考点35 空间几何体的表面积和体积（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

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考点35 空间几何体的表面积和体积

空间几何体的表面积与体积
1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

A． B． C． D．
2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为

A． B． C． D．
3.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______．

4．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D. cm
与球有关的切、接问题
5．【2020年高考全国II卷理数】已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16，则O到平面ABC的距离为
A． B． C．1 D．
6．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为
A． B．
C． D．
7．【2020年高考天津】若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． B．
C． D．
8体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．12π B.π C．8π D．4π
9. (2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(　　)
A．12 B．18 C．24 D．54

一、单选题
1．在三棱柱中，，，平面ABC，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）
A．7π B．8π C． D．
3．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为（ ）

A．16+8π B．32+16π C．32+8π D．16+16π
4．在三棱锥中，PA、PB、PC两两垂直，，Q是棱BC上一个动点，若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知三棱锥的底面是等边三角形，且，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．如图，以等腰直角的斜边上的高AD为折痕，把和折成相互垂直的两个平面，下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．若，则三棱锥内切球的半径为
D．二面角的平面角的正切值为
7．如图，在三棱锥中，、、分别为棱、、的中点，平面，，，，则（ ）

A．三棱锥的体积为
B．平面截三棱锥所得的截面面积为
C．点与点到平面的距离相等
D．直线与直线垂直
8．四边形中，，，，将四边形沿对角线折成直二面角，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C．和平面所成的角为 D．四面体的体积为
9．若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（ ）

A． B．平面平面
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题
10．在三棱锥中，，，两两垂直，，，三棱锥的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为______.
11．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称粽子，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期的楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形组成的，将它沿虚线对折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为______________

12．如图，圆锥形容器的高为2圆锥内水面的高为1．若将圆锥形容器倒置，水面高为h．则h等于_____．


四、解答题
13．如图，在三棱锥中，，，，，.

（1）求证：平面平面；
（2）分别是棱的中点，为棱上的点，求三棱锥的体积.
14．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，BD1⊥B1D，四边形ABCD是边长为4的菱形，D1D＝6，E，F分别是线段AB的两个三等分点．

（1）求证：D1F//平面A1DE；
（2）求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积．
15．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥P﹣ABFED，且．

（1）求证：；
（2）求四棱锥的体积．


一、单选题
1．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为(　　)
A． B． C．3π D．4π
2．圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为(　　)
A．π B．π C．16π D．24π
4．某圆台上、下底面面积分别是、，母线长为2，则这个圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
5．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为（ ）

A．20 B． C．16 D．
6．已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知的三边长分别是，，.下列说法正确的是（ ）
A．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为
B．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
C．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为
D．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
三、填空题
8．设长方体的长、宽、高分别为、、，其顶点都在同一个球面上，则该球的半径为______.
9．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.

10．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，面积为的扇形，则该圆锥的体积为___________.
11．若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比为
12．《九章算术》商功章中研究了一个粮仓的容积计算问题．假设该粮仓近似于由如图的直角梯形以底边为轴旋转而成的几何体（图中长度单位为米），则该粮仓能容纳的体积为________立方米．

四、解答题
13．已知正四棱台上､下底面的边长分别为4､10，侧棱长为6.求正四棱台的表面积.

14．若长方体的三个面的面积分别是，求：
（1）长方体的体对角线的长；
（2）长方体的表面积.
15．已知一圆锥的母线长为10，底面圆半径为6.
（1）求圆锥的高；
（2）若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积.
16．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.

考点练
1.【答案】C
【解析】如图，设，则，
由题意得，即，化简得，
解得（负值舍去）.
故选C．

【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
2.【答案】A
【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，

上的点在正视图中都对应点M,直线上的点在俯视图中对应的点为N,
∴在正视图中对应,在俯视图中对应的点是,线段,上的所有点在侧试图中都对应,∴点在侧视图中对应的点为.
故选A.
【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.
3.答案　
解析　＝＝××＝.
4.答案　B
解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2.

5.【答案】C
【解析】设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
故选：C．

【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
6.【答案】A
【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积.
故选：A.

【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
7.案】C
【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即，
所以，这个球的表面积为.故选：C．
8.答案　A
解析　由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.
9.答案　B
解析　由等边△ABC的面积为9，可得AB2＝9，
所以AB＝6，
所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.
设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.
所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，
所以三棱锥D－ABC体积的最大值为×9×6＝18.


拓展练
1．C【解析】如下图所示：

由题意可知，底面外接圆的半径，三棱柱的高，外接球的半径，所以外接球的表面积为.答案选C
2．D【解析】如图，取BD中点H，连接AH，CH
因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形
所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°
设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F
则由AH＝2可得AEAH，EHAH
分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点
记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°
所以OE＝1，则R＝OA
则三棱锥外接球的表面积
故选：D

【点睛】本题考查三棱锥的外接球，球的表面积公式，画出图形，数形结合是关键，属于中档题．
3．A【解析】设在底面半圆上的射影为，连接交于，设.
依题意半圆柱体底面直径，为半圆弧的中点，
所以且分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接，
则与上下底面垂直，所以，
以为轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为，则
，
所以，
由于异面直线和所成的角的余弦值为，
所以，
即.
所以几何体的体积为.
故选：A

【点睛】本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题.
4．A【解析】∵PA与PB、PC垂直，∴平面，
∴是在平面内的射影，就是直线与平面所成的角，
由平面得，，要使最大，则最小，
显然当时，最小，此时，
又，∴，而，∴，
由，得，从而，

如图，以为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥的外接球，外接球直径等于长方体的对角线长，
∴球表面积为．故选：A．
5．C【解析】在上找中点，连接，，如下图所示，
因为三棱锥的底面是等边三角形，即是等边三角形，
所以，又因为，所以.
设，与平面所成的角，则，当时，最大，此时，，两两垂直，
所以三棱锥的外接球即为以，，为长宽高的长方体的外接球，如下图，
因为，
所以外接球的半径.
则其外接球的表面积为.故选：C.

【点睛】本题考查空间几何体的线面关系以及体积和表面积的求法，考查直观想象、数学运算的核心素养，属于中档题.
6．ABC【解析】设等腰直角三角形的腰为，则斜边，
对于A，因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面， 所以，故A正确；
对于B，由A知，平面，平面， 所以，又， 所以由勾股定理得：，又， 所以是等边三角形，所以，故B正确；
对于C，设内切球的球心为，半径为，
又，则，
由A、B可知，，
又
所以，
所以，故C正确；
对于选项D，取得中点，连接，，易知，，所以为二面角的平面角，且，

所以，所以为直角三角形，所以，故D错误；
故选：ABC.
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查线面、面面垂直的性质定理的应用，考查二面角的求法，属于中档题．
7．BC【解析】因为、、分别为棱、、的中点，
所以，，
因为，，所以，，，
因为平面，所以平面，即平面；
又，所以，因此，
所以三棱锥的体积为，故A错；
取中点为，连接，，易得：，，
因此四边形即是平面截三棱锥所得的截面，且四边形平行四边形，
又平面，所以，即四边形是矩形，
因此其面积为，故B正确；
因为，平面，平面，所以平面，
因此点与点到平面的距离相等，故C正确；
取中点为，连接，，
则，，且，
即等于直线与直线所成的角，
又，，
因此，
所以直线与直线不垂直，即D错；故选：BC.

【点睛】本题主要考查立体几何的综合，涉及棱锥体积，线面垂直，线面平行，异面直线所成角的求法等，属于常考题型.
8．BC【解析】因为二面角是直二面角，所以平面平面，
而平面平面，，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
因为，，所以，
所以，因为，所以平面.
因为平面，故即，故B正确.
若，因为，，故平面，
但平面，故，矛盾，故A错误.
因为平面，故为直线和平面所成的角，
在中，，故，故C正确.
又，故D错.故选：BC.
9．CD【解析】如下图所示

以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，，，
所以，，
因为，所以与不垂直，故A错误；
，
设平面的一个法向量为，则
由，得，所以，
不妨取，则，
所以，
同理可得设平面的一个法向量为，
故不存在实数使得，故平面与平面不平行，故B错误；
在长方体中，平面，
故是三棱锥的高，
所以，
故C正确；
三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
故外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确.故选：CD.
【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.
10．【解析】三棱锥的侧面积为，所以
故该三棱锥外接球的半径为：，球的表面积为.
故答案为：
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
11．；【解析】由题意可知该六面体是由两个正四面体组合成的，如图，三棱锥即为棱长为2的正四面体，

取中点，连接，在上取一点，使，连接，
易知，，点为的中心，为该三棱锥的高，
所以，，
所以，
所以该六面体的体积为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了正四面体的几何特征的应用及体积的求解，考查了空间思维能力与转化化归思想，属于中档题.
12．【解析】设圆锥形容器的底面积为S,则未倒置前液面的面积为，水的体积，
设倒置后液面面积为S',则，
，
水的体积为，
，
解得，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆锥的平行底面的截面的性质，以及圆锥的体积计算问题，属于中档题.
13．（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）证明：在中，由余弦定理得：
解得：
又， 平面
又平面 平面平面
（2）

分别是棱的中点

14．（1）证明见解析（2）
【解析】（1）连接交于，连接，如图，

分别为，的中点，
,
又平面A1DE，平面A1DE，
D1F//平面A1DE
（2）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，
所以四棱柱为直四棱柱，
因为在矩形中，BD1⊥B1D，
所以四边形是正方形，
所以,
所以,
又，
所以，
即四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为.
15．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）点分别为的中点，
，
又菱形的对角线互相垂直，
，
面，面，，
面，
则面，
所以.

（2）设，连接，
为等边三角形，
，
在中，,
在中，，
，面,面，
面,
则为四棱锥的高，
因为梯形的面积为：,
所以四棱锥的体积为：.


模拟练
1．A【解析】圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为的扇形，其面积，所以圆锥的侧面展开图面积为.
【点睛】本题考查求圆锥侧展图及扇形面积的基本运算．
2．C【解析】圆锥的轴截面是边长为的正三角形，
圆锥的底面半径，母线长；
表面积
故选C.

【点睛】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥轴截面等知识，属于基础题.
3．B【解析】设球的半径为R，则S＝4πR2＝16π，解得R＝2，
则球的体积V＝πR3＝π.故选B．
【点睛】本题考查球的表面积和体积，属于基础题．
4．A【解析】设圆台上、下底面的半径分别为，
由圆台上、下底面面积分别是、，则
所以
所以这个圆台的侧面积为故选：A
【点睛】本题考查求圆台的侧面积，直接利用公式，属于基础题.
5．A【解析】由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.故选：A
【点睛】本题考查了组合体的表面积，求四棱锥的斜高是关键，考查了运算能力和空间想象能力，属于中档题.
6．B【解析】设正方体的棱长为，则圆柱的高为，设圆柱的底面半径为，
则正方体的侧面积为，圆柱的侧面积为，
所以，所以，
所以正方体和圆柱的体积之比为.故选：B.
【点睛】本题考查了正方体和圆柱的侧面积与体积公式，属于基础题.
7．AD【解析】以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为，体积为，故A正确，B错误；
以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为，体积为，故C错误，D正确.故选：AD.
【点睛】本题考查了旋转体的概念，考查了圆锥的侧面积和体积公式，属于基础题.
8．【解析】依题意可知，长方体的对角线为外接球的直径 ，
根据长方体的对角线长定理可得长方体的对角线长为：，
所以长方体的外接球的半径为：.故答案为：.
【点睛】本题考查了长方体的对角线长定理，考查了多面体的外接球，属于基础题.
9．【解析】设长方体长宽高分别为，，，
所以长方体体积，
三棱锥体积，
所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：
.故答案为：.
【点睛】本题主要考查了长方体体积公式，三棱锥体积公式，属于基础题.
10．【解析】由题意圆锥的母线长为，
扇形弧长为，则，，
圆锥底面半径为，则，，∴圆锥的高为，
所以圆锥体积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查求圆锥的体积，掌握圆锥侧面展开图与解决问题问题的基本方法．
11．【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h，球半径为R,则, 因为r=2R，所以
,即圆锥的母线长为,所以圆锥侧面积与球面面积之比为
=.
12．【解析】由题意可知，此几何体是底面半径为3，高为2的圆柱和底面半径为3，高为1的圆锥组合而成的，
所以其体积为，故答案为：
【点睛】此题考查求组合体的体积，利用了圆柱和圆锥的体积公式，属于基础题.
13．
【解析】如图，正四棱台中，,
在等腰梯形 中，过作于，则,
所以,
所以正四棱台的表面积为


【点睛】此题考查棱台的表面积的求法，考查数形结合的解题思想，属于基础题.
14．（1）.（2）
【解析】（1）设长方体的长，宽，高分别为，如图.

可令解得
，
，∴该长方体的体对角线长为.
（2）.
【点睛】本题考查长方体面的面积与边长的关系，明确长方体的对角线与长、宽、高的关系，属于基础题.
15．（1）8（2）
【解析】（1）据题意知，圆锥的高
（2）据（1）求解知，圆锥的高为，
设圆锥内切球的半径为，则，
所以
所以所求球的表面积.
【点睛】本题主要考查简单几何体的计算公式，属于基础题型.
16．
【解析】如图，

在四棱台中，
过作，垂足为，
在中，，，
故，
所以，
故四棱台的侧面积，
所以四棱台的表面积.