考点56 随机事件的概率（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点56 随机事件的概率

从近三年高考情况来看，本讲内容一般不作独立考查，预测2021年将会考查：①对立、互斥与古典概型结合考查随机事件概率的计算；②随机事件与统计图表相结合考查用频率估计概率．试题难度不大，属中、低档题型.

一、随机事件中关系的判断；

二、随机事件的频率与概率；

三、互斥事件、对立事件概率公式的应用。

【易错警示】

1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)随机事件和随机试验是一回事．(　×　)

(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　√　)

(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　×　)

(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　√　)

2．(易错点)若A，B为对立事件，则(　　)

A．P(A＋B)≤1　　　　　　　 B．P(AB)＝1

C．P(AB)＝0  D．P(A)＋P(B)≤1

答案：C

[常用结论]

1．概率的取值范围：[0，1]．

2．必然事件的概率为1.

3．不可能事件的概率为0.

4．如果事件A，B之间有A⊆B，则P(A)≤P(B)．

5．如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

随机事件中关系的判断

随机事件的频率与概率

(1)频数与频率：在相同的条件S下进行n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数【1】，称事件A出现的比值fn(A)＝为事件A出现的频率【2】．

(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数n的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，则把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．

1．准确把握互斥事件与对立事件的概念

(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．

(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．

2．判别互斥、对立事件的方法

判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．

【典例】

　(1)把语文、数学、英语三本书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是(　　)

A．A与B是不可能事件

B．A＋B＋C是必然事件

C．A与B不是互斥事件

D．B与C既是互斥事件也是对立事件

解析：选C．“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B选项都不正确；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D不正确．

(2)一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为，则概率是的事件是(　　)

A．恰有一个红球　　　 B．两个小球都是白球

C．至多有一个红球  D．至少有一个红球

解析：选C．因为＝1－，所以概率是的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”．

随机事件的频率与概率

事件的关系与运算

知识点3　互斥事件的概率和对立事件的概率

(1)概率的加法公式

如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(2)对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事件【5】，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．

【典例】

　(1)(2019·九江一模)洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图案，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从四个阴数中随机抽取2数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选D．从四个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满足题意的取法有两种：4，6和2，8，∴能使这两数与居中阳数之和等于15的概率P＝＝.故选D．

(2)(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

①估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

②设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．

当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

解：①这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

②当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；

若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；

若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，

所以，Y的所有可能值为900，300，－100.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

[思维创新]

若本例(2)条件不变，求这种酸奶一天的需求量为500瓶的概率．

解：这种酸奶一天的需求量为500瓶的概率为

P＝＝0.4或1－0.6＝0.4.

  互斥事件、对立事件概率公式的应用

求复杂的互斥事件的概率的两种方法

(1)直接求解法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．

(2)间接求法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．

【拓展延伸】

在实际生活中，时时刻刻都体现着频率的应用，用频率估计概率指点生活，使生活更有规律；用频率估计概率做出决策，使生产更有计划，获取更大效益．

【典例】

　(1)(2019·唐山模拟)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

①若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

②在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．

解：①设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率，得

P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.

由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，

所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.

②设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”．

由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，

而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，

所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.

(2)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？

解：分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，D.由于A，B，C，D为互斥事件，根据已知得到

解得

即得到黑球、黄球、绿球的概率分别为，，.