考点54 计数原理和排列与组合（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点54  计数原理和排列与组合

从近三年高考情况来看，对两个计数原理很少独立命题．预测2021年高考将会综合考查两个计数原理与排列组合知识．试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型.

一、两个原理的直接应用；

二、排列与组合问题；

三、知识交汇创新。

【易错警示】

思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．(　√　)

(2)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1，2，3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法．(　√　)

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　√　)

(4)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　×　)

2．(易错点)把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________．

解析：CA＝240(种)．

答案：240

两个原理的直接应用

两个计数原理

(1)分类加法计数原理

完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法…在第n类方案中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．

(2)分步乘法计数原理

完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法…做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．

【1】①每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事．②各类方法之间是互斥的、并列的、独立的．

【2】①每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事．②各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏．

1．分类、分步的应用技巧

(1)分类：一般按特殊情况优先分类，每类中再分步计数，当分类不多时，可用枚举法，当分类较多时，也可用间接法求解．

(2)分步：先按一定的顺序分步，再按特殊要求分类．

2．涂色、种植问题的解题关注点和关键

(1)关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素．

(2)关键：是对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理．

[提醒]　对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当画出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化，以图助解．

【典例】

　(1)(2020·唐山二模)用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是(　　)

A．18　　　 B．16　　　

C．12　　　 D．9

解析：选D．根据题意，分3步进行分析：①0不能放在千位，可以放在百位、十位和个位，有3种情况；②在剩下的3个数位中任选1个，安排2，有3种情况；③在最后2个数位安排2个1，有1种情况．则可组成3×3＝9个不同四位数，故选D．

(2)(2020·广州模拟)如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　)

A．400种  B．460种

C．480种  D．496种

解析：选C．由于相邻区域不能涂同一种颜色，所以A区域有6种颜色可选；B区域有5种颜色可选；C区域有4种颜色可选；D区域也有4种颜色可选，故不同的涂法有6×5×4×4＝480种．

排列与组合问题

【方法技巧】

1．求解有限制条件排列问题的主要方法

2.两类含有附加条件的组合问题的解法

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．

3．分组问题的求解策略

(1)对不同元素的分配问题．

①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．

②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．

③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．

(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．

【典例】

命题点1 | 排列问题——先选后排

　(1)从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)

解析：第一类，选1女3男，有选法CC＝30(种)，这4人选2人作为队长和副队长有选法A＝12(种)，故有不同的选法30×12＝360(种)；

第二类，选2女2男，有选法CC＝30(种)，这4人选2人作为队长和副队长有选法A＝12(种)，故有不同的选法30×12＝360(种)；

第三类，选3女1男，有选法CC＝5(种)，这4人选2人作为队长和副队长有选法A＝12(种)．

故有不同的选法5×12＝60(种)．

根据分类加法计数原理，共有不同的选法360＋360＋60＝780(种)．

答案：780

(2)将A，B，C，D，E这5名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法有(　　)

A．18种　　 B．20种　　　

C．21种　　 D．22种

解析：选B．当A，C之间为B时，看成一个整体进行排列，共有A·A＝12种，当A，C之间不是B时，先在A，C之间插入D，E中的任意一个，然后B在A之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有C·A·A＝8(种)，所以共有20种不同的排法．故选B．

命题点2 | 组合问题——只选不排

　(1)从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要有甲型、乙型电视机各一台，则不同的取法有________种．

解析：解法一：任取3台的取法共有C种，3台全是甲型电视机的取法有C种，3台全是乙型电视机的取法有C种，故满足题意的取法共有C－C－C＝70种．

解法二：由于任取3台至少要有甲、乙型电视机各一台，则有取甲型1台、乙型2台和甲型2台、乙型1台两种情况，故不同的取法有C·C＋C·C＝70(种)．

答案：70

(2)(2019·郑州一模)如图所示的几何体由三棱锥P­ABC与三棱柱ABC­A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有(　　)

A．6种  B．9种

C．12种  D．36种

解析：选C．先涂三棱锥P­ABC的三个侧面，有C×C×C种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有C×C×C种情况，共有C×C×C×C×C×C＝3×2×1×2×1×1＝12种不同的涂法．故选C．

命题点3 | “相邻”与“不相邻”问题

　(1)某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为(　　)

A．6  B．12

C．24  D．48

解析：选B．两节数学课相邻可看作一个整体，与其他三种的全排列有A种，又物理、化学课不相邻再减去物理、化学课相邻的情况即可，则不同的课程安排有A－2·A＝12种．

(2)在数字1，2，3与符号“＋”“－”这五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列方法共有________种．

解析：本题主要考查某些元素不相邻的问题，先排符号“＋”“－”，有A种排列方法，此时两个符号中间与两端共有3个空位，把数字1，2，3“插空”，有A种排列方法，因此满足题目要求的排列方法共有AA＝12(种)．

答案：12

[思维创新]

将例4(2)中条件“任意两个数字都不相邻”改为“1，2，3这三个数字必须相邻”，则这样的全排列方法有________种．

解析：用捆绑法，有AA＝36(种)．

答案：36

命题点4 | 分组与分配问题

　(1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，并在其毕业后将其分到相应的地区任教．现需将6个免费培养的教育专业师范毕业生平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．

解析：先把6个毕业生平均分成3组，有种分法；

再将3组毕业生分到3所学校，有A种分法．

故将6个毕业生平均分到3所学校，不同的分派方法共有·A＝90种．

答案：90

(2)在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生进行家庭问卷调查，若这3名教师每名至少到一名学生家中进行问卷调查，这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为(　　)

A．36  B．72

C．24  D．48

解析：选A．根据题意，分2步进行分析：①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组每组各1人，有＝6种分组方法；②将分好的3组对应3名教师，有A＝6种情况，则一共有6×6＝36种不同的问卷调查方案，故选A．

  知识交汇创新

【知识拓展】

1．组合问题中不定方程的解法的应用

(1)原理：不定方程的解

设n，m∈N*，n≥m≥1，不定方程x1＋x2＋x3＋…＋xm＝n的正整数解有多少组？

把n分为n个1，n个1之间有n－1个空，从中选m－1个空放m－1个加号，所以有C种放法．一种放法就唯一对应不定方程x1＋x2＋x3＋…＋xm＝n的一组解．故此不定方程有C组解．

(2)模型

2．排列与组合问题中容斥原理的应用

(1)原理

容斥原理设card(A)表示集合A的元素个数，则card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)．

(2)模型

【典例】

　24个志愿者名额分给3个学校，则每个学校至少有1个名额且学校名额互不相同的分法有________种．

解析：设分配给3个学校的名额数分别为x1，x2，x3，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程x1＋x2＋x3＝24的正整数解的组数，由不定方程解的原理知有C＝C＝253种．

又在“每校至少有一个名额的分法”中要排除“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法：只有两校人数相同，设为(i，i，24－2i)，由题意有i＝1，2，3，4，5，6，7，9，10，11共3×10种情况；三校人数都相同的只有(8，8，8)这1种．

综上可知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．

答案：222

　有6名同学咨询成绩，老师说：甲不是6人中成绩最好的，乙不是6人中成绩最差的．而且6人的成绩各不相同，那么他们6人的成绩不同的可能排序共有(　　)

A．120种　　 B．216种　　

C．384种　　 D．504种

解析：选D．以A记为甲成绩排名第一的所有可能的排序的集合，以B记为乙成绩排名最后的所有可能的排序的集合，则card(A)＝5！，card(B)＝5！card(A∩B)＝4！，由容斥原理知，甲排名第一或乙排名最后的所有的排序数为card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝216，按照老师所述，这6名同学成绩可能的排序数为6！－216＝504，故选D．