：0.98
10.解：(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30人，仅使用B的学生有24＋1＝25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40人．
估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为×1 000＝400.
(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则P(C)＝＝0.04.
(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．
假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.
答案示例1：可以认为有变化．
理由如下：
P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．
理由如下：
事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．


拓展练
1.解析：选C．2粒棋子恰好是同一色可以同是黑色，也可以同是白色，故所求概率P＝＋＝.
2.解析：选B．设事件A为“不用现金支付”，事件B为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C为“只用现金支付”，则P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.15－0.45＝0.4.故选B．
3.解析：选B．将3种不同的精美卡片随机放进4个食品袋中，根据分步乘法计数原理可知共有34＝81种不同放法，4个食品袋中3种不同的卡片都有的放法共有3·C·A＝36种，根据古典概型概率公式得，能获奖的概率为＝，故选B．
4.解析：选D．满足条件的方程共有4×4＝16个，即基本事件共有16个．
若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时共组成四个不同的方程，且都有实数解；
若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．所以(a，b)的个数为4＋9＝13.因此，所求的概率为.
5.解析：解法一：两次抽取的卡片号码有(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共9种，其中至少有一个是奇数为(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共8种，因此所求概率为.
解法二：所求事件的对立事件为：两次抽取的卡片号码都为偶数，只有(4，4)这1种取法，而两次抽取的卡片号码有(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共9种，因此所求事件的概率为1－＝.
答案：
6.解析：由题意知，在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有421，191，271，932，800，531，共6组随机数，所以所求概率为＝0.3.
答案：0.3
7.解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.
(2)记A：一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟．
A1：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟．
A2：该顾客一次购物的结算时间为3分钟．
将频率视为概率可得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝0.3，
所以一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率为0.3.
8.解：(1)由频率估计概率得所求概率P＝＝0.68.
(2)若某学生已选修A门课，则该学生同时选修B门课的概率为
P＝＝，
选修C门课的概率为
P＝＝，
因为＜，所以该学生同时选修C门课的可能性大．


模拟练
1.解析：选A．设“两人下成和棋”为事件A，“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件，所以甲不输的概率为
P＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，故选A．
2.解析：选D．从中摸出一球，为红球的概率为＝0.45.
故摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.
3.解析：选B．A，B，C，D 4名同学排成一排有4×3×2×1＝24种排法．当A，C之间是B时，有2×2＝4种排法，当A，C之间是D时，有2种排法．所以所求概率为＝，故选B．
4.解析：将10个数排成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，则an＝(－3)n－1(1≤n≤10)，当n＝1，2，4，6，8，10时，an＜8，所以抽到小于8的概率为.
答案：
5.解析：摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n个，则＝，故n＝15.
答案：15
6.解析：将3名男生记为M1，M2，M3，2名女生记为W1，W2，从这5名志愿者中选出2名的基本事件为(M1，M2)，(M1，M3)，(M1，W1)，(M1，W2)，(M2，M3)，(M2，W1)，(M2，W2)，(M3，W1)，(M3，W2)，(W1，W2)，共有10种，其中所选的2名志愿者性别相同的基本事件为(M1，M2)，(M1，M3)，(M2，M3)，(W1，W2)，共有4种，因此选出的2名志愿者性别相同的概率为＝.
答案：
7.解：(1)由题表可知，该日该商场使用移动支付的顾客人数与顾客总人数之比为＝＝.若某日该商场有12 000人购物，则估计该商场要准备环保购物袋的个数为12 000×＝7 000.
(2)由题知，抽样比为7∶105＝1∶15，所以应从年龄在[20，30)内的顾客中选出3个，[30，40)内的顾客中选出2人，[40，50)内的顾客中选出1人，[50，60]内的顾客中选出1人．
记从年龄在[20，30)内的顾客中选出的3人分别为A，B，C，其他4人分别为a，b，c，d，从7个人中选出2人赠送额外礼品，有以下情况：AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，Ba，Bb，Bc，Bd，Ca，Cb，Cc，Cd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共21种，
其中获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的情况有3种，所以获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的概率为＝.